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1、江西省南康市赤土中学2014 年高三上学期期中考试（五）数学（文）试卷一选择题421. 已知 z1 i(i 是虚数单位 )，则 zz()A 2B 2iC 24iD 2 4i2. 设 U R， M x|x 2 x0 ，函数 f(x) 1的定义域为 D ，则 M (CUD) x1A 0,1)B (0,1)C 0,1D 13. 设51)2 0，b0) 的离心率为2，坐标原点到直线AB 的距离为2 ，其中 A(0， b)，B(a,0) (1)求双曲线的标准方程；(2)设 F 是双曲线的右焦点，直线l 过点 F 且与双曲线的右支交于不同的两点P、 Q，点 M 为线段 PQ的中点若点M 在直线 x 2 上
2、的射影为N，满足 PN QN 0，且 PQ | 10，求直线l 的方程21.（ 14 分）已知函数f ( x) = ex (x3 - 6x2 + 3x + a) .(1) 当 a=1 时，求函数 f (x) 在（ 0, f (0) 处的切线方程；（ 2）若函数 f ( x) 有三个极值点，求实数 a 的取值范围。（ 3）定义：如果曲线C 上存在不同的两点 A( x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，过 AB的中点且垂直于x 轴的直线交曲线 C 于点 M ，若直线 AB与曲线 C 在点 M 处的切线平行，则称曲线C 有“平衡切线” ，试判断=- x+xG( x)e. f (x ) f (
3、x ) e的图象是否有“平衡切线” ，并说明理由-答案一选择题1. 已知 z1 i(i 是虚数单位 )，则 4z2()zA 2B 2iC 24iD 2 4i 答案 A2. 设 U R， M x|x 2 x0 ，函数 f(x) 1的定义域为 D ，则 M (?U D)x1A 0,1)B (0,1)C 0,1D 1答案C3. 设51)，那么 sin 的值为 ( 0，b0) 的离心率为 2，坐标原点到直线AB 的距离为2 ，其中 A(0， b)，B(a,0) (1)求双曲线的标准方程；(2)设 F 是双曲线的右焦点，直线l 过点 F 且与双曲线的右支交于不同的两点P、 Q，点 M 为线段 PQ 的中
4、点若点 M 在直线 x 2 上的射影为 N，满足 PNQN 0，且 |PQ| 10，求直线 l 的方程c2，a解：(1) 依题意有ab3解得 a 1， b3， c2.a2 b22 ，a2 b2 c2.所以，所求双曲线的方程为2y2x 1.3(2)当直线 l x 轴时， |PQ| 6，不合题意当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y k(x 2)由2y2，x 1 x03消去 y 得， (3 k2)x2 4k2x 4k23 0.y k x 2 ，因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3 k2 0.设 P(x1， y1)， Q(x 2，y2)， M(x 0， y0) ，则 x1、 x2 是方
5、程的两个正根，于是有24kx1 x2k2 30，x1x24k2 3所以 k23. k2 3 0， 4k2 2 4 3 k2 4k 2 3 0， 1因为 PN QN 0，则 PN QN，又 M 为 PQ 的中点， |PQ|10，所以 |PM| |MN| |MQ|2|PQ| 5.又x1 x22k22|MN| x0 2 5， x0 3，而 x02k2 3 3， k 9，解得 k 3. k 3 满足式， k 3符合题意所以直线 l 的方程为y3(x 2)即 3x y 60 或 3x y 6 0.21.（本大题满分14 分）已知函数f ( x) = ex (x3 - 6x2 + 3x + a) .(1) 当 a=1 时，求函数 f (x) 在（ 0, f (0) 处的切线方程；（ 2）若函数 f ( x) 有三个极值点，求实数 a 的取值范围。（ 3）定义：如果曲线C 上存在不同的两点 A( x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，过 AB的中点且垂直于x 轴的直线交曲线 C 于点 M ，若直线 AB与曲线 C 在点 M 处的切线平行，则称曲线C 有“平衡切线” ，试判断- xx+ e 的图象是否有“平衡切线” ，并说明理由 .G( x) = f (x)- f ( x) e21、