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1、最新 料推荐西南大学2016 年春高等几何1 写出下列点的齐次坐标（ 1）（ 2,0），（ 0，2），（ 1，5）;（ 2） 2x+4y+1=0 的无穷远点 .2 求下列直线的齐次线坐标（ 1） x 轴 （2）无穷远直线（ 3） x+4y+1=0.3 求下列各线坐标所表示直线的方程：（1）0,-1,0 (2) 0,1,14 求联接点（ 1,2, 1）与二直线 2,1,3 ，1， 1， 0 之交点的直线方程 .5 经过 A(-3 ，2) 和 B(6，1) 两点的直线被直线 x+3y-6=0 截于 P 点，求简比 (ABP).6 经过 A(-3 ，2，2) ，B(3，1，-1) 两点的直线的线坐标
2、 .7 求直线 1, 1,2 与二点 3， 4， 1,5,3,1 之联线的交点坐标 .答案： 1 解 :(1)(2,0,1) ,(0,2,1),(1,5,1); (2) (2,-1,0).2 解 :(1)0,1,0(2)0,0,1(3)1,4,13 解 :(1) x2 0(2) x2x304 解 : 二直线 2,1,3，1， 1，0 的交点坐标为 (3,3,-3),故两点（ 1,2,1）,x1x2x3(3,3,-3) 联线的方程为 1210 , 即 x1x20 .333 5 解: 设 AP =，则点 P的坐标为 P（36，2），因为点 P 在直线 xPB11 3y60 上，所以有36+3（2）
3、6=0,有1, ( ABP )1 .116 解 : 经过 A(-3 ，2，2) ， B(3，1，-1) 两点的直线方程是x1x2x33220 ,即 4x13x29x30 .故线坐标为 4,-3,9.3117 解 : 二点（ 3， 4， 1） ,(5, 3,1) 联线的方程是x1x2x33410,即 x1 8x2 29 x3 0 ，该直线的线坐标为 1,-8,-29.531直线 1,-8,-29.与直线 1, 1,2 的交点为 (13,31,9).1已知共线四点A 、 B、 C、D 的交比 (AB ， CD)=2 ，则 (CA ，BD)=_2试证四直线2x y+1=0,3x+y 2=0, 7x
4、y=0,5x 1=0 共点，并顺这次序求其交比。1最新 料推荐3、设共线四点P1 (3,1, 2)， P2 (1,3,1)， P3 (2, 2,3) ， P4 (0, 8,5) ，求 (P1P2 , P3 P4 )4设两点列同底,求一射影对应 0,1,分别变为 1,0.5求射影变换44 0 的自对应元素6 一直线上点的射影变换是x= 3x2 ，则其不变点是x47证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点.答案：1 解 : -12 解 : 四 直 线 2x y+1=0,3x+y 2=0, 7x y=0,5x 1=0 的 线 坐 标 为2,-1,1,3,1,-2,7,-1,0,5,0,-1.由于
5、2112113120 ,3120 .710501所以四直线共点 .由于 P32P1P2 ,P4P1P2 , 故12 1,所求交比11,221.23 解 :因为 P3P1 P2 , P4 P1 3P2 ,所以 11 , 21,所求交比313.24解 : 设 第 四 对 对 应 点 x ,x, 由 于 射 影 对 应 保 留 交 比 , 所 以 (01,x) (1,0x ) , 得 到x111.x,因此 x11 xx5解 : 射影变换440 的 自对应 元素参数满 足方程244 0 , 解得2 .6解 : 射影变换 x = 3x2 的不变元素满足 x = 3x2 ,解得 x2 ,或 x 1.x4x
6、47证明 :设 C 为线段 AB 的中点 , D为线段 AB 上的无穷远点 ,则( AB, CD 0) ( ABC )AC1,命题得证 .BC1 举例我们已经学习过的变换群2 下列概念，哪些是仿射的，哪些是欧氏的？2 解 : 是仿射的是欧氏的 . 非平行线段的相等；不垂直的直线；四边形；梯形； 菱形；平行移动；关于点的对称；关于直线的对称；绕点的旋转；面积的相等。2最新 料推荐3从原点向圆（ x 2） 2+(y 2)2=1 作切线 t1,t2 。试求 x 轴， y 轴， t1,t2 顺这次序的交比。4若有两个坐标系，同以A 1A2A 3 为坐标三角形，但单位点不同，那么两种坐标间的转换式为何？
7、5在二维射影坐标系下，求直线A 1E，A 2E， A 3E 的方程和坐标。6设点 A （ 3， 1，2）， B（ 3， -1， 0）的联线与圆 x2+y 2 5x7y 6=0 相交于两点 C 和 D ，求交点 C， D 及交比（ AB ， CD ）。答案： 1 解 : 射影变换群，仿射变换群,欧氏变换群 .2 解 : 是仿射的是欧氏的 .3解 :设 直 线y=kx 与 圆 相 切 ,则 12k2两 边 平 方 得 到k 2,13k 28k 3 0 ,k1, 247因 此 t1的 方 程 为 y47 x 0 , t2 的 方 程 为33y437 x0, 故 ( xy,t1t 2 )47.474解
8、 : 设两坐标系单位点分别为E, E, 由xipixipi(i=1,2,3),eiei由上两式得到xieixi 即eix1a1 x1ei , a1a2 a3x2a2 x2其中, ai0 。x3a3 x3eu5解 :由于 A1 (1,0,0) ,A2 (1,0,0) , A3 (1,0,0) , E(1,1,1) ,故直线 A1E 的方程 x2 x3 0直 线 A2 E 的 方 程 x1x30 直 线 A3 E 的 方 程 x1x20 . 线 坐 标 分 别 为0,1,-1,1,0,-1,1,-1,0.6解 :圆的齐次方程为x12x225x1 x37x2 x36x320 ,设直线 AB 上任一点
9、的齐次坐标是 (33,1,2) ,若此点在已知圆上,则( 33)2(1) 25(33)27(1)2 6220 ,化简得 102100 ，所以11,21于是得到交点C, D 的坐标 , C (3,0,1) ,D (0,1,1) ,且 ( AB , CD )13最新 料推荐1 写出下列的对偶命题（ 1） 三点共线（ 2） 射影平面上至少有四个点，其中任何三点不共线2已知 A, B, P,Q, R 是共线不同点，如果( PA, QB)1,(QR, AB)1,求( PR, AB)3 证明巴卜斯定理：设A 1,B 1,C1 三点在一直线上 ,A 2,B 2,C2 三点在另一直线上,B1C2 与 B 2C
10、1 的交点为 L,C 1A 2 与 C2A 1 的交点为 M,A 1B2 与 A 2B 1 的交点为 N,证明 :L,M,N 三点共线 .4 求二次曲线 xy+x+y=0 的渐近线方程 .5 . 求通过两直线 a1,3,1, b1,5,1 交点且属于二级曲线 4u12u222u320的直线6求点（ 5， 1， 7）关于二阶曲线2x123x22x326x1 x2 2 x1x34x2 x30的极线答案： 1 解： (1)三线共点(2)射影平面上至少有四条直线,其中任何三线不共点 .2解:由(PA, QB)1 得到( PQ, AB )2,又因为PA ABPA QB QA RB2(1) =-2.( P
11、R, AB)(PQ, AB)(QR, AB) =PB RAPB QA QB RA3证明 :设 J C A A B , K BC A C , OAB A B ,那么ACA NJBA B C OKLC B 从而 A NJBKL C B .这两个射影点列的公共点B 自对应 ,所以是透视点列. 因此 A K , NL, JC 应交于一点 ,即三点 L,M,N 三点共线 .4 解 : 二次曲线xy+x+y=0 的中心坐标为 (-1,1), 故二次曲线的渐进线的方程可设a11 X 22a12 XYa22Y 20由于 a121， a11a2202故 XY0其中Xx1，所以渐进线方程为x1 0, y10Yy1
12、5 解 : 设 通 过 两 直 线a 1 ,b 3 , 1 交 点 的 线 坐 标 为1,3,11,5,11,35,1,若此直线属于二级曲线4u12u222u320 ,则有4(1) 2(35 ) 22(1) 20 ，解得1，11。所求直线的坐标39为1,2,2 和 -1,-14,10 。4最新 料推荐2316 解 : 二阶曲线 2x123x22x326x1x2 2x1 x3 4x2 x30的矩阵是332，121所以点（ 5， 1， 7）关于二阶曲线的方程为231x1（5,1,7 ）332x2=0 ，即 x2 0 。121x31 求（ 1）二阶曲线 x122x223x32x1 x30过点 P(2
13、, 5,1) 的切线方程2（ 2）二级曲线 u12u2217u320 在直线 L1 ， 4， 1上的切点方程2(1)求二次曲线x2 +3xy-4y 2+2x 10y=0 的中心与渐近线。(2) 求二阶曲线： x122x1 x22x224x1 x32x2 x3 x320 的过点 A (1,1,1) 的直径及其共轭直径 .3已知二阶曲线（ C）：2x124x1 x26x1 x3x320（ 1）求点 P(1,2,1) 关于曲线的极线（ 2）求直线 3x1x26x3 0 关于曲线的极点x2y21b24a2b2a2证明双曲线：的两条以 ， 为斜率的直径成为共轭的条件是 =x1x1x25求射影变换x2x2
14、的不变元素x3x3x1x1x2x26求射影变换x3x3 的固定元素。答案：1解 : (1) 易验证点 P 在二阶曲线上 ,故过点 P 的切线方程是5最新 料推荐1012x1(2, 5 ,1) 020x0 ,即 x2 10x4x0.222131303x32(2) 类似地可验证直线 L 在二级曲线上 ,故直线 L1,4,1 上的切点方程是100u1(1,4,1) 010u 20,即 u1 4u2 17u3 0 .0017u313123232 解 (1)二 次 曲 线x2+3xy-4y 2+2x 10y=0 的 矩 阵 是45 , A31 =,25021A3213,A337.故中心坐标是 (46,2
15、6)2477设 渐 进 线 方 程 a11 X 22a12 XYa22Y 20 , 即 X 23XY4Y 20 ， 其 中Xx46, Yy26,故渐进线方程是x4 y580 或 xy7207777(2)二 阶 曲 线：x122x1 x22x224x1 x32x2 x3x320的 矩 阵 是112121，易求出中心坐标(-3,1,1) ，由于直径过中心,故过点 A (1,1,1) 的直径方程是211x2x30 ,该直径上的无穷远点的坐标是(1,0,0) ，所以共轭直径的方程是112x1(1,0,0)121x2=0 即 x1x22x30211x32233 解： (1)二阶曲线 2x124x1x2
16、6x1x3x320 的矩阵是 200301223x1点 P(1,2,1) 关于曲线的极线方程是(1,2,1)200x2=0, 即 9x12 x24x30301x36最新 料推荐3223a(2) 设直线 3x1 x2 6x30 关于曲线的极点为(a,b,c),则有1 =200b ，解得6301ca=2,b=-30,c=37. 所求极点是 (2,-30,37)b2 x 2a 2 y 2a 2b22 22 20 说明无穷远直线与双曲线的交点4 解：解方程组t 0得 b xa y满足此方程 , 即 ( bx ay )( bxay )=0, 双曲线上的两个无穷远点分布在bx ay =0和bxay =0
17、上，故 bxay =0 和 bxay =0 为渐进线，两直线的斜率是kb ， kbaa， 为一对共轭直径的斜率,所以 (, kk )1,整理得到kk=0,因为 kk =-b2，所a22以= b2 .a1105 解：射影变换的特征方程是010=0, 即1 .001(1) x1x20把1代人方程组(1) x20,解得不变点是一条直线x2 =0.(1) x30(1)u10把1代人方程组u1(1)u20 ，解得不变直线是u10即过 (1,0,0) 所有直线都(1)u30是不变直线 .1006 解：射影变换的特征方程是010=0，即1或1001(1) x10把1代人方程组(1)x20,解得不变点是一条直线x10(1) x30把1(1,0,0).代入上述方程组，解得不变点(1)u10把1代人方程组(1)u20,解得不变直线是过(1,0,0) 的所有直线 .(1)u307最新 料推荐把1代入上述方程组，解得不变直线x108