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1、甘肃省秦安县第一中学2015 年高三上学期第三次模拟考试数学试卷（理）第卷（选择题共 60 分）一、选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，只有一个选项符合题意）1. 设集合 Mx | x2x 60 , Nx |1 x3 ，则 M N()A1,2)B 1,2C (2,3D2,32. cos(x)3 ，那么 sin 2x =()41852477A.B.C.D.25x2y2252525已知方程1(k R) ，则 1kb0)2|F F|.12(1)求椭圆的离心率；(2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点 F 2 的直线 l与该圆相切于点
2、M ， |MF 2|2 2.求椭圆的方程甘肃省秦安县第一中学2015 年高三上学期第三次模拟考试数学试卷（理）答案一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分，只有一个选项符合题意）题号123456789101112答案BCCDBDDCAABC二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分）131 或 214.515. 2 316.1三、解答题 (共 6题, 满分 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)17. （1）证明：l 的方程（ x+y 4）+m（2x+y7）=0. m R，2xy70 得 x3即xy40y1l 恒过定点 A（3，1）圆心 C（
3、1，2）， AC5 5（半径），点 A 在圆 C内，从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点（ 2）解：弦长最小时， lAC，由 kAC 1 ， l 的方程为 2xy 5=0218. 解：（ 1）由 m(c, cosC ), n(a, sin A), 且 m n ，得 c sin Aa cosC ,由正弦定理得 sin C sin Asin A cosC , 因为0A, 所以 sin A0. 从而 sin CcosC ，又 cosC0, 所以 tan C1, 则 C.34（ 2）由（ 1）知， BA, 于是 3 sin Acos( B) = 3sin Acos(A)3sinAcosA43 , 所以
4、1142sin( A). 因为 0AA6.从而当 A, 即 A3时，64612625 .2 sin( A) 取最大值 2. 综上所述，3 sin Acos(B) 的最大值为2，此时 A, B643122219. 解：（1）由 16x29y2=144 得 x y916=1， a=3，b=4， c=5 焦点坐标 F 1（ 5，0），F 2（ 5，0），离心率 e= 5 ，渐近线方程为y= 4 x33（ 2）|PF 1 |PF2， 12| PF1 |2| PF2 |2| F1F2 |2|=6cosF PF =2 | PF1 | PF2 |(| PF1 | PF2 |)22 | PF1 | PF2 |
5、 F1 F2|2=36641001PF2=2 | PF1 | PF2 |64=0， F=90 .20. 解：（1）因为 Sn2an (Sn1), anSnSn 1 (n2) ，所以 Sn2( SnSn1)( Sn1 ).2, 得 112即 2Sn 1 Sn Sn 1Sn 由题意 Sn1Sn0, 故式两边同除以 Sn 1Sn2 ，SnSn1所以数列 1 是首项为111, 公差为 2 的等差数列 .SnS1a1故 11 2(n 1)2n 1, 所以 Sn1;Sn2n1（ 2） bnSn111)1 (11),2n(2n 1)(2n2 2n1 2n1故 Tnb1b2bn1 (11)(11 )(111)
6、1 (11) 123352n2n122n13又 不等式 Tn1 (m25m) 所有的 nN * 恒成立 1 1 ( m25m)，18318化 得： m25m60 ，解得： 1m6 正整数 m 的最大 6 12 分21.2x2x(1) 3e.解： (1)当 a0 ， f(x)x e ，f(x) (x 2x)e，故 f所以曲 yf(x)在点 (1，f(1) 的切 的斜率 3e.4 分(2)f(x)x2(a2)x2a24a ex( x 2a)x(a2) ex令 f(x)0，解得 x 2a，或 xa2，6分2以下分两种情况 ：由 a 知， 2aa2.3若 a2， 2aa2，当 x 化 ， f(x)，f
7、(x)的 化情况如下表：3x(， 2a)2a(2a， a 2)a 2(a2， )f(x)00f(x)极大 极小 所以 f(x)在 (， 2a)，(a 2， )上是增函数，在 (2a， a 2)上是减函数函数 f(x)在 x 2a 取得极大 f(2a)，且 f(2a)3ae 2a.函数 f(x)在 xa2 取得极小 f(a2)，且 f(a2)(4 3a)ea2.9分2若 aa 2，当 x 化 ， f (x)， f(x)的 化情况如下表：x(， a 2)a2(a2， 2a) 2a(2a， )f(x)00f(x)极大 极小 所以 f(x)在 (， a 2)，(2a， )上是增函数，在 (a 2， 2
8、a)上是减函数函数 f(x)在 xa2 取得极大 f(a2)，且 f(a 2)(43a)ea 2.函数 f(x)在 x 2a 取得极小 f(2a)，且 f(2a)3ae 2a. 12 分322222. (1) 右焦点F2 的坐 (c,0)由 |AB| 2 |F1F2 |，可得 a b3c .c212又 b2 a2c2， a22.所以， 的离心率 e 2 .22(2)由(1)知 a22c2，b2c2.故椭圆方程为 x2y21.2cc设 P(x ，y由F1 (x c，y， (c，c)00)(c,0)， B(0， c)，有 F1P00)F1B 0，即 (x c)cy 又 0，故有y c0.由已知，有 F0cx01P F1 B00. c0x2220y0因为点 P 在椭圆上，故 2c2 c2 1.由和可得3x04cx0 0.4c4cc而点 P 不是椭圆的顶点，故x03c，代入得 y0 3，即点 P 的坐标为 3，3 .4c3c02c， y13c2设圆的圆心为 T(x1，y1)，则 x1 232 c，3所以圆的半径 rx12 y1 c25 3 c.222，故有222285 2由已知，有 |TF2 |MF 2r ，又 |MF 2 c c 0 c9c，|2 2332x2y2解得 c3.所以，所求椭圆的方程为6 3 1.