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1、高考物理万有引力与航天技巧小结及练习题一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示设这三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G， 则 :（1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少?（2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?【答案】（ 1L3（ 2）3G
2、m） 435GmL【解析】【分析】（ 1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期；（ 2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度；【详解】（ 1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：Gm2Gm2m( 2 )2 L(2 L)2L2TT4L35Gm（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗Gm2L星，满足：2m (2)2 cos30cos30L解得： =3GmL322018 年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级 2018 ”例如，我国将进行北斗组网卫星的高密
3、度发射，全年发射18 颗北斗三号卫星，为“一带一路 ”沿线及周边国家提供服务北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图已知该卫星做匀速圆周运动的周期为T，地球质量为M、半径为R，引力常量为G（ 1）求静止轨道卫星的角速度；（ 2）求静止轨道卫星距离地面的高度h1；（ 3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是T，距离地面的高度为 h2视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h1 和 h2 的大小，并说出你的理由【答案】（ 1）=2h1 =3 GMT 2R（ 3）1=22hh；（ ）4 2
4、T【解析】【分析】（ 1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度；（ 2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度；（ 3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度；【详解】（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度= 2TMm22（2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：G2= m( R h1 )( )(R h1 )T解得： h1 = 3GMT 22R4（ 3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心由于它的周期也是 T，根据牛顿运动定律， GMm
5、2 =m(Rh2 )( 2 ) 2( R h2 )T解得： h2= 3 GMT 2R42因此 h1= h2故本题答案是：（1）=23 GMT 212；（ 2） h =R （3） h= hT14 2【点睛】对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量3 一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x 和落地时间为 R，己知万有引力常量为G，求：t，又已知该星球的半径（ 1）小球抛出的初速度 vo（ 2）该星球表面的重力加速度g（ 3）该星球的质量 M（ 4）该星球的第一宇宙速度
6、 v（最后结果必须用题中己知物理量表示）【答案】 (1) v0=x/t(2) g=2h/t 2(3) 2hR2/(Gt 2) (4)2hRt【解析】（ 1）小球做平抛运动，在水平方向 ： x=vt，解得从抛出到落地时间为： v0=x/t（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：12，h= gt2解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t 2；（3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m，由万有引力等于物体的重力得：mg= G MmR2所以该星球的质量为：M= gR2= 2hR2/(Gt 2)；G（4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v，由牛顿第二定律得：Mmv2G
7、R2m R重力等于万有引力，即mg= G Mm ，R2解得该星球的第一宇宙速度为：v2hRgRt4“天宫一号 ”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形2013 年 6 月，“神舟十号 ”与 “天宫一号 ”成功对接， 6 月 20 日 3 位航天员为全国中学生上了一节生动的物理课已知 “天宫一号 ”飞行器运行周期T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g， “天宫一号 ”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为G求：(1)地球的密度；(2)地球的第一宇宙速度v；(3) 天“宫一号 ”距离地球表面的高度【答案】 (1)3g(2)vgR(3)h3gT2 R2R4 GR42【解析】（1）在地
8、球表面重力与万有引力相等：G Mmmg ，R2MM地球密度：V4 R33解得：3g4 GR（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，mgm v2RvgR（3）天宫一号的轨道半径 rRh，Mmh 42据万有引力提供圆周运动向心力有：G2m R2，RhT解得： h3gT 2 R2R245a、 b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为 3R，己知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：（ 1） a、 b 两颗卫星周期分别是多少？（ 2） a、 b 两颗卫星速度之比是多少？（ 3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同 -点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最
9、远？RR（ 2）速度之比为8R【答案】 （1） 2， 162 ；ggg7【解析】【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；解：（ 1）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，Mm对地面上的物体由黄金代换式GmgGMm4 2a 卫星R2m Ta2 R解得 Ta2Rgb 卫星 GMmm 4 24R(4 R)2Tb2解得 Tb16Rg（2）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，GMmmva2a 卫星R2R解得 vaGMRb 卫星 b 卫星 G Mmm v2(4 R)24R解
10、得 v bGM4RVa2所以Vb22（3）最远的条件TbTa解得 t8R7g6 如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v0 抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为 R，万有引力常量为G，求：（ 1）该星球表面的重力加速度；（ 2）该星球的密度；（ 3）该星球的第一宇宙速度 v；（ 4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T2v0 tan3v0 tan2v0RtanaRt【答案】 (1)； (2)； (3)； (4) 2t2 GRttv0tan【解析】【分析】【详解】(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规
11、律可得：y1 gt22gttanv0t2v0x解得该星球表面的重力加速度：g2v0 tant(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：GMmR2则该星球的质量：mggR 2MG该星球的密度：M3g3v0tan4R34 GR2 GRt3(3)根据万有引力提供向心力得：Mmv2GR2m R该星球的第一宙速度为：GM2v0 RtanavgRRt(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:T所以：2 RvtRtT2 R2v0 Rtanv0tan点睛：处理平抛运动的思路就是分解重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量7 某行星表面的重力加
12、速度为g ，行星的质量为M ，现在该行星表面上有一宇航员站在地面上，以初速度v0 竖直向上扔小石子，已知万有引力常量为G 不考虑阻力和行星自转的因素，求：（ 1）行星的半径 R ；（ 2）小石子能上升的最大高度GMv02【答案】 (1) R =（ 2） hg2g【解析】（1）对行星表面的某物体，有：mgGMm-R2GM得： R =g（2）小石子在行星表面作竖直上抛运动，规定竖直向下的方向为正方向，有：0v022gh得： hv022g8 宇航员来到某星球表面做了如下实验：将一小钢球以v0 的初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升离抛出点的最大高度为 h（ h 远小于星球半径），该星球为密度均匀的球体
13、，引力常量为 G，求：（ 1）求该星球表面的重力加速度；（ 2）若该星球的半径 R，忽略星球的自转，求该星球的密度【答案】（ 1）【解析】（1）根据速度（2）- 位移公式得：，得（ 2）在星球表面附近的重力等于万有引力，有及联立解得星球密度9 假设月球半径为 R，月球表面的重力加速度为g0,如图所示， “嫦娥三号 ”飞船沿距月球表面高度为 3R 的圆形轨道运动，到达轨道的A 点，点火变轨进入椭圆轨道，到达轨道的近月点B 再次点火进入近月轨道绕月球做圆周运动.(1)飞船在 A 点点火前的动能是Ek1 ，点火变轨进入椭圆轨道在A 点的动能是 Ek 2 ，试比较 Ek 1 和 Ek2 的大小；(2)
14、求飞船在轨道跟轨道的线速度大小之比；(3)求飞船在轨道绕月球运动一周所需的时间【答案】 （1） Ek1Ek2 （ 2）2： 1R（ 3） 16g0【解析】【分析】【详解】（1）飞船在 A 点处点火时，是通过向行进方向喷火，做减速运动，向心进入椭圆轨道，所以点火瞬间是动能减小的，故 Ek1 Ek 2 ；（2）飞船在轨道、轨道都做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：G Mmm v2r 2r解得： vGMr故飞船在轨道跟轨道的线速度大小之比为v3r14R2v1r3R1（3）飞船在轨道绕月球运动，根据万有引力提供向心力得：Mm4 2Gr 2m T 2r解得： T 2r 3GM在月球表面有 ： G
15、Mmmg0 ，解得： g0GMR2R23R故周期为 T 24Rg R216g00【点睛】卫星变轨也就是近心运动或离心运动，根据提供的万有引力和所需的向心力关系确定，在月球表面，万有引力等于重力，在任意轨道，万有引力提供向心力，联立方程即可求解相应的物理量10 如图所示，为发射卫星的轨道示意图先将卫星发射到半径为r 的圆轨道上，卫星做匀速圆周运动当卫星运动到A 点时，使卫星加速进入椭圆轨道沿椭圆轨道运动到远地点 B 时，再次改变卫星的速度，使卫星入半径为3r 0 的圆轨道做匀速圆周运动已知卫星在椭圆轨道时，距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上的A 点时的速度大小为 v，卫星的质量为m，地球的质量为M ，万有引力常量为G，则：(1)卫星在两个圆形轨道上的运行速度分别多大?(2)卫星在 B 点变速时增加了多少动能 ?【答案】（ 1）GM ，GM（2） GMmmv2r03r06r018【解析】【分析】【详解】（1）做匀速圆周运动的卫星，所受万有引力提供向心力，得：G Mmm v2，r 2r当 r=r0 时， v1=GM ，r0当 r=3r0GM，时， v2=3r0（2）设卫星在椭圆轨道远地点B 的速度为 vB，据题意有： r0v=3r0vB卫星在 B 点变速时增加的动能为 Ek=1 mv221 mvB2 ，22GMmmv2联立解得： Ek=6r018