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1、最新 料推荐全等三角形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明 .【知识网络】【要点梳理】【全等三角形单元复习，知识要点】要点一、全等三角形的判定与性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）两直角边对应相等角边角（ ASA）判定一边一锐角对应相等角角边（ AAS）斜边、直角边定理（HL）边边边（ SSS）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相
2、等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等要点二、全等三角形的证明思路找夹角SAS已知两边找直角HL找另一边SSS边为角的对边找任一角AAS已知一边一角找夹角的另一边SASASA边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角AAS找夹边ASA已知两角AAS找任一边要点三、角平分线的性质1. 角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.1最新 料推荐2. 角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3. 三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4. 与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取
3、一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点. 运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、 两直线位置关系等常见的几何问题 . 可以适当总结证明方法 .1 证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质 .2 证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4
4、)同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等 .3 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4 辅助线的添加:(1) 作公共边可构造全等三角形；(2) 倍长中线法；(3) 作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4) 利用截长 ( 或补短 ) 法作旋转变换的全等三角形 .5. 证明三角形全等的思维方法 :（ 1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（ 2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时
5、，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（ 3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1) 倍长中线法1、已知，如图， ABC 中， D 是 BC中点， DEDF,试判断 BE CF与 EF 的大小关系，并证明你的结论 .2最新 料推荐AEFBDC【思路点拨】因为 D 是 BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使 DG DF,证明EDG EDF， FDC GDB，这样就把BE、CF 与 EF 线段转化到了BEG中，利用两边之
6、和大于第三边可证.【答案与解析】BE CFEF；证明：延长FD 到 G，使 DGDF,连接 BG、 EGD是 BC中点BD CD又 DEDF在 EDG和 EDF中EDEDEDGEDFDGDF EDG EDF（ SAS）EG EF在 FDC与 GDB中CDBD1 2DF DG FDC GDB(SAS)CF BGBG BE EGBE CF EF【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是 ABC与 ADC的中线，且 ACB ABC求证： CD2CE【答案】证明：延长 CE至 F 使 EF CE，连接 BF EC 为中线，
7、3最新 料推荐 AE BEAEBE,在 AEC与 BEF 中，AECBEF ,CEEF , AEC BEF（SAS） AC BF， A FBE（全等三角形对应边、角相等）又 ACB ABC， DBC ACB A， FBC ABC A AC AB， DBC FBC AB BF又 BC 为 ADC的中线， AB BD即 BFBDBFBD ,在 FCB与 DCB中，FBCDBC ,BCBC , FCB DCB（SAS） CF CD即 CD2CE(2) 作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在ABC中， C 2 B， 1 2求证： AB AC CD【答案与解析】证明：在AB上
8、截取 AE ACAEAC (已作 )，在 AED与 ACD中，12(已知 )，ADAD (公用边 )， AED ACD（SAS） ED CD AED C( 全等三角形对应边、角相等 ) 又 C 2 B AED2 B由图可知： AED B EDB， 2 B B EDB B EDB BE ED即 BECD AB AE BE AC CD(等量代换 ) 【总结升华】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB AC故用截长补短法在 AB上截取 AEAC这样 AB就变成了AE BE，而 AEAC只需证 BE CD即可从4最新 料推荐而把 AB AC CD转化为证两线段相等的问题举一反三：【变式
9、】如图，AD是ABC 的角平分线， H， G分别在 AC，AB上，且 HD BD.(1) 求证： B 与 AHD互补；(2) 若 B2 DGA 180，请探究线段 AG与线段 AH、 HD之间满足的等量关系，并加以证明 .【答案】证明：（ 1）在 AB 上取一点M, 使得 AMAH, 连接 DM. CAD BAD, AD AD, AHD AMD. HDMD, AHD AMD. HD DB, DB MD. DMB B. AMD DMB 180 , AHD B 180 .即 B与 AHD互补 .（2）由（ 1） AHD AMD, HDMD, AHD B180 . B2DGA 180 ,CHD AH
10、D2DGA.AMG B AMD2DGM. AMD DGM GDM. 2 DGM DGM GDM. DGM GDM. MD MG. HD MG. AG AM MG, AG AH HD.（ 3） . 利用截长 ( 或补短 ) 法作构造全等三角形3、如图所示，已知 ABC中 AB AC， AD是 BAC的平分线， M是 AD上任意一点，求证： MBMC ABAC【思路点拨】 因为 ABAC，所以可在 AB 上截取线段 AEAC，这时 BE AB AC，如果连接EM，在 BME中，显然有 MBME BE这表明只要证明 ME MC，则结论成立【答案与解析】5最新 料推荐证明：因为AB AC，则在 AB上
11、截取 AE AC，连接 ME在 MBE中， MB ME BE（三角形两边之差小于第三边）在 AMC和 AME中，ACAE(所作 )，CAMEAM (角平分线的定义)，AMAM (公共边 )，AMC AME（ SAS） MC ME（全等三角形的对应边相等） 又 BE ABAE， BE AB AC， MB MC AB AC【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.举一反三：【变式】如图，AD是 ABC的角平分线， AB AC,求证： AB AC BD DC【答案】证明：在 AB上截取 AE AC,连结 DEAD是 ABC 的角平分线， BAD CADA在 AED与 ACD中AE ACB
12、ADCADEADAD AED ADC（ SAS）DE DC在 BED中， BE BD DC即 AB AE BD DCAB AC BDDC（4） . 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段BDC4、如图所示，已知E 为正方形ABCD的边 CD的中点，点F 在 BC上，且 DAE FAE求证： AFAD CF6最新 料推荐【思路点拨】四边形 ABCD为正方形，则D 90而 DAE FAE说明 AE为 FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E 到 AD的距离已有，只需作E 到AF 的距离EM即可，由角平分线性质可知ME DEAE AE Rt AME与 Rt ADE全等有 ADA
13、M而题中要证AF AD CF根据图知AF AMMF故只需证MFFC 即可从而把证AF AD CF转化为证两条线段相等的问题【答案与解析】证明：作 ME AF 于 M，连接 EF四边形 ABCD为正方形， C D EMA 90又 DAE FAE， AE 为 FAD的平分线， ME DEAEAE(公用边 )，在 Rt AME与 Rt ADE中，DEME (已证 )， Rt AME Rt ADE(HL) AD AM(全等三角形对应边相等 ) 又 E为 CD中点，DE EC ME ECMECE(已证 )，在 Rt EMF与 Rt ECF中，EFEF (公用边 ) ， Rt EMF Rt ECF(HL)
14、 MF FC(全等三角形对应边相等 ) 由图可知： AF AMMF， AF AD FC(等量代换 ) 【总结升华】与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.5、如图所示，在ABC中， AC=BC， ACB=90， D 是 AC上一点，且AE垂直 BD的延长线于 E，AE1 BD ，求证： BD是 ABC的平分线27最新 料推荐【答案与解析】证明：延长AE 和 BC，交于点F， AC BC， BE AE， ADE= BDC（对顶角相等） ， EAD+ ADE= CBD+ BDC即 EAD= CBD在 Rt ACF和 Rt BCD中所以
15、 Rt ACF Rt BCD（ ASA）则 AF=BD（全等三角形对应边相等） AE= BD， AE= AF，即 AE=EF在 Rt BEA和 Rt BEF 中，则 Rt BEA Rt BEF（ SAS）所以 ABE= FBE（全等三角形对应角相等），即 BD是 ABC的平分线【总结升华】 如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题【高清课堂：379111直角三角形全等的判定，巩固练习5】6、在 ABC中， ACB90， AC BC，直线 l 经过顶点C，过 A，B 两点分别作
16、l 的垂线 AE， BF，垂足分别为 E， F.（ 1）如图 1 当直线 l 不与底边 AB相交时，求证： EF AEBF.（ 2）将直线 l 绕点 C 顺时针旋转，使 l 与底边 AB相交于点 D，请你探究直线 l 在如下位置时， EF、AE、 BF之间的关系， AD BD； AD BD； AD BD.【答案与解析】证明：（ 1） AE l ， BF l ， AEC CFB 90， 1 2 90 ACB 90， 2 3 908最新 料推荐 1 3。在 ACE和 CBF中，AECCFB1 3 AC BC ACE CBF（ AAS） AECF， CEBF EFCE CF， EF AE BF。（
17、2） EF AE BF，理由如下： AE l ， BF l ， AEC CFB 90， 1 290 ACB 90， 2 3 90， 1 3。在 ACE和 CBF中AECCFB1 3 AC BC ACE CBF（ AAS） AECF， CEBF EFCF CE， EF AE BF。 EFAE BF EFBF AE证明同 .【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3) 几种变化图形之间
18、，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化 .举一反三：【变式】已知：在 ABC中， BAC 90， ABAC，点 D 为射线 BC上一动点，连结 AD，以AD为一边且在 AD的右侧作正方形 ADEF（ 1）当点 D 在线段 BC上时（与点 B 不重合），如图 1，求证： CF BD（ 2）当点 D 运动到线段 BC 的延长线上时，如图 2，第（ 1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由 .9最新 料推荐【答案】证明：（ 1）正方形ADEF AD AF， DAF 90 DAF DAC BAC DAC，即 BAD CAF在 ABD和 ACF中，ABACBADCAFADAF ABD ACF（SAS） BD CF（ 2）当点 D运动到线段 BC的延长线上时，仍有 BD CF此时 DAF DAC BAC DAC，即 BAD CAF在 ABD和 ACF中，ABACBADCAFADAF ABD ACF（SAS） BD CF10