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1、高中物理万有引力与航天易错剖析含解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 据每日邮报 2014 年 4 月 18 日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发现“类地 ”行星 . 假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T；宇航员在该行星 “北极 ”距该行星地面附近 h 处自由释放 - 个小球 ( 引力视为恒力 ) ，落地时间为 t. 已知该行星半径为 R，万有引力常量为 G，求：12该行星的第一宇宙速度；该行星的平均密度【答案】 12hR ?2 ?3ht22R2Gt【解析】【分析】根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力，求
2、M出质量与运动的周期，再利用，从而即可求解V【详解】1 根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度h1 gt 22解得： g2ht 2则由 mgm v2R求得：星球的第一宇宙速度vgR2h2R ，t2 由 GMmmg m2hR2t2有： M2hR2Gt 2所以星球的密度M3hV2Gt 2 R【点睛】本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解2 如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v0 抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为 R，万有引力常量为G，求：
3、(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的质量。2v0 tan2v0 R2tan【答案】 （1） g（2 ）tGt【解析】【分析】平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度；根据万有引力等于重力求出星球的质量；【详解】(1)根据平抛运动知识可得y1 gt22gttanv0t2v0x2v0 tan解得 gtGMm(2)根据万有引力等于重力，则有R2mggR22v0 R2tan解得 MGGt3 一名宇航员到达半径为 R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为 m 的小球，上端固定在 O 点，如图甲所示，在最低
4、点给小球某一初速度，使其绕 O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间 t 的变化规律如图乙所示 F12已知，引力常量为G，忽略各种阻力求：、F（ 1）星球表面的重力加速度；（ 2）卫星绕该星的第一宇宙速度；（ 3）星球的密度F1F2（ 2）( F1 F2 ) RF1 F2【答案】 （1） g6m(3)6m8 GmR【解析】【分析】【详解】（1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F2，在最低点拉力为 F1设最高点速度为v2 ，最低点速度为v1 ，绳长为 l在最高点： F2mv22mgl在最低点： F1mv12mgl由机械能守恒定律，得1 mv12mg 2l1 mv2222由，解得
5、F1 F2g6m（ 2） GMm mg R2GMmmv2=R2R两式联立得：v=(F1 F2 )R6mGMm（3）在星球表面：R2mgM星球密度：V由，解得F1F28 GmR点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度4 利用万有引力定律可以测量天体的质量（1）测地球的质量英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”已知地球表面重力加速度为
6、g，地球半径为 R，引力常量为G若忽略地球自转的影响，求地球的质量（2）测 “双星系统 ”的总质量所谓 “双星系统 ”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O 做匀速圆周运动的两个星球 A 和B，如图所示已知A、 B 间距离为L， A、 B 绕O 点运动的周期均为T，引力常量为G，求A、 B 的总质量（3）测月球的质量若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成 “双星系统 ”已知月球的公转周期为 T1，月球、地球球心间的距离为 L1你还可以利用（ 1）、（ 2）中提供的信息，求月球的质量【答案】（ 1）gR242 L3；（ 3）4 2 L13gR2；（ 2）GT 2GT12GG【解析】【详解
7、】（1）设地球的质量为M ，地球表面某物体质量为m，忽略地球自转的影响，则有G Mmmg 解得： M = gR2；R2G（ 2）设 A 的质量为 M 1，A 到 O 的距离为 r1，设 B 的质量为 M2 ，B 到 O 的距离为 r 2，根据万有引力提供向心力公式得：M 1M 222GL2M 1 ( T )r1 ，M 1M 222GL2M 2 (T)r2 ，又因为 L=r1+r2解得： M 1M 24 2 L3；GT 2（3）设月球质量为M3，由（ 2）可知， M 34 2L13MGT122由（ 1）可知， M = gRG4 2 L31gR2解得：M 3GT12G52003 年 10 月 15
8、 日，我国神舟五号载人飞船成功发射标志着我国的航天事业发展到5高度为h 的圆形轨道已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g，引力常量为G，求：(1)地球的质量；(2)飞船在上述圆形轨道上运行的周期T【答案】(1) MgR 2(Rh)3(2) T 2gR2G【解析】【详解】(1)根据在地面重力和万有引力相等，则有G MmmgR2gR2解得： MG(2)设神舟五号飞船圆轨道的半径为r，则据题意有：rR hMm2飞船在轨道上飞行时，万有引力提供向心力有：4Gr 2m T 2 r解得： T2 ( R h)3gR26 在某一星球上，宇航员在距离地面h 高度处以初速度v0 沿水平方向抛出一个小球，小球落到
9、星球表面时与抛出点的水平距离为x，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：(1)该星球表面的重力加速度g；(2)该星球的质量M ；(3)该星球的第一宇宙速度v。【答案】 (1)g2hv02(2)M2hv02 R2(3)vv02hRx2Gx2x【解析】（ 1）由平抛运动规律得：水平方向xv0 t竖直方向 h1g t 22解得： g2hv02x2（2）星球表面上质量为m 的物体受到万有引力近似等于它的重力，即GMmmgR2g R2得： MG22代入数据解得：M2hv0 R（3） mgm v2；解得 vg RR代入数据得：vv02hRx点睛 ：平抛运动与万有引力联系的桥梁是重力加速度g运用重力等于万
10、有引力，得到g=GM/R2，这个式子常常称为黄金代换式，是求解天体质量常用的方法，是卡文迪许测量地球质量的原理7 已知地球质量为M，万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。忽略地球自转影响。（ 1）求地面附近的重力加速度g；（ 2）求地球的第一宇宙速度 v；（ 3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明。【答案】（ 1） gGM（ 2） vGM （ 3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质R2R量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。【解析】【详解】（1）设地球表面的物体质量为m , 有MmGR2mg解得GMg（2）设地球的
11、近地卫星质量为m ，有R2Mm2Gm v2RR解得vGMR（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。设太阳质量为M ，地球绕太阳运动的轨道半径为r、周期为 T，根据 GM MM4 2r 可知若知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量可求r2T2得太阳的质量。8“嫦娥四号 ”卫星从地球经地一月转移轨道，在月球附近制动后进入环月轨道，然后以大小为 v 的速度绕月球表面做匀速圆周运动，测出其绕月球运动的周期为T，已知引力常量G，月球的半径R 未知，求：（ 1）月球表面的重力加速度大小；（ 2）月球的平均密度。2 v3【答案】 (1)
12、g(2)2TGT【解析】【详解】（1）在月球表面，万有引力等于重力，重力加速度等于向心加速度gangv2T以上各式联立得g2 vT（2）“嫦娥四号”卫星绕月球表面做匀速圆周运动，万有引力提供向心力Mm42 RGR2mT 2M由密度公式：V球球体的体积公式为V球4R3联立以上各式得33GT 29 宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行，已知飞船运行的周期为T，行星的平均密度为试证明（万有引力恒量G 为已知，是恒量）【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】设行星半径为R、质量为 M ，飞船在靠近行星表面附近的轨道上运行时，有即又行星密度将 代入 得证毕10 假如你乘坐我国自行研制的
13、、代表世界领先水平的神州X 号宇宙飞船，通过长途旅行，目睹了美丽的火星，为了熟悉火星的环境，飞船绕火星做匀速圆周运动，离火星表面的高度为 H，测得飞行n 圈所用的时间为t ，已知火星半径为R，引力常量为G，求：（1）神舟 X 号宇宙飞船绕火星的周期T；（2）火星表面重力加速度gt4 2n23R H【答案】 （1） T（ 2） gnR2t 2【解析】t(1)神舟 X 号宇宙飞船绕火星的周期Tn(2)根据万有引力定律GMm4 22m2 R H ，RHTG MmmgR24 2n2 R3解得 gH2 2R t【点睛 】本题考查了万有引力定律的应用，考查了求重力加速度、第一宇宙速度问题，知道万有引力等于重力、万有引力提供向心力是解题的前提与关键，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题