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1、现代控制理论基础数学基础一：矢量空间的定义矢量空间是线性空间，矢量空间中的运算，属于线性运算法则范畴。例如：间。x1xx2属于二维矢量空间，属于 n 维矢量空yxn当 x 属于某一矢量集 V 时，称 x 是 V 的元素， 即xV。线性空间的定义：如果 V 是非空的集合， P 为数域，设 V 具有如下性质：1：V 中的元素定义有加法， 使任何 x,y V 有 z= x+y V，并且加法运算具有下列性质：1) x+y= y+x2) x+y+z= （x+y）+z2：V 中有这样的元素，称为零向量，记作 0，它具有如下性质：1)对任何 xV，有 x+0=0+ x= x2)对任何 xV，存在 -xV，使
2、 x+（-x）=0，则-x 为 x 的逆元素。3：在 V 中定义了数乘，使任何 P，xV，有 xV，且1） ， P，xV 有（ ） x=（ x）12)（ +）x= x+ x3)（x+y）=x+ y4) 1x=x在上述条件下， 称 V 数域 P 上的 性空 ， 若 P 复数域 C（或 数域 R） V 为 C（或 R）上的 性空 。 性空 中的元素称 矢量，因此 性空 也叫矢量空 。二：空 的 数1：空 矢量的 性相关性和 性无关性设 V 是 性空 ， x1,x2,xmV,如果能找到一个数 (k 1,k2, km)(0,0, 0)，使 k1x1+ k 2x2+k mxm =0成立， 称 x1 ,x
3、2,xm 性相关。反之，如果 当 (k1 ,k2 , km)=(0,0, 0)，才有 k1x1+ k2x2 +k mxm=0 成立， 称 x1,x2 ,xm 性无关。例 1：求矢量 x= （1，1），y= （2，2）的 性相关性。解：令 k1 x+ k2y=0 ，得：k12k20k12k20即：12k112k20有非零解，故x，y 性相关。2例 2：求矢量 x= （1，0），y= （0，1）的 性相关性。k10解：令 k1 x+ k2y=0 ，得：k20故 x，y 性无关。例 3：求矢量 x=（1，4，1），y= （1，2，3），z=（ 1，3，6）的 性相关性。解：令 k1 x+ k2y+
4、k 3z =0 ，得：111k1423k20136k3其系数行列式：1114230236故 x，y，z 性无关。定理一： 有 n 个矢量：a1 =（a11 ，a12 ， a1n ）a2 =（a21 ，a22 ， a2n ）an =（a n 1 ，a n 2 ， a n n ）如果行列式：a11a12a1 na21a22a2n0an1an 2ann则 a1 ，a2an 必 性无关。3定理二：当 m2 ，矢量 a1 ，a2am 性相关的充要条件是其中至少有一个矢量可表示成其它 m-1 个矢量的 性 合。定 ：在 性空 V 中，若存在 n 个元素 a1，a2 an 足：1）：a1 ，a2an 性无关
5、；2）：V 中的任一元素 a 可由 a1，a2an 性表示， 称 a1， a2an 性空 V 的一个基， n 称 V 的 数， dimV=n 。 数 n 的 性空 称 n 向量空 Vn， n 列向量空 Rn，复 n 列向量空 Cn 。2：矩 的秩与矢量相关性的关系（ 1）秩的定 ： 矩 中所含不等于零的子行列式的最高 数，称 矩 的秩。 矩 A 的秩 rankA 。若 A 为 n 方 ：rankAn ，称 A 降秩矩 （奇异矩 ）rankA=n ，称 A 秩矩 （非奇异矩 ） ，此 detA 0。（2）矩 的秩与矢量相关性的关系定理三： 若 rankA=r ， A 中有 r 个行（列）矢量 性
6、无关，而其余的行（列）矢量是 r 个行（列）矢量的 性 合。定理四： n 行列式的行（列）矢量 性无关的充要条件是其行列式不等于零。定理五： 设 ARnm，BRms ， rank （AB） min（rankA ，rankB ）。4（3） 性方程式的解与秩的关系 性方程 ：a11 x1+a12 x2+a1n xn=b1 a21 x1+a22 x2+a2n xn=b2am1 x1+am2 x2 +amn x n=bm可写成矩 形式AX=b其中：a11a12a1nx1b1a21a22a2nx2b2AXbam1am2amnxnbm增广矩 ：AAb定理六： 性方程 有解的充要条件是：rankArankA
7、定理七： 性方程 有唯一解的充要条件是：rankArankArn有无 多个解的充要条件是：rankArankArn定理八： 于 次方程 AX=0 ，当 mn ，必有非零解，当 m=n ，有非零解的充要条件是系数行列式 零。5三：逆矩阵和矩阵的微分和积分1：逆矩阵对于非奇异矩阵 A，存在着一个逆矩阵 A-1 ， 使 A A-1 = A -1A=I 。逆矩阵具有如下性质：(A-1 )K =(AK )-1 、 (A-1 )T=(A T)-1、(A-1)*=(A *)-1其中 AT、A*分别为 A 的转置矩阵和共轭转置矩阵。若 A、B 均为非奇异矩阵，有 (AB) -1 =B-1 A-1 。c11c2
8、1cn1A111 c12c22cn2adjAAAc1nc2ncnncij为元素的 aij余因子 ,cij( 1) i jij例：设120A 312103求 A-1 。解： |A|=17364364171717adjA732 ，故 A 173212717171712717171762：矩阵的微分设：a11 (t )a12 (t )a1n (t )a21 (t )a22 (t)a2n(t )A(t )，am1 (t )am2 (t )amn (t )a11 (t)a12 (t)a1n (t )dA(t)a21 (t)a22 (t )a2n (t )则：dtam1 (t)am2 (t)amn (t)
9、矩阵的微分法则：d A(t)dA(t)dB(t)dtB(t)dtdtd A(t )B(t)dA(t )dB (t )dtB(t) A(t )dtdtdA(t) 2dA(t) A(t)A(t ) dB(t )dtdtdtdA(t ) 1A(t) 1 dA(t) A(t) 1dtdt3：矩阵的积分设a11 (t )a12 (t)a1n (t )a21 (t) a22 (t)a2n (t )，A(t)am1 (t)am2 (t )amn (t)a11 (t )dta12 (t) dta1n (t )dt则： A(t )dta21 (t)dta22 (t)dta2 n (t)dtam1 (t )dta
10、m2 (t )dtamn (t )dt四：格兰姆矩阵和格兰姆行列式7设 x1,x2,xn 为 m 向量空 V 中的一 向量， 下列 nn 矩 称 x1,x2,xm 的格 姆矩 G，其行列式 detG 称 格 姆行列式。( x1 , x1 ) (x1, x2 )( x1 , xn )( x2 , x1 ) ( x2 , x2 )( x2 , xn )G ( xi , x j ) n n( xn , x1 ) ( xn , xn )(xn , xn ) n n其中：t1T(xi , x j )xi (t )x j (t)dtt 0定理： F(t)的列向量 f1 ,f2,fn 性独立的充要条件是它
11、的格 姆矩 非奇异。 明：充分性： 格 姆矩 非奇异， 求 f1 ,f2,fn 性无关。即：ni f i0（ 1）i 1只有零解。（1）式左乘 fjT(j=1,2, n)， t 分：t 1nf j Ti f i dt 0（2）t 0i 1即：f1Tt1Tnf 2i f i dt 0t0i1Tf n或写 ：( f1 , f1 )( f1 , f 2 )( f 1, f n )1( f 2 , f1 )( f2 ,f 2 )( f 2 , f n )280( f n , f1 )( f n ,f n )( f n , f n )n（ 3）由于 f1,f2,fn 的格 姆矩 非奇异，故上式只有零解，
12、即： 1 ,2 ,n T0 明 f1,f2,fn 性无关。必要性：若 f1 ,f2,fn 性无关，求 f1,f2,fn 的格 姆矩 非奇异。或 f1,f2,fn 的格 姆矩 奇异，求 f1,f2,fn 性相关。 然，由于 f1,f2,fn 的格 姆矩 奇异， 明（3）式有非 零 解 ， 即 存 在 1, 2 , , n T0 使（3）式成立。（3）式成立 明（ 2）式成立， 于（ 2）式，分 乘以 j(j=1,2, n) ，并相加，得：t1nnj f jTi f i dt0（4）t 0j1i1nn上式中ifi, 一列向量，其 置j f j T , 行向量。i 1j 1nf j Tn由（ 4）式可知存在故jifi 具有非 性，j1i1 1 ,2 ,n T0, 使ni f i0 成立。 明 f1,f2,fn 线性相关。i 19