《(文章)正余弦定理的变式与活用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(文章)正余弦定理的变式与活用.docx（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、定理活变，解题不难在使用正余弦定理解决实际问题时，不能只是从形式上套用公式，而是把握公式的实质，灵活使用公式变形求解。 使用公式恰当的变形可以快速解决问题， 本文探讨如何使用正余弦定理的变式进行解题。正弦定理变式：1、 a2R sin A, b2R sin B, c 2R sin C （其中 R 为三角形外接圆半径）例 1在 ABC 中， a、 b、 c 分别为角 A,B,C 的对边，且 2actan B ,求 B 的大小。ctanc解：根据正弦定理可知：2actan Ba 2R sin A,c 2R sin C ，因为tan c所以 2 sin A sin ctan Bsin B cosC
2、，所以c2 sin AcosBcosB sin C sin B cosCsin ctancsin C cosB1所以 2sin A cos Bsin( BC ) ，又在 ABC 中， sin（ B+C） =sinA ，所以 cosB，2因为 00B 1800 ，所以 B=60 0 .点评：利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，再结合三角恒等变换求得结果，用正弦定理转化边角关系时，注意边的次数相同才能实施转化。2、 a : b : c sin A : sin B : sin C ；例 2、在 ABC 中，已知 a2a2(bc), a2b2c3 ，若 sin C : sin A4 :13 ，求 a
3、， b， c解：因为 sin C : sin A 4 :13 ，所以 c : a4 :13 ，设 c 4k， a13k ，13k 213k2(b 4k )(1)16k30，解得 k3或 k 1.则2b8k 3，得 13k 213k( 2)13因为 k3时 b0 ，故舍去，所以k 1，此时 a13 ， b5 13 ,c4.132点评：利用正弦定理，可以把角正弦的比值关系转化为边的比值关系，反之也行，由比值而设参数 k，通过方程思想求出参数 k，从而解决解三角形的问题。3、 asin A , csin C , bsin B ；bsin B asin A csin C例 3、在 ABC 中，若 C
4、3B，求 c 的取值范围。解： csinCsin(B 2B)bcos2B2 cos2B4 cos2 B1 ，bsin Bsin B因为 ABC 1800 , C3B ，所以 04B1800 ,2cos B1，故 1c3.2b点评：角边比转化， 可考虑用正弦定理。在 ABC ，隐含条件 AB C不可忽视，本题若认为 cos2 B 0,1 则 4cos2 B1 1,3 ，是不正确的。1aababc.4、sin Bsin Asin Bsin A sin Asin C例 4、在 ABC 中， ab663,A300 ,B600 ，求边 c 的长。解：显然C900 ，由正弦定理abcab66 3 ，sin
5、 Asin Bsin C sin Asin B1322(663)所以 c 212.13点评：碰到连等号的题意应联想到合、分比定理， 三角形中含正弦的题目自然想到变式。余弦定理变式：1由余弦定理，有a 2b2c22bc cos A ， b2a2c 22ac cos B ，两式相加可得 222bccosA2accosB0，即 c b cosAa cosB ，这就是三角形中的射影定c理。例 5、（ 2008 浙江）在 ABC 中，角 A 、 B 、C 所对的边分别为a 、 b、c ，若3bc cos Aa cosC ，则 cos A_.分析：通过移项，发现结构ccos Aa cosC ，可用射影定理
6、来解决。解：由题意得 b cos A ccos Aa cosC ，由射影定理知ccos Aa cosC b，即3b cos Ab ，得 cos A3 .32余弦定理的变形： ( a ) 21 ( c ) 22. c cos A,(b ) 21( a ) 22. a cosB, 若已bbbccc知三角形两边之比及其夹角，用此变式往往快速求解；例 6、已知A 、 B、 C 三角形是 ABC的三个内角，它们的对边分别是a, b, c ，且B=1 ( AC ) , c31，求此三角形三个内角的度数。2a2解 ： 因 为B=1 ( AC) 1 (1800B) , 所 以B=60 0， 所 以 由 结 论
7、22( b )21( c ) 22.c cos B3,所以 b3 ，又由正弦定理得asin A ，即 sinA aaa2a2bsin B2 ，所以 A=45 0 ，或 A=1350 （不合题意舍去）所以C=180 0 45 0 60 0 75 0 。2故三角形的三个内角分别是45 0 ，75 0 ，60 0 。2正余弦定理的联袂推论及其应用在 ABC 中 ， 若 a、 b 、 c 分 别 是 A 、 B 、 C 的 对 边 ， 由 正 弦 定 理 可 得 a2RsinA， b 2RsinB， c 2RsinC(R为ABC的 外 接 圆 半 径 ) 代 入 余 弦 定 理中 ， 可 得 推 论
8、： sin 2 A sin 2B sin 2 C 2sinBsinCcosA；sin 2 B sin 2 A sin 2C 2sinAsinCcosB；sin 2 C sin 2 B sin 2 A 2sinBsinAcosC例 7在ABC 中 ， 若 sin 2 A sin 2 B 2sin 2 C ， 求 角 C 的 范 围 解 ： 由 sin 2A sin 2 B sin 2 C 2sin A sin B cos C 及 已 知 ， 得2sinC 2sin A sin B cos C ，即 1 cos 2 C cos( A B ) cos( A C )cos C 2cos 2C cosCcos( AB) 10，又 cos( A B)1 2cos2C cosC 1 0，解得 cosC 1 ，从而 0 C23点评：利用正余弦定理变式综合三角恒等变换是解决这类问题的常见策略。3