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1、（物理） 50 套高考物理万有引力定律的应用一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用12018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018 ”例如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射 18 颗北斗三号卫星，为 “一带一路 ”沿线及周边国家提供服务北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图已知该卫星做匀速圆周运动的周期为 T，地球质量为 M、半径为 R，引力常量为 G（ 1）求静止轨道卫星的角速度；（ 2）求静止轨道卫星距离地面的高度h1；（ 3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地
2、球赤道面有一定夹角，它的周期也是T，距离地面的高度为h2视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h1 和 h2 的大小，并说出你的理由【答案】（ 1） =23GMT 212；（ 2） h1 =4 2R （ 3） h = hT【解析】【分析】（ 1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度；（ 2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度；（ 3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度；【详解】（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度= 2TMm22（2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：G2= m( R h1 )( )(R h1 )T解得： h
3、 = 3GMT 2R124（ 3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心由于它的周期也是 T，根据牛顿运动定律，GMm2( Rh2 )=m(Rh2 )( 2 T) 2解得： h2 = 3 GMT 2R42因此 h1= h21）=2GMT2R （3） h1= h2故本题答案是：（；（ 2） h1 = 3T4 2【点睛】对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量2 一名宇航员到达半径为 R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为 m 的
4、小球，上端固定在 O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕 O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间 t 的变化规律如图乙所示 F12已知，引力常量为G，忽略各种阻力求：、F（ 1）星球表面的重力加速度；（ 2）卫星绕该星的第一宇宙速度；（ 3）星球的密度F1F2（ 2）( F1 F2 ) RF1 F2【答案】 （1） g6m(3)6m8 GmR【解析】【分析】【详解】（1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为 F2，在最低点拉力为 F1 设最高点速度为 v2 ，最低点速度为 v1 ，绳长为 l在最高点： F2mv22mgl在最低点： F1mv12mgl由机械能守恒定
5、律，得1 mv12mg 2l1 mv2222由，解得F1 F2g6m（ 2） GMm mg R2GMmmv2=R2R两式联立得：v=(F1 F2 )R6mGMm（3）在星球表面：R2mgM星球密度：V由，解得F1F28 GmR点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度3 一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r，周期为T，引力常量为 G，行星半径为求：(1)行星的质量M；(2)行星表面的重力加速度
6、g ；(3)行星的第一宇宙速度v【答案】 （1）（ 2）（ 3）【解析】【详解】(1)设宇宙飞船的质量为m，根据万有引力定律求出行星质量(2)在行星表面求出 :(3)在行星表面求出 :【点睛】本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力4如图所示 ,P、 Q 为某地区水平地面上的两点,在 P 点正下方一球形区域内储藏有石油.假定区域周围岩石均匀分布,密度为 ;石油密度远小于,可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔 ,则该地区重力加速度(正常值 )沿竖直方向 ;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即 PO 方向 )上
7、的投影相对于正常值的偏离叫做 “重力加速度反常”为.了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用 P 点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.(1)设球形空腔体积为 V,球心深度为 d(远小于地球半径 ), PQx, 求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常 ;(2)若在水平地面上半径为 L 的范围内发现 :重力加速度反常值在与 k (k1)之间变化 ,且重力加速度反常的最大值出现在半径为L 的范围的中心 .如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的 ,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.G VdL2 k【答案】 (1)x2 )3/2 (2) VG( k 2/31).( d 2【解析】【详解】
8、(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石 ,则该地区重力加速度便回到正常值.因此 ,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算,GMmr 2m g式中 m 是 Q 点处某质点的质量,M 是填充后球形区域的质量 .M=V而 r 是球形空腔中心O 至 Q 点的距离 r=d 2x2 g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小?Q 点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向 ,重力加速度反常g是这一改变在竖直方向上的投影dg= grGVd联立 式得 g=22)3/2 (dx(2)由 式得 ,重力加速度反常g的最大值和最小值分别为(maxG Vg)=d 2(G Vdg
9、)= 22 3/2 min( dL )由题设有 (gmax)=k ,(ming=)联立 式得 ,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为LVL2 k.dG ( k2/3k 2/311)5 假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度为 h 的轨道做匀速圆周运动 ,周期为 T，已知万有引力常量为 G，求 :(1)该天体的质量是多少 ?(2)该天体的密度是多少 ?(3)该天体表面的重力加速度是多少?(4)该天体的第一宇宙速度是多少 ?【答案】 (1)4 2(R h)3；3 (R h) 34 2 (R h)3；4 2(R h)3GT(2)2R3； (3)(4)RT 2
10、2GTR2T2【解析】【分析】（ 1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解；（ 2）根据密度的定义求解天体密度；（ 3）在天体表面，重力等于万有引力，列式求解；（ 4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度【详解】（1）卫星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有 :Mm22 =m2Gh)(R+h)( RT解得 ： M= 4 2 (R h)3GT 2（2）天体的密度 ：42 (R h)33MGT23 ( R h)= =4=GT 2 R3V3R3（3）在天体表面 ，重力等于万有引力，故 :Mmmg=GR2联立解得 ： g= 4 2 (R h)3R2T
11、2（4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据牛顿第二定律，有：mg=m联立解得 ： v= gR = 4 2 ( R h)3RT 2【点睛】本题关键是明确卫星做圆周运动时，万有引力提供向心力，而地面附近重力又等于万有引力，基础问题6 牛顿说：“我们必须普遍地承认，一切物体，不论是什么，都被赋予了相互引力的原v2R理”任何两个物体间存在的相互作用的引力，都可以用万有引力定律F万 =G m1m2计r 2算，而且任何两个物体之间都存在引力势能，若规定物体处于无穷远处时的势能为零，则二者之间引力势能的大小为 Ep =-G m1m2，其中 m1、m2 为两个物体的质量， r 为两个质r点间的距离
12、（对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离），G 为引力常量设有一个质量分布均匀的星球，质量为M，半径为 R（ 1）该星球的第一宇宙速度是多少？（ 2）为了描述电场的强弱，引入了电场强度的概念，请写出电场强度的定义式类比电场强度的定义，请在引力场中建立“引力场强度”的概念，并计算该星球表面处的引力场强度是多大？（ 3）该星球的第二宇宙速度是多少？（4）如图所示是一个均匀带电实心球的剖面图，其总电荷量为+Q（该带电实心球可看作电荷集中在球心处的点电荷），半径为R， P 为球外一点，与球心间的距离为r，静电力常量为 k现将一个点电荷 -q（该点电荷对实心球周围电场的影响可以忽略）从球面附近
13、移动到 p 点，请参考引力势能的概念，求电场力所做的功【答案】（ 1）v1GM ；（ 2） E引 =G M；（ 3）v22GM ；（ 4）RR2R11)W kQq(Rr【解析】【分析】【详解】(1)设靠近该星球表面做匀速圆周运动的卫星的速度大小为v1 ，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力G mMm v12R2R解得： v1GM；RF(2)电场强度的定义式Eq设质量为m 的质点距离星球中心的距离为r，质点受到该星球的万有引力MmF引 =G r 2质点所在处的引力场强度E引 =M得 E引 =G r 2F引mM该星球表面处的引力场强度E引 = G(3)设该星球表面一物体以初速度v2 向外抛出，恰好能
14、飞到无穷远，根据能量守恒定律1mv22GmM02R解得： v22GM；R(4)点电荷 -q 在带电实心球表面处的电势能EP1k qQR点电荷 -q 在 P 点的电势能 EP 2k qQr点电荷 -q 从球面附近移动到P 点，电场力所做的功W( EP 2 EP1 )11解得： WkQq () 724 1122，一地球的质量 M=5.98 10kg，地球半径R=6370km，引力常量 G=6.67 10 Nm /kg颗绕地做圆周运动的卫星环绕速度为v=2100m/s ，求：（1）用题中的已知量表示此卫星距地面高度h 的表达式（2）此高度的数值为多少？（保留3 位有效数字）GM7【答案】（ 1） h
15、R （ 2） h=8.41 10mv2【解析】试题分析：（1）万有引力提供向心力，则GM解得： hv2R 7（ 2）将（ 1）中结果代入数据有 h=8.41 10m考点：考查了万有引力定律的应用8 在地球上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把质量为m 的物体 P 置于弹簧上端，用力压到弹簧形变量为 3x0 处后由静止释放，从释放点上升的最大高度为4.5x0，上升过程中物体 P 的加速度 a 与弹簧的压缩量 x 间的关系如图中实线所示。若在另一星球N 上把完全相同的弹簧竖直固定在水平桌面上，将物体Q 在弹簧上端点由静止释放，物体Q 的加速度a 与弹簧的压缩量 x 间的关系如图中虚线所示。两星球可视
16、为质量分布均匀的球体，星球 N 半径为地球半径的 3 倍。忽略两星球的自转，图中两条图线与横、纵坐标轴交点坐标为已知量。求：(1)地球表面和星球N 表面重力加速度之比；(2)地球和星球N 的质量比；(3)在星球 N 上，物体Q 向下运动过程中的最大速度。【答案】 (1)2:1(2)2:9(3) v3 a0 x02【解析】【详解】（1）由图象可知，地球表面处的重力加速度为g1=a0星球 N 表面处的重力加速度为g2=0.5a0则地球表面和星球N 表面重力加速度之比为2 1（2）在星球表面，有GMmR2mg其中， M 表示星球的质量，g 表示星球表面的重力加速度，R 表示星球的半径。则gR2M=G
17、因此，地球和星球N 的质量比为2 9（3）设物体Q 的质量为m2，弹簧的劲度系数为k物体的加速度为0 时，对物体P：mg1=k x0对物体 Q：m2 g2=k3x0联立解得： m2=6m在地球上，物体 P 运动的初始位置处，弹簧的弹性势能设为 Ep，整个上升过程中，弹簧和物体 P 组成的系统机械能守恒。根据机械能守恒定律，有：E pmg1h4.5ma0 x0在星球 N 上，物体 Q 向下运动过程中加速度为0 时速度最大，由图可知，此时弹簧的压缩量恰好为 3x0，因此弹性势能也为 Ep，物体 Q 向下运动3x0 过程中，根据机械能守恒定律，有：22012m a 3x =Ep+m2v2联立以上各式
18、可得，物体P 的最大速度为 v=3 a0 x029 如图所示， A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h.已知地球半径为R，地球自转角速度为0，地球表面的重力加速度为g，O 为地球中心(1)求卫星 B 的运行周期(2)如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、 B 两卫星相距最近(O、B、 A 在同一直线上 )，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？2【答案】 (1) TB = 2p(R + h)3tgR2(2)2gR( Rh)30【解析】【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式得Mmm4 2R h ， G Mmmg G22RhTBR2R3联立解得
19、 ： TBh2R2 g（2）由题意得B0 t2 ，由得BgR23Rh2t代入得R2 g30Rh10 我国在 2008 年 10 月 24 日发射了 “嫦娥一号 ”探月卫星同学们也对月球有了更多的关注(1)若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，月球绕地球运动的周期为 T，月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，试求月球绕地球运动的轨道半径(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0 竖直向上抛出一个小球，经过时间 t，小球落回抛出点已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M 月【答案】 (1) 3 gR2T 2 ； (2) 2v0 r 2 4 2Gt【解析】【详解】(1)设地球的质量为M ，月球的质量为M 月 ，地球表面的物体质量为m ，月球绕地球运动的轨道半径 R ，根据万有引力定律提供向心力可得：MM 月M 月 ( 2 )2 RGR 2TmgMmGR2解得：(2)设月球表面处的重力加速度为解得：gR2T 2R34 2g ，根据题意得：g tv02GM月m0m0 g2r2v0 r 2M 月Gt