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1、在祖冲之以前下面一大一小两个圆，光凭肉眼看，你能说出哪一个的周长 / 直径之比更大吗？许多年前，小学数学老师说所有的圆周长和直径的比值是一样的。我信了，可是很长时间都不明白为什么。而且，即使明白了，又该如何去计算这个值是多少呢？在我想出一个方法之前，很不幸地被历史老师提前告知了正确答案：咱老祖宗早就研究过这个了。怎么样，这个老头很眼熟吧，教室的墙上经常可以见到他。这是世界上第一个把圆周率精确到小数点后第 6 位的祖冲之，这纪录保持了上千年，才被欧洲人打破。哇，那他是怎么算的呢？历史老师好像对这个不太感兴趣。后来才知道，祖冲之的算法仍然是个未决的悬案。古书的记载只有隋书律历志中一段文字：“宋末，
2、南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”也就是说，人们只知道祖冲之给出了圆周率介于3.1415926 和3.1415927 之间这个答案， 以及两个 的近似数 355/113 和22/7 。其他就没有线索了。咦，这个祖先生是南北朝年间的人物，在他之前的人类文明第 1页史已有三千多年，在他之后又有一千几百年了。可为什么一提到圆周率人们想起的就是他呢？只是凭着这么简略的一小段，既没说“为什么”又没说“怎么算”的记载？合书四顾心茫
3、然，看来得动手动脚找东西。从哪里入手呢？嗯，一个人用什么办法解决问题可以从他的知识背景看出些端倪。他读过哪些书，在朝廷里当什么官，或者做过什么工作，都能给我们一些提示。祖冲之家学渊源深厚，祖父是南朝主管皇家土木营建的大匠卿，而冲之本人精通历法和音律。这些技术全都需要算学的功底，可现在已经很难考证当时的学界推崇哪些算学书籍。不过，晚些时候的唐代国子监里把一套 算经十书 作为标准教材， 包括九章算术、周髀算经、海岛算经、孙子算经、夏侯阳算经、张丘建算经 、缀术、五经算术、五曹算经、和缉古算经 ，用于教习和考试。其中缀术是祖冲之所撰，前面六部的成书要早于他的时代。既然被后来的朝廷选为官方教材，说明这
4、些著作的权威性是比较大的，祖冲之很可能熟习了前几部古书中的计算技巧。那么其中有没有人提到过计算圆周率呢？有。而且看这个人留下的文字，闪烁的智慧丝毫不逊于后人。很可能就是这些思想，把祖冲之引向了辉煌的 6 位小数。这个人叫刘徽，生于三国时期，为九章算术作了很详细的注解。九章算术在现代的名声远远盖过算经十书里其第 2页他几部，大部分功劳得归于刘先生。其余枝节且按下不表，单看他如何拆解圆周的玄机。在刘徽之前的古代文字记载中，圆周率是“径一而周三”，也就是整 3 倍。从中国人的文化传统看，这个值很可能是匠人们（尤其是木匠）在劳动中的经验总结。想象一下，许许多多的匠人砍下大树为房屋搭柱子， 他们要比较长
5、度、 面积、体积这些最基本的几何关系。在无数次测量中，柱子横截面的周长和直径之比总是在 3 左右，有时多点有时少些。搭房子不需要计较差的那一点零头，于是业界就把这值取为三，用起来也十分顺当。九章算术里有许多关于圆的问题，原作者给出的答案都是基于这个比值 3 算的。好，我们在这里停一停。咳咳，你是一个生活在 21 世纪的新好青年，你知道圆周率至少是 3.14 。如果有一天寻秦记不幸在你身上上演，被派到赵国去说服他们的木匠，说柱子周长比直径的三倍还要略大，该怎么完成任务呢？备上一条量衣皮尺去量给他们看么？你有比这更好的建议吗？刘徽敏锐地察觉到了这个“3”的谬误，批注在九章相应的题目下（方田术三十二
6、）。他的理由聪明又简洁：在圆内画一个内接正六边形，如果圆直径是1 的话，这个六边形的周长就是3。而六边形的周长显然比圆小，那么圆周和直径之比肯定大于三了。第 3页更进一步地，从比较正六边形和圆的思路出发，刘徽找到了一个计算圆周长的方法割圆术，即不断增加圆内接多边形的边数。他说，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”边数越多，周长和圆周越接近； 无限地割下去， 就可以无限趋近于圆周。这样，算出多边形的周长作为圆周长的近似值，除以直径，就得到圆周率的近似值了。边数越多，就越精确。这个思路并不复杂，落实起来却有个问题需要解决：怎么实现“割之弥细”这个过程呢？在地上画
7、一个大大的圆，然后在圆里画一个很多很多边的多边形，然后计算多边形的周长？你能告诉我 96 边形的周长有多少吗？有点难。直接算很多边的形状有点无从下手。刘徽迂回了一下，使用递推的办法，从边数少的形状开始往上增加。观察下图：对于一个圆内接正多边形，把每条边对应的圆弧平分，就能得到一个边数是原来两倍的正多边形。如果我们从原来的边长AB能推出新多边形的边长AC，问题就解决了。因为 C 是个平分点，整个图形是对称的，那么OC就垂直平分 AB，也就是说ADC是一个直角三角形。其中AD的长度是AB的一半，很好算；只要求出CD就能用勾股定理得到AC。而 CD又恰好在半径 OC上，那么 CD等于半径减去 OD。
8、 OD是多少？哈， ODA也是个直角三角形呀，而且 OA就是半径， AD又已知， OD不就用勾股定理算出来了吗？跨过这道坎，通往第 4页圆周率的路上就只剩下计算了。刘徽选择了正六边形作为递推的起点，因为它的边长很容易算，就等于半径的长度，在图中就是 OA=AB。把半径设为 1 尺，他一直算到了 96 边形的周长。他由 96 边形求出来的圆周率是 3.14 。哦，原来祖冲之还没生下来的时候，算圆周率的方法就已经出来了！而且只要努力地“割之又割”，总能算到更精确的值。虽然祖冲之的结果比 3.14 多了四位小数，可开创性的工作是来自刘徽嘛！即使祖先生有更好的算法，也已经遗失无记载， 而刘先生的评注清
9、清楚楚地写在 九章算术 里面。为什么前者的知名度比后者高那么多呢？挂在墙上的应该是刘先生的画像才对啊！冷静，冷静。如果数一下从六边形到 96 边形，不过是 6、12、24、48、96，迭代了四次而已， 可是计算量已经非常惊人了。那时连算盘都还没发明（我们引以为豪的算盘是宋朝以后才出现的），人们的工具是“算筹”。计算规则和我们今天用阿拉伯数字进行笔算的方法大同小异，只不过每个数字都用相同数目的小棍儿来代替。想象一下这会产生什么麻烦吧：你写在纸上的3 决不会自己变成了12，可是如果摆在个位的三根小棍，有一根不小心被碰到了十位上，接下来的计算就差得十万八千里了。最麻烦的是，在使用勾股定理求边长的时候
10、得开平方。想一想，用一堆小棍子手动开平方啊！从六第 5页边形到 96 边形，这平方一开起来可是昏天暗地，如果边长还带着小数点。 。所以，虽然祖冲之很可能直接采纳了刘徽的思路，他可不是吃干饭捡便宜的闲人。你可以作个弊，用计算器来试试，看祖先生精确到第六位需要一个几边形，算出它的边长需要给哪些数开几次平方。当然，还不过瘾的话可以自己手动开一个看。更有趣的，祖冲之不仅算得准确无误，他给出的还是上限（盈）和下限（朒） ，“正数在盈朒二限之间”。这显然是一个考虑更周详的提法。不禁让人猜想，祖先生是不是用外切多边形和内接多边形分别逼近，来求出一大一小两个边界的呢？还有那两个作为近似圆周率的355/113 和 22/7 ，是怎么来的呢？尤其这个22/7 ，和地球另一边一个遥远希腊国度里的数学家，阿基米德，在公元前2 世纪得到的结果一模一样。他们的思想会不会有巧合？不得而知，不得而知。第 6页