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1、甘肃省天水市秦安县第二中学2015 年高二上学期第四次月考数学试卷一选择题（每小题5 分，共50 分）1. 函数 f (x)x3 , f ( x0 ) 6 , 则 x0A. 2B.2C.2D.12双曲线 x2y21 的渐近线方程是493xB y294A yxC yxD yx23493已知向量a(3,4,3), b(5,3,1)，则它们的夹角是A 0B 45C 90D 1354“ a 0,b0”是“方程 ax 2by 21表示椭圆”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件5. 已知 F1 , F2 是椭圆 x 2y 21 的两个焦点，过F1 的直线与椭圆交于、两
2、点，则169MNF 2 的周长为 . 16 . 8 . 25 . 326如右图所示，正三棱锥VABC 中， D , E, F 分别是 VC ,VA, AC 的VE中点， P为 VB 上任意一点，则直线DE 与 PF 所成的角的大小是（）DP(A) 300(B)600(C)900(D)随 P 点的变化而变化AFC7已知双曲线 x2y21(a0, b0) 与抛物线 y28x 有一个公共的焦点F ，Ba2b2且两曲线的一个交点为P ，若 PF5 ，则双曲线的渐近线方程为 ( )（ A） x3 y 0（B）3xy 0（ C） x2 y 0 （ D） 2 x y 08. 已知双曲线 x2y21(a0,
3、b0)，以右焦点F为圆心， | OF |为半径的圆交双曲线两a2b2渐近线于点M , N （异于原点 O ），若 | MN |2 3a，则该双曲线的离心率是（）（ A） 2（B） 3 1（ C） 2（ D） 39. 已知三棱柱 ABC A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中AB 与 CC1 所成的角的余弦值为（C1点，则异面直线）A1B1CDAB（ A）3（ B）5（ C）73444(D)410. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上， A1, A2 , B1 , B2 为椭圆顶点，F2 为右焦点，延长 B1F2 与 A2 B2 交于点 P
4、，若B1PA2 为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）y52（ A）,02（ C） 0, 5 1 252（ B）0,B22（ D）5 1 ,1A1 F1F2A22B1二填空题（每小题4 分，共 28 分）11.抛物线 y4x2 的准线方程为12. 直线 y 2x 3 被圆 x2 y2 6x 8y 0 所截得的弦长等于 _13抛物线 y 28x 的焦点到准线的距离是14直线 x 2 y+m0与曲线 yx 相切，则切点的坐标为15如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中， ABBCAA1 ，ABC 90 ，则直线 AB1 和 BC1 所成的角是2216已知双曲线 x 2y21, (a 0,b 0)
5、 左右焦点分别为F1、 F2 ，焦距为 4 ，点abP 为双曲线右支上一点，且 PF1PF2 ， F1P FO16，则该双曲线的离心率为17. 已知四面体 ABCD 中， DADB DC 3 2 ，且 DA, DB , DC 两两互相垂直，点 O 是ABC 的中心，将DAO 绕直线 DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线 BC 所成角的余弦值的最大值是_三解答题（第 17 题）18. （本题满分 14 分）已 知 函 数 fxx2 axba,bR 在 x2 处 取 得 极 值 ， 且 fx的 图 象 在 点1, f 1 处的切线与直线 x 3y0 垂直，求 :（） a, b 的值；（
6、）函数 f x 的单调区间 .19（本题满分 14 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， BAD60 ， AB 2, PA 1,PA 平面 ABCD , 点 E 是 PC 的中点 , F 是 AB 的中点（）求证：BE 平面 PDF ；（）求直线BE 与平面 PAD 所成角的正弦值PEDC20. （本题满分14 分）如图，圆 C ： x2 (1 a) xy 2AFBay a0（）若圆 C 与 x 轴相切，求圆 C 的方程；（）已知 a1 ，圆 C 与 x 轴相交于两点 M , N （点 M 在点 N 的左侧）过点 M 任作一条直 线 与 圆 O ： x2y 24 相
7、交 于 两 点 A, B 问 ： 是 否 存 在 实 数 a ， 使 得A N MB N Ma 的值，若不？若存在，求出实数存在，请说明理由21（本小题满分15 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆 C 右焦点 F (1,0)1，且 e2（ I ）求椭圆 C 的标准方程；（ II ）若直线 l ： ykxm 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点（ A，B 都不是顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标22（本小题满分15 分）已知函数f ( x)ln( xa)x2x , g(x)x exx21( x0) , 且 f (x)
8、 点 x1 处取得极值（）求实数a的值；（）若关于x的方程f ( x)5 xb 在区间1,3 上有解，求b 的取值范围；2（）证明：g ( x)f ( x) 参考答案一选择题1-5CACBA 6-10CBADD二填空题11.y112. 45 13 414(1,1)15 601616.3117.63三解答题18解：（） a1,b3（）函数fx 的递增区间为,0 和 2,，递减区间是0,219 (1)证明： 取 PD 中点为 M ，连 ME , MF E 是 PC 的中点 ME 是PCD 的中位线 , ME1 CD2 F 是 AB 中点且 ABCD 是菱形， ABCD ，ME1 AB . MEFB
9、 四边形 MEBF 是平行四边形 .BE / MF ,2从而 BE平面 PDF , MF平面 PDF, BE 平面 PDF（）解：由 ( ) 得 BE / MF ，直线 BE 与平面 PAD 所成角就是直线MF 与平面 PAD 所成角。过 F 作 FHAD , 垂足为 H ，连 MH PA 平面 ABCD 面 PAD 平面 ABCD又面 PAD平面 ABCD = AD ， FHAD FH 面 PAD FMH 是直线 MF 与平面 PAD 所成的线面角又底面 ABCD 是菱形，BAD 0 ，AB2，F是AB的中点 DF =3 , FH3602又 PH = 2 , PD = 5 PHDF MH =
10、5， sinFH152FMHFM5直线 BE 与平面 PAD 所成的线面角的正弦值为15 520. 解：（）因为y02(1 a) xy2ay a 0x得 x2(1 a) x a0 ，由题意得(1 a) 24a(a1)20 ，所以 a 1故所求圆 C的方程为 x22xy2y1 0 （）令 y0 ，得 x 2(1a) xa0 ，即 ( x 1)( xa) 0所以 M (1,0), N (a,0)假设存在实数 a ，当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直线AB的方程为 yk( x1) ，代入 x 2y 24得， (1 k 2 ) x 22k 2 x k 24 0 ，设 A( x1 , y1 ), B
11、( x2 , y2 ), 从而 x1x22k 22 , x1 x2k 241 k1k2因为y1y2k( x11)( x2a)(x21)( x1a)x1ax2 a(x1a)( x2a)而 ( x11)( x2a) ( x2 1)( x1a) 2x1x2( a 1)( x2x1 ) 2a2 k 24(a 1)2k 22a1k21 k 22a81k 2因为ANMBNM ，所以y1y20，即 2a80 ，得 a 4 x1 a x2a1k 2当直线 AB 与 x 轴垂直时，也成立故存在 a 4 ，使得ANMBNM x2y21(a b 0) ，21. 解：（ I ）由题意设椭圆的标准方程为b2a2由已知得
12、： e11 ，且 c2 a 2 ， b2a2c23 的 准方程 x2y2 5 分1 4 3（ II ） A( x1， y1 ) ， B(x2， y2 ) ，ykx，m222 立22得xy(3 4k ) x8mkx 4(m 3) 0 ，1.4364m2k216(34k2)(m23)，即34k2m2，00x1x28mk， 7 分34k 24(m23)x1x234k 2 .又 y1 y2(kx1m)(kx2m)k 2x1x2mk ( x1x2 )m23(m24k 2 )， 10 分34k 2因 以 AB 直径的 的右 点D (2，0) ， kAD kBD1 ，即y1y21 ，2x22x1 y1 y2
13、x1x22( x1x2 ) 4 0， 3( m24k 2 )4( m23) 16mk40 ，34k 234k 234k 2 7m216mk4k 20 解得： 7m2k0 或 m2k0 13 分直 l 点 ( 2 ,0) 或点 (2,0) （舍） 15 分722（本小 分15 分）22. 解：（） f (x)ln( xa)x2x ， f (x)1a2x1x函数 f ( x)ln( xa)x2x 在点 x1 取得极 ， f(1)0 ，即当 x1 时12x10 ，x a 110 ， 得 a0 . 符合 意 5 分1a（） f ( x)5 xb , ln xx2x5xb ,22 ln xx27xb .
14、27 x( x令 h( x)ln xx20) , 6 分2则 h(x)12x7(4x 1)(x2).x22x当 x1,3 ， h ( x), h( x) 随 x 的 化情况表：x1（ 1,2 ）2（ 2， 3）3h ( x)+0- 8 分h( x)极大 算得： h(1)535ln 235,ln 2 3， h(3) ln 32， h(2)， h( x)222所以 b 的取 范 5 ,ln 23。 10 分2（） 明：令Fxg(x)f (x)x exln xx1x0，则 F xx 1 ex1 1x 1x ex1 ， 11 分xx令 G ( x)x ex1 ， G ( x)x1 ex0(x0) ，函数 G ( x) 在0, 增， G ( x) 在 0,上的零点最多一个 12 分又 G (0)10 ， G (1) e10 ，存在唯一的 c0,1 使得 G (c)0 ， 13 分且当 x0,c ， Gx0 ；当 xc, ， Gx0.即当 x0,c ， Fx0 ；当 xc, ， Fx0.F ( x) 在 0,c 减，在c, 增，从而 F xF c c ecln c c1 . 14 分由 G (c)0 得 cec10 即 cec1 ，两 取 数得：ln cc0 ， F c0 ，FxF c0 ，从而 得 g( x)f ( x) . 15 分