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1、高中物理万有引力与航天技巧小结及练习题一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 如图所示，返回式月球软着陆器在完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到绕月球做圆周运动的轨道舱已知月球表面的重力加速度为 g，月球的半径为月球中心的距离为 r，引力常量为 G，不考虑月球的自转求：R，轨道舱到（ 1）月球的质量 M；（ 2）轨道舱绕月飞行的周期 T22 rr【答案】 （1） MgR （ 2） TgGR【解析】【分析】月球表面上质量为m1 的物体 ，根据万有引力等于重力可得月球的质量；轨道舱绕月球做圆周运动，由万有引力等于向心力可得轨道舱绕月飞行的周期；【详解】解： (1)设月球表面上质量为m1
2、的物体 ，其在月球表面有 ： G Mm 1m1g G Mm1m1gR 2R2gR 2月球质量 ： MG(2)轨道舱绕月球做圆周运动，设轨道舱的质量为m2Mm2 2由牛顿运动定律得：G Mmm 2 r Gm(rr2)r2TT2 rr解得： TgR2 一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x 和落地时间t，又已知该星球的半径为 R，己知万有引力常量为G，求：（ 1）小球抛出的初速度 vo（ 2）该星球表面的重力加速度g（ 3）该星球的质量 M（ 4）该星球的第一宇宙速度 v（最后结果必须用题中己知物理量表示）【答
3、案】 (1) v0=x/t(2) g=2h/t 2(3) 2hR2/(Gt 2) (4)2hRt【解析】（ 1）小球做平抛运动，在水平方向 ： x=vt，解得从抛出到落地时间为： v0=x/t（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：12，h= gt2解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t 2；（3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m，由万有引力等于物体的重力得：mg= G MmR2所以该星球的质量为：M= gR2= 2hR2/(Gt 2)；G（4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v，由牛顿第二定律得：Mmv2GmR2R重力等于万有引力，即mg= G Mm
4、，R2解得该星球的第一宇宙速度为：v2hRgRt3 如图轨道为地球同步卫星轨道，发射同步卫星的过程可以筒化为以下模型：先让卫星进入一个近地圆轨道（离地高度可忽略不计），经过轨道上P 点时点火加速，进入椭圆形转移轨道该椭圆轨道的近地点为圆轨道上的P 点，远地点为同步圆轨道上的Q 点到达远地点Q 时再次点火加速，进入同步轨道已知引力常量为G ，地球质量为M ，地球半径为R ，飞船质量为 m ，同步轨道距地面高度为h 当卫星距离地心的距离为 r 时，地球与卫星组成的系统的引力势能为EpGMm（取无穷远处的引力势能为r零），忽略地球自转和喷气后飞船质量的変化，问：（ 1）在近地轨道上运行时，飞船的动能
5、是多少？（ 2）若飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化已知飞船在椭圆轨道上运行中，经过P 点时的速率为v1 ，则经过 Q 点时的速率v2 多大？（3）若在近地圆轨道上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度v3 （相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动能转化为引力势能）【答案】（ 1） GMm （ 2） v122GM2GM （ 3）2GM2RR hRR【解析】【分析】（ 1）万有引力提供向心力，求出速度，然后根据动能公式进行求解；（ 2）根据能量守
6、恒进行求解即可；（ 3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势能；【详解】（ 1）在近地轨道（离地高度忽略不计） 上运行时，在万有引力作用下做匀速圆周运动即： G mMm v2R2R则飞船的动能为Ek1 mv2GMm ；22R（2）飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化由能量守恒可知动能的减少量等于势能的増加量：1mv121mv22GMm(GMm )22R hR若飞船在椭圆轨道上运行，经过P 点时速率为 v1 ，则经过 Q 点时速率为：v2v12 2GM2GM ；R hR（ 3）若近地圆轨道运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测
7、器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器离地心的距离无穷远），动能全部用来克服引力做功转化为势能即： G Mm1 mv32R2则探测器离开飞船时的速度（相对于地心）至少是：v32GMR【点睛】本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，同时注意应用能量守恒定律进行求解4 如图所示是一种测量重力加速度g 的装置。在某星球上，将真空长直管沿竖直方向放置，管内小球以某一初速度自O 点竖直上抛，经t 时间上升到最高点，OP 间的距离为h，已知引力常量为G， 星球的半径为R；求：（ 1）该星球表面的重力加速度g；（ 2）该星球的质量 M；（ 3）该星球的第一宇宙速度 v1。2h（ 2）2hR
8、22hR【答案】（ 1） gGt 2（3）t 2t【解析】（ 1）由竖直上抛运动规律得：t 上 =t 下=t由自由落体运动规律：h1gt 22g2ht 2（2）在地表附近： G MmmgR2MgR22hR2GGt 22（3）由万有引力提供卫星圆周运动向心力得：G Mmm v1R2RGM2hRv1Rt点睛：本题借助于竖直上抛求解重力加速度，并利用地球表面的重力与万有引力的关系求星球的质量。5 宇航员在某星球表面以初速度v0 竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h.已知该星球的半径为R，且物体只受该星球的引力作用.求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度.【
9、答案】 (1) v02(2)R2hv0 2h【解析】本题考查竖直上抛运动和星球第一宇宙速度的计算(1) 设该星球表面的重力加速度为g ，物体做竖直上抛运动，则v022g h解得，该星球表面的重力加速度v02g2h(2) 卫星贴近星球表面运行，则mg m v2R解得：星球上发射卫星的第一宇宙速度Rvg R v0 2h6 地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为 R，地球自转周期为T，引力常量为G，求：（ 1）地球的质量 M；（ 2）同步卫星距离地面的高度h。【答案】 (1)(2)【解析】【详解】（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G解
10、得地球质量为：M=；（2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T，同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：解得：【点睛】；本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题7 我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在2030 年前后实现航天员登月，对月球进行科学探测。宇航员在月球上着陆后，自高出小球的水平射程为L(这时月球表面可以看成是平坦的h 处以初速度v0 水平抛出小球，测量)，已知月球半径为R，万有引力常量为G。(1)试求月球
11、表面处的重力加速度g.(2)试求月球的质量M(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为平均密度 .T，试求月球的【答案】（ 1）g2hv02（ 2）M2hv02R2（ 3）L2GL2【解析】【详解】（1）根据题目可得小球做平抛运动 , 水平位移 : v0t=L1竖直位移 :h=gt222hv02联立可得 : gL2（2）根据万有引力黄金代换式G mMmg ，R2gR22hv02 R2可得 MGL2GmM4 232GT42R3（3）根据万有引力公式GR2 mT2 R ；可得 M而星球密度M , V4R3V3GT 2，联立可得3GT 28 如图所示， A 是地球的同步卫星
12、另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内已知地球自转角速度为0 ，地球质量为M ， B 离地心距离为r ，万有引力常量为G， O 为地球中心，不考虑A 和 B 之间的相互作用（图中R、h 不是已知条件）（ 1）求卫星 A 的运行周期 TA（ 2）求 B 做圆周运动的周期 TB（3）如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B 两卫星相距最近（O、 B、 A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？2r3t2【答案】 （1） TA（ 2） TB 2（ 3）GM0GMr30【解析】【分析】【详解】2（1） A 的周期与地球自转周期相同TA0（2）设 B 的质量为 m， 对 B
13、由牛顿定律 :GMmm( 2 )2 rr 2TB解得： TBr 32GM（3） A、 B 再次相距最近时B 比 A 多转了一圈，则有： ( B0 ) t 2t2GM解得：0r 3点睛：本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用；第3 问是圆周运动的的追击问题，距离最近时两星转过的角度之差为2的整数倍 9 在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G 的数值，如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图卡文迪许的实验常被称为是“称量地
14、球质量 ”的实验，因为由G 的数值及其它已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、 m2 相距为 r 的两个小球之间引力的大小为 F，求万有引力常量G；（ 2）若已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，万有引力常量为 G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式【答案】（ 1）万有引力常量为GFr 2m1m2（2）地球质量为R2 g ，地球平均密度的表达式为3gG4 RG【解析】【分析】根据万有引力定律FG m1m2，化简可得万有引力常量G；r 2在地球表面附近的物体受到重力等于万有引力GMmm
15、g ，可以解得地球的质量M，地R2球的体积为 V4R3 ，根据密度的定义M ，代入数据可以计算出地球平均密度3V【详解】（1）根据万有引力定律有：F G m1m2 r 2解得：Fr 2Gm1m2（2）设地球质量为M，在地球表面任一物体质量为m，在地球表面附近满足：MmGR2mgR2 g得地球的质量为：MG地球的体积为：V4R33解得地球的密度为：3g4 RG答：（ 1）万有引力常量为 GFr 2m1m2（2）地球质量R2 g3gM，地球平均密度的表达式为G4RG10 高空遥感探测卫星在距离地球表面h 的轨道上绕地球转动，已知地球质量为M，地球半径为 R，万有引力常量为G，求：(1)人造卫星的角
16、速度 ；(2)人造卫星绕地球转动的周期；(3)人造卫星的向心加速度 【答案】 （1）GMRhh） Rh （3） aGMh2（ 2） T2（ R2RGMR h【解析】【分析】根据万有引力提供向心力Mm2 2v22求解角速度、周期、向Gr 2m( T ) r m rm r ma心加速度等。【详解】（1）设卫星的角速度为，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：mMG Rh 2 m2(R+h)，解得卫星角速度GMRhRh2故人造卫星的角速度GMRhR2hMm（4 2（2）由 G2）2m RhTR h得周期 T 2（ Rh） RhGM故人造卫星绕地球运行的周期为T2（ Rh） Rh GMmMGM（3）由于 G2=m a 可解得，向心加速度 a=2RhR h故人造卫星的向心加速度为GM2Rh【点睛】解决本题的关键知道人造卫星绕地球运行靠万有引力提供向心力，即G Mmm( 2 ) 2 r m v2m 2 r ma .r 2Tr