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1、物理生活中的圆周运动提高训练含解析一、高中物理精讲专题测试生活中的圆周运动1 如图，在竖直平面内，一半径为R 的光滑圆弧轨道ABC 和水平轨道PA 在 A 点相切 BC 为圆弧轨道的直径3O 为圆心， OA 和 OB 之间的夹角为 ， sin = ，一质量为 m5的小球沿水平轨道向右运动，经A 点沿圆弧轨道通过 C 点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C 点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零重力加速度大小为g求：（ 1 ）水平恒力的大小和小球到达C 点时速度的大小；（ 2 ）小球到达 A 点时动量的大小；（ 3
2、 ）小球从 C 点落至水平轨道所用的时间【答案】（ 1）5gR （ 2） m23gR （ 3） 35R225g【解析】试题分析本题考查小球在竖直面内的圆周运动、受力分析 、动量 、斜下抛运动及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决问题的的能力解析 （ 1）设水平恒力的大小为F0，小球到达 C 点时所受合力的大小为F由力的合成法则有F0tanmgF 2(mg )2F02 设小球到达C 点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得v2FmR由式和题给数据得F03 mg 4v 5gR 2（2）设小球到达A 点的速度大小为v1 ，作 CDPA ，交 PA 于 D 点，由几何关系得DAR sinCDR
3、(1cos）由动能定理有mg CDF0DA1 mv21 mv12 22由式和题给数据得，小球在A 点的动量大小为pmv1m23gR 2（3）小球离开 C 点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g设小球在竖直方向的初速度为v ，从 C 点落至水平轨道上所用时间为t 由运动学公式有v t1gt 2CD 2vvsin由式和题给数据得35Rtg5点睛 小球在竖直面内的圆周运动是常见经典模型，此题将小球在竖直面内的圆周运动、受力分析 、动量、斜下抛运动有机结合，经典创新 2 有一水平放置的圆盘，上面放一劲度系数为 k 的弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴 O 上，另一端系一质量为 m
4、的物体 A，物体与盘面间的动摩擦因数为 ，开始时弹簧未发生形变，长度为l设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力求：（1）盘的转速 多大时，物体A 开始滑动？0（2）当转速缓慢增大到2 时， A 仍随圆盘做匀速圆周运动，弹簧的伸长量x 是多少？0【答案】（ 1）g3mgl（ 2）4 mglkl【解析】【分析】（1）物体 A 随圆盘转动的过程中，若圆盘转速较小，由静摩擦力提供向心力；当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力物体A 刚开始滑动时，弹簧的弹力为零，静摩擦力达到最大值，由静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律求解角速度0 （ 2）当角速度达到 2 0 时，由弹力与摩擦力的合力提供向心力，由
5、牛顿第二定律和胡克定律求解弹簧的伸长量 x【详解】若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与静摩擦力的合力提供向心力（ 1）当圆盘转速为 n0 时， A 即将开始滑动，此时它所受的最大静摩擦力提供向心力，则有：2mg ml0 ，解得： 0=g l即当 0g 时物体 A 开始滑动l（ 2）当圆盘转速达到 2 0 时，物体受到的最大静摩擦力已不足以提供向心力，需要弹簧的弹力来补充，即： mg +kx mr12，r=l+x解得： Vx3 mglkl4 mg【点睛】当物体相对于接触物体刚要滑动时，静摩擦力达到最大，这是经常用到的临界条件本题关键是分析物体的受力情况3 如图所示，半径
6、为R 的四分之三圆周轨道固定在竖直平面内，O 为圆轨道的圆心，D为圆轨道的最高点，圆轨道内壁光滑，圆轨道右侧的水平面BC 与圆心等高质量为m 的小球从离 B 点高度为 h 处（ 3 Rh3R ）的 A 点由静止开始下落，从B 点进入圆轨道，2重力加速度为g ）（ 1）小球能否到达 D 点？试通过计算说明；（ 2）求小球在最高点对轨道的压力范围；（3）通过计算说明小球从 D 点飞出后能否落在水平面 BC 上，若能，求落点与 B 点水平距离 d 的范围【答案】（ 1）小球能到达D 点；（ 2） 0F3mg ；（ 3）21 Rd221 R【解析】【分析】【详解】（1）当小球刚好通过最高点时应有：mv
7、D2mgR由机械能守恒可得： mg hRmvD22联立解得 h3 R ，因为 h 的取值范围为3 Rh3R ，小球能到达D 点；22（2）设小球在 D 点受到的压力为F ，则FmgmvD2Rmg h RmvD22联立并结合 h 的取值范围33R解得： 0F3mgR h2据牛顿第三定律得小球在最高点对轨道的压力范围为：0F 3mg（3）由（ 1）知在最高点 D 速度至少为 vD mingR此时小球飞离 D 后平抛，有： R1 gt 22xminvD min t联立解得 xmin2RR ，故能落在水平面BC 上，当小球在最高点对轨道的压力为3mg 时，有： mg3mgm vD2maxR解得 vD
8、max2gR小球飞离 D 后平抛 R1 gt2 ，2xmaxvD max t联立解得 xmax2 2R故落点与 B 点水平距离d 的范围为：21 Rd221 R4 如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD光滑，内圆的上半部分 BC粗D糙，下半部分 BA光D滑一质量m=0.2kg 的小球从轨道的最低点A 处以初速度 v0 向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径R=0.2m，取g=10m/s2 （1）若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动，初速度v0 至少为多少？（2）若 v0C=3m/s ，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力F =2N，则小球
9、在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？（3）若 v0=3.1m/s ，经过足够长的时间后，小球经过最低点A 时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？（保留三位有效数字）【答案】（ 1） v 0 = 10m/s（2） 0.1J （ 3） 6N； 0.56J【解析】【详解】（1）在最高点重力恰好充当向心力mv2mgCR从到机械能守恒2mgR1 mv02 - 1 mvC222解得v010m/s（2）最高点mvC2mg - FCR从 A 到 C 用动能定理-2mgR - Wf1 mvC2- 1 mv0222得 W f =0.1J（ 3）由 v0 =3.1m/s 10m/s 于，在上
10、半圆周运动过程的某阶段，小球将对内圆轨道间有弹力，由于摩擦作用，机械能将减小经足够长时间后，小球将仅在半圆轨道内做往复运动设此时小球经过最低点的速度为vA ，受到的支持力为FA12mgRmvAFA - mg得 FA =6N整个运动过程中小球减小的机械能mv2ARE 1 mv02 - mgR2得 E =0.56J5 如图甲所示，轻质弹簧原长为2L，将弹簧竖直放置在水平地面上，在其顶端将一质量为 5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为L现将该弹簧水平放置，如图乙所示一端固定在A 点，另一端与物块P接触但不连接AB是长度为 5L 的水平轨道， B端与半径为L 的光滑半圆轨道BCD相
11、切，半圆的直径BD在竖直方向上物块P与 AB间的动摩擦因数0.5，用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度为L 处，然后释放P，P开始沿轨道运动，重力加速度为g （1）求当弹簧压缩至长度为L 时的弹性势能Ep ；（2）若 P的质量为 m ，求物块离开圆轨道后落至AB上的位置与B点之间的距离；（3）为使物块P 滑上圆轨道后又能沿圆轨道滑回，求物块P 的质量取值范围【答案】(1)EPmgL(2)S 22L(3)mMm55532【解析】【详解】（1）由机械能守恒定律可知：弹簧长度为L 时的弹性势能为（2）设 P到达 B 点时的速度大小为，由能量守恒定律得：设 P 到达 D点时的速度大小为，由机械能守恒定律
12、得：物体从 D点水平射出，设P 落回到轨道AB所需的时间为S 2 2L（ 3）设 P的质量为 M，为使 P能滑上圆轨道，它到达 B 点的速度不能小于零得 5mgL4 MgLM5 m2要使 P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C，得1 MvB2MgL2Ep1 Mv B224MgL6 如图所示，长为3l 的不可伸长的轻绳，穿过一长为l 的竖直轻质细管，两端分别拴着质量为m、2m的小球A 和小物块B，开始时B 静止在细管正下方的水平地面上。保持细管竖直用手轻轻摇动细管，稳定后A 在水平面内做匀速圆周运动而B 保持静止状态。某时刻B静止在地面上且对地面的压力恰好为零。已知
13、重力加速度为g，不计一切阻力。求：1 该时刻连接A 的轻绳与竖直方向的夹角；2 该时刻 A 的线速度大小 v；3从该时刻起轻摇细管使B 升高到离地高度为l / 2处保持静止，求B 上升过程中手对A、 B 系统做的功。【答案】1 ?60o ； 2 ?3gl；3 9 mgl。28【解析】【分析】(1)对 B 根据平衡求绳子的拉力；对A 球分析，由力的平衡条件可求绳与竖直方向夹角；(2)对 A 水平方向做圆周运动，利用牛顿第二定律列式求解；(3)由力的平衡条件和牛顿第二定律并结合功能关系列式联立可求整个过程中人对A、 B 系统做的功。【详解】（1） B 对地面刚好无压力，故此时绳子的拉力为 T 2m
14、g 对 A 受力分析如图所示：在竖直方向合力为零，故Tcosmg代入数据解得：60o（2） A 球水平方向做圆周运动，由牛顿第二定律得：Tsinmv2代入数据解得：lsinv3gl2（3）当 B 上升 l时，拉 A 的绳长为 3l，此时对水平方向上有：22v12Tsinm 3l sin2联立解得：3由几何关系可得A 相对于原来的高度下降的距v1gl2离： Vhl coslB 物体重力势能的增加量 ： VE12mglmgl242A 物体重力势能的减少量： VE2mglmgl A 物体动能的增加量44VE31 mv12 1 mv23 mgl228对系统运用功能关系可得手对系统做的功： W VE1V
15、E2 VE29 mgl8【点睛】本题综合考查共点力平衡、牛顿第二定律和功能关系，对于圆锥摆问题，关键分析小球的受力情况，确定其向心力，运用牛顿第二定律和圆周运动的知识结合解答。7 如图所示，在光滑水平桌面 EAB上有质量为 m2 kg 的小球 P 和质量为 M 1 kg 的小球 Q， P、 Q 之间压缩一轻弹簧 (轻弹簧与两小球不拴接 )，桌面边缘 E 处放置一质量也为 M1 kg 的橡皮泥球S，在 B 处固定一与水平桌面相切的光滑竖直半圆形轨道。释放被压缩的轻弹簧， P、 Q 两小球被轻弹簧弹出，小球P 与弹簧分离后进入半圆形轨道，恰好能够通过半圆形轨道的最高点C；小球 Q 与弹簧分离后与桌
16、面边缘的橡皮泥球S 碰撞后合为一体飞出，落在水平地面上的 D 点。已知水平桌面高为 h 0.2 m， D 点到桌面边缘的水平距离为 x 0.2 m，重力加速度为 g 10 m/s 2，求：(1)小球 P 经过半圆形轨道最低点B 时对轨道的压力大小NB；(2)小球 Q 与橡皮泥球S 碰撞前瞬间的速度大小vQ；(3)被压缩的轻弹簧的弹性势能Ep。【答案】 (1)120N(2)2 m/s(3)3 J【解析】【详解】（1）小球 P 恰好能通过半圆形轨道的最高点C，则有2mg m vCR解得vCgR对于小球P，从 BC，由动能定理有 2mgR 1 mvC2 1 mvB222解得vB5gR在 B 点有2N
17、B mg m vBR解得NB 6mg120 N由牛顿第三定律有NB NB 120 N（2）设 Q 与 S 做平抛运动的初速度大小为v，所用时间为t，根据公式h 1 gt 2，得2t 0.2 s根据公式x vt，得v1 m/s碰撞前后Q 和 S组成的系统动量守恒，则有Mv Q2Mv解得vQ 2 m/s（ 3） P、 Q 和弹簧组成的系统动量守恒，则有mvP Mv Q解得vP 1 m/s对 P、 Q 和弹簧组成的系统，由能量守恒定律有Ep 1 mvP2 1 MvQ222解得Ep 3 J8 如图所示，半径R=1m 的光滑半圆轨道AC 与高 h=8R 的粗糙斜面轨道BD 放在同一竖直平面内， BD 部
18、分水平长度为x=6R两轨道之间由一条光滑水平轨道相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡在水平轨道上，轻质弹簧被a、 b 两小球挤压（不连接），处于静止状态同时释放两个小球，a 球恰好能通过半圆轨道最高点A， b 球恰好能到达斜面轨道最高点 B已知 a 球质量为m1=2kg， b 球质量为m2=1kg，小球与斜面间动摩擦因素为1= ，重力力加速度为g=10m/s 2（ sin37 =0.6， cos37=0.8）求：3（ 1） a 球经过 C 点时对轨道的作用力（ 2）释放小球前弹簧的弹性势能Ep【答案】 （1） 120N，方向竖直向下（2） 150J【解析】试题分析：（1） a 球恰好通过最高
19、点A 时有：得vARg10m/sa 球从C 到A 过程由动能定理有：解得：在 C 点，对a 球受力分析有：解得轨道对a 球的作用力大小为:（2） b 球从D 点恰好到达最高点B 过程中，位移由动能定理:求得所以小球释放前弹性势能为考点：动能定理；牛顿第二定律的应用9 如图所示， AB 是倾角为的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB 恰好在 B 点与圆弧相切，圆弧的半径为R一个质量为m 的物体（可以看作质点）从直轨道上与圆弧的圆心 O 等高的 P 点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动已知物体与轨道AB 间的动摩擦因数为，重力加速度为g试求：（1）物体释放后，第一次到达B 处的速度大小，
20、并求出物体做往返运动的整个过程中在AB 轨道上通过的总路程s；（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力的大小；（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D（E、 O、D 为同一条竖直直径上的3 个点），释放点距 B 点的距离 L 应满足什么条件【答案】（ 1） vB2gR(sincos)R) ；tan； L（ 2） FN mg(3 2cos（3） L (3 2cos)R2(sincos )【解析】【分析】【详解】（1）设物体释放后，第一次到达B 处的速度为v1 ，根据动能定理可知：mgRcosmg cosR cos1mv12sin2解得：2gR(sincos)vBtan物体每完成
21、一次往返运动，在AB 斜面上能上升的高度都减少一些，最终当它达B 点时，速度变为零，对物体从P 到 B 全过程用动能定理，有mgRcosmgL cos0得物体在 AB 轨道上通过的总路程为LR（2）最终物体以 B 为最高点在圆弧轨道底部做往返运动，设物体从B 运动到 E 时速度为v2 v，由动能定理知：mgR(1cos )1mv222在 E 点，由牛顿第二定律有mv22FNmgR解得物体受到的支持力FNmg(32cos)根据牛顿第三定律，物体对轨道的压力大小为FN FNmg(3 2cos ) ，方向竖直向下（3）设物体刚好到达D 点时的速度为vD 此时有mgmvD2R解得：vDgR设物体恰好通
22、过D 点时释放点距B 点的距离为L0 ，有动能定理可知：mg L0 sin R(1 cos ) mgcos L01 mvD22联立解得：L0(32cos ) R2(sincos )则： (32cos )RLcos )2(sin答案：（ 1） vB2gR(sincos ) ； LRmg(3 2cos ) ； （ 3）（2） FNtan (3 2cos) RLcos )2(sin10 如图所示为某种弹射小球的游戏装置，由内置弹簧发射器的光滑直管道PA 和光滑圆管道 ABC 平滑相接，粗糙斜面 CD上端与管道 ABC末端相切于 C 点，下端通过一段极小圆弧（图中未画出）与粗糙水平面 DE平滑连接，半
23、径 R=2.0m 的光滑半圆轨道竖直固定，其最低点 E 与水平面 DE相接， F 为其最高点每次将弹簧压缩到同一位置后释放，小球即被弹簧弹出，经过一系列运动后从F 点水平射出己知斜面 CD 与水平面 DE 的长度均为L=5m，小球与斜面及水平面间的动摩擦因数均为=0.2，其余阻力忽略不计，角=37，弹簧的长度、小球大小、管道直径均可忽略不计，若小球质量m=0.1kg，则小球到达管F时恰好与管口无挤压求：（1）弹簧的弹性势能大小Ep；（2）改变小球的质量，小球通过管口F 时，管壁对小球的弹力FN 也相应变化，写出FN 随小球质量m 的变化关系式并说明的FN 方向【答案】（ 1） 6.8J；（ 2
24、） a)当 m=0.1kg 时， FN 为零；b)当 0m0.1kg 时， FN 6.868m ，向下；c)当 0.1kg m 0.12kg，FN 68m 6.8，向上；d) 当 m 0.12kg 时 , FN 为零【解析】【详解】（1）恰好与管口无挤压，则2mgm v1RP-F，由动能定理得W弹 2mgR mg(LcosL)1mv122初始弹性势能EP=W 弹联立以上各式解得EP=6.8J（2）在 F 点FNmgm v2RP-F，由能量守恒得：EPmg(LcosL) 2mgR1 mv22由得FN6.868m a)由可知当 m=0.1kg 时， FN 为零；b)当 0m0.1kg 时， FN 6.8 68m小球经过 F 点时外管壁对它有向下的弹力c)当小球到达F 点速度恰好为零时由可得17mkg0.12kg则 0.1kgm0.12kgFN68m6.8小球经过F 点时内管壁对它向上弹力d) 当 m0.12kg 时 , FN 为零