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1、极限 的 概 念（4 月 27 日）教学目的 ：理解数列和函数极限的概念；教学重点 ：会判断一些简单数列和函数的极限；教学难点 ：数列和函数极限的理解教学过程 ：一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的庄子天下篇引用过一句话： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（ 1）求第 n 天剩余的木棒长度 an (尺 )，并分析变化趋势；（ 2）求前 n 天截下的木棒的总长度 bn (尺)，并分析变化趋势。观察以上两个数列都具有这样的特点： 当项数 n 无限增大时， 数列的项 an 无限趋近于某个常数 A（即 an A 无限趋近
2、于 0）。an 无限趋近于常数 A ，意指“ an 可以任意地靠近 A ，希望它有多近就有多近，只要 n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点 an 到 A 的距离 anA 可以任意小。二、新课讲授1、数列极限的定义：无限增大时，无穷数列 a 的项 a 无限趋近于 某个常一般地， 如果当项数nnn 数 A（即 an A 无限趋近于 0），那么就说数列 an 的极限是 A，记作lim an An注：上式读作 “当 n 趋向于无穷大时， an 的极限等于 A ”。“ n”表示“ n趋向于无穷大”，即 n 无限增大的意思。 lim anA有时也记作当 n时，an An引例中的两个数列的极限
3、可分别表示为_，_思考：是否所有的无穷数列都有极限？例 1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（ ） ， 1， 1，, ， 1，, ；（ 2） 1 ， 2 ， 3 ，, ，n ，, ；113n2 3 4n 12（ 3） 2，2，2，, ， 2，, ；（4）0.1，0.01， 0.001，, ， ( 0.1) n ，, ；（ 5） 1,1， 1，, ， ( 1)n ， , ；注：几个重要极限 ：（1） lim 10（2） lim C C （ C 是常数）nnn（3）无穷等比数列 q n （ q1 ）的极限是 0，即 ： lim q n0( q1)n2、当 x时函数的极限（1
4、） 画出函数 y1 的图像，观察当自变量 x 取正值且无限增大时，函数值x的变化情况：函数值无限趋近于 0，这时就说，当 x 趋向于正无y穷大时，1函数 yx的极限是 0，记作： lim 10xxxO一般地，当自变量 x 取正值且无限增大时，如果函数yf (x)的值无限趋近于一个常数A，就说当 x 趋向于正无穷大时，函数yf (x)的极限是 A，记作： limf (x)Ax也可以记作，当 x时， f ( x)A（ 2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而 x 无限增大时，函数 y1 的1x值无限趋近于，这时就说，当 x 趋向于负无穷大时，函数y0的极限是 0，记x作： lim10xx一般地，
5、当自变量 x 取负值而 x 无限增大时，如果函数 yf ( x) 的值无限趋近于一个常数 A，就说当 x 趋向于负无穷大时，函数 yf (x) 的极限是 A，记作： limf ( x)Ax也可以记作，当 x时， f ( x)A（ 3）从上面的讨论可以知道， 当自变量 x 的绝对值无限增大时， 函数 y1 的1x值都无限趋近于，这时就说，当 x 趋向于无穷大时，函数y0的极限是 0，记作 lim 1x0x x一般地，当自变量 x 的绝对值无限增大时，如果函数yf ( x) 的值无限趋近于一个常数 A，就说当 x 趋向于无穷大时，函数yf ( x) 的极限是 A，记作：lim f ( x)Ax也可
6、以记作，当 x时， f ( x)A特例：对于函数 f (x)C （ C 是常数），当自变量 x 的绝对值无限增大时，函数 f (x)C 的值保持不变， 所以当 x 趋向于无穷大时， 函数 f ( x)C 的极限就是C ，即lim C Cx例 2：判断下列函数的极限：（1） lim (1) x（2） lim 10 xx2x（3）1（4） lim 4lim2xxx三、课堂小结1、数列的极限2、当 x时函数的极限四、练习与作业1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1， 1 ， 1 ，, ，1，, ；（ 2）7，7，7，, ， 7，, ；49n 2111(1) n,；（3）, ,2n248（
7、4）2，4，6，8， , ， 2n， , ；1（5）0.1，0.01，0.001， , ，, ；n10（ ） ，1211，, ；60, , ，n23（7） 1 ,1 , 1 , , ， (1)n 11 ，, ；234n 1（ ）149, ， n2，, ；85,555（9） 2,0， 2， , ，( 1) n1 , ，2、判断下列函数的极限：（1） lim 0.4xx（3） lim(1)x（5） lim (1) xx 10（7） lim1x21x（2） lim 1.2 xx（ 4） lim1x4x（6） lim ( 5) xx 4（8） lim 5x补充： 3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD ，M 、 N 分别是 AB 、PC 的中点。（ 1）求证： MN AB ；P（ 2）若平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角为 ，能否确定 ，使得 MN 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线？若可以确定，试求 的值；若不能，说明理由。NADMBC