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1、2006 年 ( 上 ) 小学数学竞赛 贰级 教练员考试试卷答案（ 1-8 填空 , 每 5 分； 9-17 解答 , 每 10 分 ;18 三 一 ,20 分 , 共 150 分）1十六 制（ 16进 1）采用数字 0-9 和字母 A-F 共 16 个数字符号， 些数字与十 制数字的 关系如下表：十六 制0123456789ABCDEF十 制0123456789101112131415例如，用十六 制的数字：E+D=1B 。 用 种数字表示下面的乘 ：A B=_ 。解： A 表示十 制数10， B 表示 11， A B 表示 10 11=110，110=16 6 14，A B=6E 。2已知
2、， A , B , C是 3 个最 真分数。若把 3 个分数的分子都加上B ， 所得的 3256个分数的和是 68 。原来 3 个最 真分数分 是_ 。15解：由 A BBBCB68得15A32B5C68 。256153015所以， 15A 32B 5C=136 。由条件可知， A=1 ，C=1 或 5。 算，只有A=1 ，B=3 ，C=5 符合条件。故所求的三个最 分数是 1 ,3 ,5 。2563某班共有学生48 人，其中 27人会游泳， 33人会 自行 ，40 人会打 球。 那么， 个班至少有 _名学生 三 运 都会。解 1：根据 意，不会游泳、不会 自行 和不会打 球的人数分 是21、
3、 15 和 8。故至少有一 不会的最多 21 15 8=44（人），由此，三 都会的至少有48 44=4（人）。解 2：会游泳、又会 自行 的至少有27+33 48=12 （人）。所以， 三 运 都会的至少有12+40 48= 4（人）。4 有 n(n365)个人，每人的生日都不是2 月 29 日， n 个人生日互不相同的概率是 _ 。（一年按365 天 算）解：因 1 个人的生日有365 种可能的状况， 2 个人的生日有3652 种可能的状况，n 个人的生日有365n 种状况。其中n 个人的生日互不相同的状况有nn!种。所以，C365nn 个人的生日互不相同的概率是C365n! 。365n第
4、 1页 (共 7 页)5ABCD 中， AB=20cm，BC=18cm ， E 是 AB 的中如图，长方形点， F、 G 分别在 AD 、BC 上， AF= 1 AD ， BG=2BC ，H 是 CD33上的任意一点，则图中阴影部分的面积是_。解： S= 1(20 2) 181(18 3) 20=90 60=150(cm 2)。226已知： ABC 是等腰三角形，高 AD= 1BC。则2 BAC=_ 。解： (1)如果 BC 是等腰三角形的底边，则AD=BD=CD ，所以， BAC=90 。(2) 如果 BC 是等腰三角形的腰， (如图 )则 AD= BCAB ，22 B=30 ， BAC=
5、180 3075 。27用大小相同的黑、白两种正方形瓷砖铺成如下的图案序列：则图案中黑色瓷砖的块数的通项公式是_ 。n 21如果是奇数;解： an2,n2n如果 是偶数.,n28有两张正方形纸，它们的边长都是整厘米数，大的一张的面积比小的一张的面积多44cm2。大、小正方形纸的边长分别是_与 _。解：设大小正方形的边长分别是a 和 b 。则 a2 b2=44 ，即 (a b)(a b)=2 2 11ab11ab22ab44b4或b2或b1aaa边长 a， b 都必须是整厘米数，a b 与 a b 必须奇偶性相同，所以，只能是ab22a12ab，解得b。210第 2页 (共 7 页)9已知： a
6、, b, c 中有一个数是7，一个是8，一个是9。求 ： (a 1)(b2)(c 3) 必然是偶数。 明 1：因 a、 b、 c 中有两个奇数，一个偶数，所以 a、c 中至少有一个是奇数，从而a 1、 c3 中至少有一个是偶数，因此 (a1)(b 2)(c 3) 是偶数。 明 2：假 (a 1)(b 2)(c 3) 是奇数， a 1，b 2， c 3 都是奇数。因此， a， c 是偶数，并且 b 是奇数。 和已知条件“ a， b， c 中有两个奇数、一个偶数”矛盾。所以 (a 1)(b 2)(c 3)必然是偶数。10 段 AB的两端各有一个数1 和 1 。 在按以下 律在 段上写出一些数：第一
7、32次在 AB 的中点 C 写上 1 和 1 的算 平均数； 第二次又在 AC 和 CB 的中点写上它 的32两端两个数的算 平均数（如下 ）；，如此 。第八次写完数以后， 段AB 上所有各数的和是多少？ACBACB151，19511131223241224，2（第一次）（第二次）解：易 ，从左至右各分点上的数成等差数列，并有：第一次写数后， 段上的分点有21 个；第二次写数后， 段上的分点有22 1 个；第八次写数后， 段上的分点有28 1 个。所以， 段 AB 上所有各分点上的数之和是：1181525732612852。221211求方程y 22006x 20 的整数解。解：原方程可化 (
8、x y)(x y)=2006而 2006=2 1003 ，所以有（ 1）若 x， y 同奇偶， x y 、 x y 均 偶数，因而 (x y)(x y)为 4 的倍数，不可能等于 2006；（ 2）若 x， y 一奇一偶， xy 、 x y 奇数，因而 (x y)(x y) 奇数，不可能等于 2006。 上所述可知：原方程无整数解。第 3页 (共 7 页)12糖果店开 了。 家糖果店的糖果只有两种包装：要么4 一包，要么7 一包，不拆包零 。 ：哪些 数的糖果在 里不好 ？解 1：依次考察 1， 2， 3， 糖果的可能性。 数1234567891011121314方式4 17 1 4 24+7
9、4 37 2能否能能能能能能 数1516171819202122方式7+424 47 2+443+74 5 7 37 2+4 2能否能能能易 ，从 18 开始， 出 能 的 数在四个以上，因此， 有1， 2， 3， 5， 6，9，10， 13， 17 这 9 种 数不能 。解 2： 4n 1=4n4 2 7 14n 2=4n 4 4 7 24n 3=4n 7 1 4 1当 N 7 2 4 1=18 ，都可以用4 与 7 的正整数（或零）倍的和来表示。 ，当 N6，所以，（ 1） AP 是等腰三角形的腰，并且A 是等腰三角形的 点。 Q 在以 A 心、 AP 半径的 上。(A ， AP) 与 方
10、形ABCD 的 界有两个交点；（ 2） AP 是腰，并且 P 是等腰三角形的 点，则 Q 在以 P 心、 AP 半径的 上。 (P， AP)与 方形ABCD 的 界的交点除点A 外另有 4 个；（ 3）如果 AP 是等腰三角形的底 ， Q 在 AP 的垂直平分 上。 AP 的垂直平分 与 方形 ABCD 的 界也有两个交点。因此，共有8 个 的点Q。17已知： P 是正方形 ABCD 内的一点， PAPB PC=123。求 APB 。分析：（ 1）在 APB 中，只根据 PAPB=1 2，求 APB 的度数是困 的，要 法 用其它条件。（2） 了把条件PAPBPC=1 2 3 集中到一个三角形
11、或四 形中，我 可以将APB 绕 B 沿 方向旋 90，到达 CQB 的位置，就第 5页 (共 7 页)可以得出一个等腰直角三角形 PBQ 和另一个三角形 PCQ，所要求的角 APB= CQB ，它的一部分 PQB=45 。只要 法求出 PQC 的度数， 即可解决。解： PA、 PB、PC 分 a，2a， 3a。将 APB 点 B 顺时 旋 90，至 CQB 位置， PQ。 APB= CQBCQ=AP=a ， QB=PB=2a PBQ= PBC+ CBQ= PBC+ ABP=90 PQB=45 2222222222 PQ =PB +QB =8a， PQ +CQ =8a +a =9a =PC P
12、QC=90 BQC=45 +90 =135 APB= BQC=135 18从下列各 中任 一 ，分析解 思路，并解答。（ 1）用数字卡片 1，2， 3， 4，5 出一个三位数和一个两位数，使它 的乘 最大。 写出 个算式。分析与解：由 abcde =1000ad+100(ae+bd)+10(be+cd)+ce 可知， a，d 要尽可能大，而c， e 要尽可能小，所以，a,d4,5 ， c,e1,2 。从而有 b=3 。 算、比 ： 431 52=22412 432 51=22032 531 42=22302 53241=21812 所以， 431 52 所求。解 2： b=3 ， ae+bd=
13、ae+3d， be+cd=3e+cd。 (ae+3d)(3e+cd)=(a 3)e+(3 c)d 要尽可能大。 e 要尽可能大， c 要尽可能小。 e=2， c=1。 a31d2 =1000 20+100(2a+3d)+10(6+d)+2 =20062+200a+310d 使 尽可能大， 取a=4， d=5 。即 成的算式是431 52。（ 2）怎 将 0， 1， 2， 9 分 填入右 加法 式的内，使 个 式正确。如何向小学生 清楚填写的思 程？并 算有多少种正确的填法。分析与解：从十位到百位最多只能有 位“1”，从百位到千位必 有 位“1”，百位上的加数只能是“ 9”，和的千位与百位分 是
14、“1”、“ 0”。右 待填的七个里只能填2 ， 3，4， 5，6， 7， 8 。考察个位， 2+3+4=9 ，所以个位相加而不 位是不可能的。 只能是 + =1 （等号左 的数字和比右 多 9）。此外，十位 有向百位的 “ 1”。所以，横 上的五个里的数字和将比横 下两个里的数字和多19。第 6页 (共 7 页)(2+3+4+5+6+7+8)-19 2=8即横线下两个里的数字和为8。可以分别填：(2， 6)， (6， 2)， (3， 5)和 (5，3)。假设和是1026，则加数的五个里应该分别填3 ， 4， 5，7， 8 。个位上的三个数的和是16，只能填3， 5，8（有 6 种填法）。十位上
15、分别填4， 7（有 2种填法）。共有 12 种填法。同理：当和是1062、 1035 或 1053 时，也各有12 种填法。总共有48 种正确的填法。（ 3）一个容器盛满了纯酒精。第一次倒出10L 后，用水加满；第二次又倒出6L 后，再用水加满。这时，容器内酒精与水的体积之比是7 13。求这个容器的容积。 （暂不考虑酒精与水混合后，总体积发生的变化）分析和解：设容器的容积为xL 。则容器内酒精与水的变动情况如下表：酒精（ L）水（ L ）原有x0第一次倒、加后x 1010第二次倒、加后66(x 10)(1 )10(1)+6xxx6(x 10)7由x601316x，得 13x 2 320x+1200=0 ，即 (13x 60)(x 20)=0， x= 60 10( 舍去 )或 x=20 。13答：这个容器的容积是20L 。第 7页 (共 7 页)