《华南理工高数第8章.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华南理工高数第8章.docx（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第八章重积分作业 9二重积分的概念与性质1利用二重积分的性质,比较下列积分的大小：（ 1）( x y)2 d与( x y)3 dDD(a)D 是由直线 x0, y0及 xy1所围成的闭区域；(b) D 是由圆周 ( x2)2( y 1)22 所围成的闭区域解： (a)因为在区域内部有xy1, xy2x3( xy)2 d 大y ，从而D(b) 因为在区域内部有xy1, x2xy3y) 3 d 大y，从而 ( xD（ 2）exyd 与e2 xydDD(a)D 是矩形闭区域：0x1,0 y1 ；(b) D 是矩形闭区域：1x0,0y1解： (a)因为在区域内部有0xy2xy,1exye2xy ，从而
2、e2xyd大D(b) 因为在区域内部有0xy2xy,1exye2xy0 ，从而exyd大D（ 3 ）ln(1 xyz)dv 与ln 2 (1xyz)dv ，其中是由三个坐标面与平面 xyz1所围成的闭区域解 ： 因 为 在 区 域 内 部 有 11xy z 2e,0 ln 1xy z 1 ， 从 而0 ln 1 x y z ln 2 1xyz ，因此ln(1 xyz)dv 大2利用积分的性质，估计下列各积分的值：（ 1）(x)d，其中 D 是矩形闭区域：0 x1,0y 1；IxyyD解：因为在区域内部有1xy(x y) 2, D 1，因此0I2（ 2） Iln(1x2y2z2 )dv ，其中为
3、球体 x2y 2z21 ；解：因为在区域内部有1ln(1 x2y2z2 )ln 2,V4，43因此 0 Iln 23（ 3） I( x y)ds ，其中 L 为圆周 x 2y21 位于第一象限的部分；L解：因为在曲线上积分，不妨设 xcost, ysin t ,2 xy costsin t2 sin t2 ，4s L2，因此22I2 2（ 4） I12 dS ，其中为柱面 x2y21 被平面 z0, z 1 所截下2y2zx的部分解：因为在曲面上积分，从而11z21， S2 ，2x2y2因此I2作业 10二重积分的计算1试将二重积分f (x, y)d化为两种不同的二次积分，其中区域D 分别为：
4、D（ 1）由直线 yx, x3 及双曲线 xy1 所围成的闭区域；解：作图得知区域D 可以表示为：1x3, 1yx ，x3x得f (x, y)ddxfx, y dyD11x区域 D 也可以分块表示为：1y1, 1x3;1y3, yx33y1333从而f (x, y)ddyfx, ydxdyfx, y dxD111y3y（ 2）环形闭区域： 1x2y 24 解：在极坐标下环形闭区域1x2y 24 为 1r2,0222从而f (x, y)ddfr cos,r sinrdrD01在直角坐标下环形闭区域1 x2y 24 需分块表达，分块积分变为14 x211 x214 x224 x2Idxfx, yd
5、ydxfx, ydydxfdydxfdy24 x214 x211 x214 x22改换下列二次积分的积分次序（填空）：22 y4xdxfx, ydy ；（ 1）dyy2f ( x, y)dx00x222 xx2111y2dxdyfx, ydx ；（ 2）12xf ( x, y)d y02y12 y33y23xdyf ( x, y)d xdxfx, ydy （ 3）dy0f ( x, y)d x1000x23画出积分区域，并计算下列二重积分：（ 1）xyd，其中 D 是由两条抛物线yx, yx 2 所围成的闭区域；D1x12x324 111x ydyx3dxx5解：作图，原式 = dxx 4x
6、45 00x 203311（ 2）ex y d ，其中 D 是由 xy1所确定的闭区域；D01x11 x1解：作图，原式 =dxex ydydxex ydye1x 10x 1e655（ 3）x2y2d，其中 D 是由不等式 0ysin x,0x所围成的闭区域；Dsin x1 sin3 x)dx4 9解：作图，原式 =dx(x2y2 )dy( x2 sin x200034（ 4）xcos(y)d，其中 D 是顶点分别为 (0,0),( ,0),(,) 的三角形闭区域xDx3解：作图，原式 =xdxcos(xy)dyx(sin 2xsin x) dx20004求由 y22 pxp 2 , y 22
7、qx q 2 ( p, q0) 曲线所围成的闭区域的面积解：曲线方程联立，得 2 pxp22qxq2 , xq p , ypq2q2y2pq2 qpqy2y2p22 p q作图知，原式 =dydxq2dypqpqy2p2pq2q2 p32 p5求由四个平面x0, y0, x1, y1所围柱体被平面 z0 及 2x3y z 6所截得的立体的体积解：四个平面x 0, y决定的区域D 为：0 x 1,0 y 10, x 1, y 1在区域 D 内部 z62x3 y623 0从而所截得的立体的体积1117V6 2x3ydvdy62x3y dx5 3y dyD00026化下列二次积分为极坐标系下的二次积
8、分：（ 1）11d yf ( x, y)d x00214121cossindf r cos , r sin rdrdf r cos , r sin rdrdf r cos ,r sin rdr00004023 xy2 )d y32sin（ 2）d yxf ( x2dfr cos,r sinrdr；0407利用极坐标计算下列积分：（ 1）ex2y 2d，其中 D 是由圆周 x2y 24 所围成的闭区域；D解： D 是圆周 x 2y 24 ，即 0r2,02221 er 22从而ex2y2dder 2rdr2e41D0020（ 2）( xy)d，其中 D 是由圆 x 2y 2xy 所围成的闭区域；
9、D解： D 是圆周 x2y2xy 围成，知其为 0rcos sin2 sin,3444342sin4从而原式 =r cossinrdrd2 sindr 2 drD44034 144283124tdt2 sin4dsin342224330（）d，D是xyx 与a2x2y2b20,a b 0 所3yD确定的闭区域；解： D 是圆环的关于原点对称的两部分，arb ， arctanarctan与arctanarctanarctanbarctanb从而原式 = r sinrdrdsindr 2drsind r 2drDarctanaarctanacosarctanr 3barctanr 3 b0arct
10、an3 acosarctan3 a（由对称性更简单：因为x, yDx,yD ，对称点的积分微元反号）（ 4）xd ，其中 D 是介于两圆 x2y 22x 和 x 2y24x 之间的闭区域D解： D 介于两圆之间，可知 2cosr4cos2224cos1从而原式 = r cosr drdcos dr 2drD22cos3112 2cos4 d112317334222648 cos4d28用适当的坐标计算下列积分：（ 1） ( x2y2 )d ，其中 D 是由直线 yx ， yx a ， ya ，y3a（ a0 ）D所围成的闭区域；解：作图知 D 由直角坐标表达方便，ay3a, yaxy3 a d
11、 y y3ay33(x2y2 )dx2y2 dxy aay 2 d yDay aa3y443a3424 a424 14y a1 ay38 a421 a49a4a4123a121232（ 2）R2x2y2 d， 其中 D 是由圆周 x 2y2Rx 所围成的闭区域；D解：由表达式D 由极坐标表达方便，0rRcos,，222Rcos22原式 =R2r 2 r drddR2r 2 rdrR3sin31 dD20302R32sin32R3 24R3d30233239（ 3）xy d，D ： x1 2y1 21 ；D解：先作坐标轴平移，再用极坐标ux1 r cos, vy 1 r sin,ddudvrdr
12、d ,0r1,0221原式 =uvuv1 dudv=dr 2 sincosrcossin1 rdrD0021111sin 212sincoscossindsincos04328320x2y2， D ： x2y2（ 4）22 d221Dabab解：用广义极坐标 xar cos, y br sindabrdrd ,0 r 1,0221r 312原式 = drrdr2003 03作业 11三重积分的概念与计算1试将三重积分f (x, y, z)dv 化为三次积分，其中积分区域分别为：（ 1）由双曲抛物面 xyz 及平面 xy10, z0 所围的闭区域11xxyf ( x, y, z)dvdxdyfx
13、, y, zdz ；000（ 2）由曲面 zx 22 y 2及 z2x 2所围的闭区域212 r 2 cos2f ( x, y, z)dvdrdrfr cos, r sin, zdz 00r 2 1sin 22计算下列三重积分：（ 1）13dv ，其中为平面 x0, y0, z0， xyz 1所围(1xyz)成的四面体；解：分析边界作图知为 0x1,0y1x ，0z1x y11 x1 x y11 11x11原式 =3 dzdydxdy0 (1 x y z)2 0dx4 (1x y)20001 11x11dxln 252 042 1x216（ 2）xy2 z3 dxdydz ，其中是由曲面 xy
14、z 与平面 xy, x 1, z0 所围的闭区域；解：分析边界作图知为 0x1,0yx ， 0zxy1xxy1x1原式 =dx dyxy2 z3dz1dx x5 y6dy1x12dx10004 0028 0264（ 3）xzdxdydz ，其中是由平面 xy, y1, z0 及抛物柱面 zx2 所围的闭区域解：分析边界作图知为 0y1,0xy ， 0zx21ydx x21 1y1 11原式 =dyxzdzdy x5dxy 6dy0002 0012 0843利用柱面坐标计算下列三重积分：（ 1）e x2y 2dv ，其中是曲面 x 2y21 和平面 z0, z1 所围成的闭区域；211e r 2
15、21e r 21e r 211解：原式drdrdzdrdr210000020e（ 2）zdv ，其中是曲面 z2x 2y 2 及 zx2y2所围成的闭区域；212 r 2解：原式drdrzdz00r 221r 2 r 211 r 41 r 61dr 4 dr2r 20022460712（ 3） ( x2y2 )dv ，其中是曲面 z1 ( x 2y2 ) 和平面 z2 所围成的闭区域；2222解：原式drdrr 2 dz001r22221 r 2 dr 21 r 41 r 62dr 3 20022120163（ 4）(x3xy2 )dv ，其中是曲面 x 2( y1)21 和平面 z0, z2
16、 所围成的闭区域解：先作坐标轴平移，再用柱坐标u xr cos,vy 1r sin ,dvdudvdzrdrddz,0r1,02 ,0 z 2原式22122=u3u v1dr 3 cos3r cosr sinrdrdzdudvdz=11000212dr 4 cos3r 4 sin2cos2r 3 cossinr 2 cosdr0021 r 5 cos31 r 5 sin 21 r 4 cos1 r 3 cos12cossind0552302 21sin 2d sin45 054利用球面坐标计算下列三重积分：（ 1）x2y2z2 dv ，其中是球面 x 2y 2z2R 2 所围成的闭区域；解： xcossin, ysinsin,zcosdv2 sinddd,0R,02,02R2 sin1 4 sinRR4 cosR4原式ddd2d0000 4020（ 2）zdv ，其中是由不等式 x2y 2z22Rz（ R0 ）， zx 2y 2 所确定的闭区域；解： xcossin, ysinsin,zcosdv2 sinddd,02R cos,02,04242 Rcos24 cossin原式dcossin dd2400002R cos4d08 R4484cos5 d cosR4 cos60607 R46（ 3）222，其中是不等式2221 ，221 xy z dvxyzxy所