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1、联赛导引 (四) 直线 圆 圆锥曲线平面向量一,基础知识导引,直线与圆1,两点间的距离公式 :设 P1( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,则 PP12( x1x2 )2( y1y2 )2;2,线段的定比分点坐标公式:设 P ( x , y ), P ( x, y ),点P( x, y)分 PP的比为,则11 12221 2xx1x2 , yy1y2 (1)113,直线方程的各种形式(1),点斜式 : y y0 k ( xx0 ) ;(2),斜截式 : ykxb ;(3),两点式 :yy1xx1y2y1x2x1(4),截距式 :xy0) ;(5), 一般式 : Ax ByC
2、0( A, B 不同为零 );a1(a, bbxx0t cos(t 为参数 , 为倾斜角 ,t 表示点 ( x, y) 与 ( x0 , y0 ) 之间的距离 )(6) 参数方程 :y0t siny4,两直线的位置关系设 l1 : A1xB1 yC10,l2 : A2 xB2 yC20 (或 l1 : yk1xb1, l 2 : yk2 xb2 ). 则(1), l1 / l2A1B2 A2 B10 且 AC12A2C10(或 k1k2 且 b1b2 );(2), l1 l 2A1 A2B1 B20 (或 k1k21).5,两直线的到角公式与夹角公式:(1),到角公式 : l1 到 l 2 的
3、到角为,则 tank2k1 ,( 001800);1 k1 k2(2),夹角公式 : l1 与 l 2 的夹角为,则 tank2k1 ,( 00900).1 k1k26,点 P0 (x0 , y0 ) 到直线 l : AxByC0 的距离 : dAx0 By0C.A2B27,圆的方程(1),标准方程 : ( x a)2( yb)2R2 ,其中 (a,b) 为圆心坐标 ,R 为圆半径 ;(2),一般方程 : x2y2DxEyF0 ,其中 D 2E 24F0 ,圆心为 (D ,E ) ,半径为 122D2E 24F .21xaR cos(3),参数方程 :,其中圆心为(a, b) ,半径为 R.y
4、bR sin,圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义与两个定点的距离的与两个定点的距离的与一个定点和一条定和等于常数差的绝对值等于常数直线的距离相等x2y21x2y21y22pxa2b2a2b2标准方程(或 x22 py )x2222y1),yx1 )(或a2(或b2b2a2参数方程焦点正数 a,b,c,p 的关系离心率准线渐近线焦半径统一定义xacosxa secx2 pt 2ybsinyb tany2 ptxb sinxb tanx2 pt(或yacos)( 或ya sec)(或y2 pt 2 )(c,0)或 (0,c)(c,0) 或 (0,c)( p ,0) 或 (0, p)22c2a2b2c2a
5、2b2( ab0 )( a0, b0)ec1ece1a1axa2(或 ya 2xa2(或 ya2xp (或 yp )c)c)22ccybbx (或 xy )aapPF1aex0PF1ex0aPFx02PF2a ex0PF2ex0ap)(或 PFy02(或 PF1a ey0( PF1ey0a ,PF2aey0 )PF2ey0a ),( 点 P 在左或下支 )到定点的距离与到定,(注 :焦点要与对应直线的距离之比等于定值的点的集合准线配对使用 )2二,解题思想与方法导引.1,函数与方程思想2,数形结合思想.3,分类讨论思想.4,参数法 .5,整体处理三,习题导引,选择题1,在平面直角坐标系中xy
6、xy1(a, b 为相异正数 ),所表示的曲线是,方程2a2bA, 三角形B, 正方形C,非正方形的长方形D, 非正方形的菱形2,平面上整点 (坐标为整数的点 )到直线 y5 x4的距离中的最小值是35A,34B,341D,117085C,30203,过抛物线 y28( x2) 的焦点 F 作倾斜角为 600的直线 ,若此直线与抛物线交于A,B两点 ,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点 ,则线段 PF 的长等于A,16B,8C,163D, 8 33334,若椭圆x2y21 上一点 P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2 倍 ,则 P 点坐标为3620A, (3,15)B, (3,15)
7、C, (3,15)D, ( 3,15)5,过椭圆x2y21 (ab0)中心的弦 AB,F (c,0) 是右焦点 ,则AFB 的最大面积为a2b2A, bcB, abC, acD, b2x2y21上的任意一点 , F1 , F2 为焦点 ,若F1PF2,则 S F1 PF26,已知 P 为双曲线 a2b2A, b2 cotB,1 ab sinC, b2a2tan2D, (a2b2 )sin22,填空题7,给定点 P(2,3), Q (3,2),已知直线 axy20 与线段 PQ(包括 P,Q 在内 )有公共点 ,则 a 的取值范围是.8,F (a,0) (a0)作直线 l 交 y 轴于Q,Q点作
8、QT FQ交x轴于T点,过定点点 过延长 TQ 至 P 点 ,使 QPTQ ,则 P 点的轨迹方程是.已知椭圆 x2y21(ab0)与直线xy1交于M,N两点 且OMON,(O 为9,a2b2,3原点 ),当椭圆的离心率 e32., 时,椭圆长轴长的取值范围是3210,已知 F1, F2 是椭圆 x2y21的两个焦点 ,M 是椭圆上一点 ,M 到 y 轴的距离为1612MN ,且 MN 是 MF1 和 MF2 的等比中项 ,则 MN 的值等于.11,已知点 A 为双曲线 x2y21的左顶点 ,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上 , ABC 是等边三角形 ,则ABC 的面积等于.x2y2n0)
9、和双曲线x2y21(a 0, b0) 有相同的焦点 F1,12,若椭圆1( mabmnF2 ,P 为两条曲线的一个交点,则 PF1 PF2的值为.,解答题x2y2PAB 射线x角 ,直线 AP,BP 的斜率13,设椭圆1有一个内接与轴正向成2,OP36适合条件 kAPkBP0 .(1), 求证 :过 A,B 的直线的斜率k 是定值 ;(2), 求PAB 面积的最大值 .14,已知 AOB(为常数且 02),动点 P,Q 分别在射线 OA,OB 上使得POQ的面积恒为36.设POQ 的重心为 G,点 M 在射线 OG 上,且满足 OM3 OG .2(1),求 OG 的最小值 ;(2),求动点 M
10、 的轨迹方程 .15,过抛物线y22 px (p 为不等于2的素数)的焦点F,x轴不垂直的直线 l 交抛物线作与于 M,N 两点 ,线段 MN 的垂直平分线交MN 于 P 点,交 x 轴于 Q 点 .(1), 求 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程 ;(2), 证明 :L上有无穷多个整点,但 L 上任意整点到原点的距离均不是整数.四,解题导引1,D令 yx,得yxa ,x 得xyb ,: (a, a) ,令 y由此可见 曲线必过四个点( a, a) , (b,b) , ( b, b) ,从结构特征看 ,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知它是非正方形的菱形 .25x015 y0125(
11、5x03 y0 )123y0 2 (可取 x0y01)时 ,2,B d850534,当 5x0434dmin(其中 ( x0 , y0 ) 为平面上任意整点 ).853,A此抛物线的焦点与原点重合,得直线 AB 的方程为 y3x,因此 A,B 两点的横坐标满足方程 : 3x28x160 .由此求得弦 AB 中点的横坐标x04,纵坐标 y04,进而33求得其中垂线方程为y41 ( x4) ,令 y 0,得 P 点的横坐标 x 4416,33333即 PF= 16 .34,C设P( x , y ) ,又椭圆的右准线为x9,而PF2 PF2,且PFPF12,00112得 PF24,又PF22,得 x
12、03 ,代入椭圆方程得y015 .9x0e35,A(1)当 ABx 轴时 , S AFB1(2b)cbc ;2ykxk 2a2b2(2) 当 AB 与 x 轴不垂直时 ,设 AB 的方程为 ykx ,由x2y2消去x得 y2.b2k2 a21a2b2设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1kab, y2kab,b2k 2a2b2k 2a2SAFB1 c( yy)1 c2abkabck 2abc1bc .2122b2k 2a2b2k2 a2b22ak 222PF222 PF1PF2cos( PF1PF2 )22 PF1PF26,A由 F1 F2PF1(1cos) ,
13、得 PF1 PF22b2, S F PF21 PF1 PF2sinb2sinb2 cot.1cos121cos27,4 , 1设线段 PQ 上任意一点 M ( x , y ) 且令 PMt (0t1),则 x0(1t )23t5 200PQ=2t,y0(1t )(3)t 23故a(2 t)(35t )20, t12a,5t ,a512a41由 0 t1 得 01 ,解得a55a.28, y24ax设直线 l 的方程为yk ( xa) ,Q点坐标为(0,ka) ,QT的方程为则直线5y1xka ,所以 T 点坐标为 (k 2 a,0) ,从而 P 点坐标为 ( k 2a,2ka) ,设 P 的坐
14、标为k( x, y) ,则xk 2 a,消去 k 可得 P 点轨迹方程为y24ax .y2ka9, 5, 6x2y21 ,可得 (a2b2 ) x22a2 x a2a2b20由 a2b2xy1由OMON得x1x2y1 y20即2x1 x2( x1x2 ) 1 0将x22a22 ,2,x1abx1 x2a2a2b2代入得1121213 c2a2b2a2b2,即 2a2,因为3a2,得b11 b21 ,得1 b22 ,有 3a2 (212 ) 2 ,解得 5 2a226 .3a22a32a85延长 NM与椭圆x2y 21 的右准线 l : x8相交于 D, 设 M ( x, y) ,则10,516
15、12MD 8 x ,因 e1 , 2a 8 ,得 MF 21 MD1 (8 x) , MF18 MF21 (8 x) ,22222MF1 MF 2 ,得 x264,故MN85.又 MN5511, 33设点C在x轴上方 由 ABC 是等边三角形得直线AB的斜率k3又直线,3过 A( 1,0) 点 ,故方程为 y3 x3,代入双曲线方程 x2y21,得点 B 的坐标为33(2,3) ,同理可得C的坐标为(2,3) ,ABC 的面积为2(1)333 .所以12, ma不妨设 P 为第一象限的一点,则 PF1PF22 m , PF1PF22a ,.得PF1am , PF2m a ,于是 PF1 PF2
16、m a .13,:(1) 证明 :易知直线 OP 的方程为 y3x ,将此方程代入3x2y26 ,可求得交点P(1,3) .由题意可设直线PA,PB 的方程分别为y3k( x1) 和 y3k( x1) ,分别与椭圆方程联立,可求得 A,B 的横坐标分别为xAk223k3, xBk 223k3.3k 23k 26从而 yAk (23k6)3, yBk(23k6)3 ,3k 23k 2所以 kAByByA12k3k 23 (定值 ).xBxA3k 243k(2) 不妨设直线 AB 的方程为 y3xb ,与椭圆方程联立 ,并消去 y 得6x223bx +(b26)2( xAxB )2( yAyB )24( xAxB )2 4( xAxB ) 24xA xB 0 ,有 AB= 4(3b)22(b26)4b216333点 P 到战线 AB 的距离 d33bb ,所以 S21b2(164b2 ) =2PAB2443b2(12b2)1b2(12b2 )23 ,当且仅当226时 ,122b 12b,即 b12( S PAB )max3 .14,解(1),以O为原点,AOB 的平分线为x轴建立