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1、最新 料推荐 人教A 版教学设计 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式广州市第三中学数学科刘窗洲一、教学目标：1、培养学生利用化归思想( 指将一般化归为特殊) 导出倍角公式，了解倍角公式与两角和公式的内在联系并熟练倍角公式结构。2、领会重点与难点，包括倍角公式的形成和公式的变形( 突出C2的两种变形 ) 并理解倍角 的 相对性。3、会利用倍角公式进行求值运算、化简，培养学生运算、分析和逻辑推理能力。二、重点与难点：1、重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式。2、难点是倍角公式的形成及 公式的变形。三、教学过程 ( 师生互动 ):1、公式的导出： ( 先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式，
2、以达到温故而知新。 )复习回顾：sin()cos()tan()我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归。那么，如何把和角公式化归为二倍角公式呢?现在研究二倍角，线索是两角和的正弦、余弦、正切公式，请同学们自己先试一试发现“二倍角”与 “两角和”的内在联系。让学生领悟到：2举一例引导化归思想：sin()sincoscossinsin( )sincos cossin ( 表示任意角 )1最新 料推荐当取特殊角时，上述公式表示为 :sin()sincoscos sin即：sin2 2sincos ，接着依此类推让学生自行动手体会由一般过渡到特殊的化归思想。 双向沟通：( 请把化
3、归的结果填入下面的式中)sin 2简记： ( S2)cos2简记： (C2)tan2(k 且4k )(kZ )简记： (T2)22我们发现 cos 2cos2sin 2公式的右边既有cos也有 sin，假设已知sin 的值，要求 cos2的值，就必然要再求到 cos的值，然后再代入公式求解。如果每次都如此， 则会变得工作重复， 试问是否可通过公式变形用cos 或 sin来单独表示 cos2 以达到公式简洁，从而避免重复工作，提高解题速度。利用sin 2cos21，公式C2还可以变形为：cos2或cos2 阶段小结：倍角公式与两角和公式的内在联系是：令=( 实现一般化归为特殊 ) 。上面这些公式
4、都叫做倍角公式 。有了倍角公式，就可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数 。让同学们自己填写公式，是为了使大家学会怎样去发现数学规律，并体会化归 ( 这里是将一般化归为特殊) 这一基本数学思想所起的作用。2、公式的运用： 师生互动：教师在黑板上板书且同时启发学生注意公式结构中等号两边角度倍数的对比、系数的对比、幂次数的对比学生思考并回答问题以达到熟练公式结构的目的。2最新 料推荐注意以下题组的变化：( 让学生自己发现变化之处)sin 22sincoscos2cos2sin 2sincos4sincos62sincos84在以上问题中主要突出的是倍角的相对性，以及公式左右两边的角的变化。为了进
5、一步巩固所学公式与更深入熟练地掌握公式变形，特意由浅入深设计三个梯度的课堂练习以达到相关目的。 梯度一： ( 熟练公式结构 )（ 1） 2sin 67030 cos67 030( 公式的逆用 )（ 2） cos2sin 2( 公式的逆用 )88（ 3） 2cos21( 公式的逆用 )12（ 4） 12sin 2 750( 公式的逆用 )（ 5）2 tan 22.5 0( 公式的逆用 )tan222.501 梯度二： ( 倍角的相对性 )(1)sinsincos(2)coscos2sin 223(3)sin3cos3( 公式的逆用伴有系数的变化)(4)4sincos( 公式的逆用伴有系数的变化)
6、44(5)tan 400( 公式的逆用伴有系数的变化)1tan2400(6)cos2 2sin 2 2( 公式的逆用 )3最新 料推荐 梯度三： ( 公式的灵活运用 )00(分析：先引导学生观察分析正弦的二倍角公式的右边为sincos即一个正弦、一个余弦，而本题为两个正弦且角度也不同，提醒学生进行思考且注意变形手段，变成角度相同且一个正弦、一个余弦再求值。)(2)cos 200 cos 400 cos800(分析：引导学生观察分析，此题设计的目的是让学生学会构造法与滚雪球法，体会公式的灵活多变，发现数学美。 )解：原式8sin 200cos200 cos 400 cos8004sin 400
7、cos 400 cos80 08sin 2008sin 2002sin 800 cos800sin160 018sin 2008sin 2008（3） sin10 0 sin 500 sin 70 0(此题留为课后练习，让学生进一步思考。) 经过三个梯度的训练，学生对公式的结构与公式的应用达到基本熟练之后，下一步应该提供机会让学生利用倍角公式进行求值运算、化简，以培养学生运算、分析和逻辑推理能力，这也正是本课时的教学目标之一与难点之一。3、典型例题 : 例 1 、已知 sin 25 ，4，求 sin 4 ， cos4 ， tan4的值 ?132 分析 本题求值时，由于运用了公式cos2 21
8、sin 2 2 ，所以要根据角2的范围确定取哪一个平方根。另外，在求cos4 值时，应使用公式的三种等价式中的:cos41 2sin 2 2 .4最新 料推荐因为本题在前几节书中类似问题曾在多处出现，故可将详细解题步骤用实物投影展示给学生，以节约课堂时间 。解： sin 25，2( ,)( 角的范围目的在于确定cos2 的正负取值 )132 cos21sin 2 21213 sin42sin 2cos2120169cos412sin 2 2119( 公式有三种选择， 应以方便计算为出发点 )169tan4sin4120cos4119本题结束后，可考虑将原题进行如下一组变换: 变式 1、已知 c
9、os12，(,0) ，求 sin2，cos2，tan2的值 ?132 变式 2、已知 tan5，(, 3 ) ，求 sin2，cos2， tan2的值 ?122( 以上题组学生能口述解答方法即可，目的是训练并提高学生灵活选择公式的能力) 例 2、化简 :1 cos,(3 ) .2 分析 本题要化简，则根号里面必须产生某式的平方，启发学生联想到有没有一个公式右边能产生平方。一旦学生联想到余弦的二倍角公式便让其自己动手去完成化简。由于有可能学生们选择了公式的三种不同等价式：coscos2sin 22cos21 12sin 22222则产生三种思路与三种解法，但其结果应该是一致的，只不过速度的快慢、
10、解法的简易与复杂有差异，学生解答后再请其自己叙述其解题思路，并能互相交流、对比以达到优化教学的效果，如若出现另类解法，只要不违背数学思想应给予正面鼓励以促进学生积极思维 。5最新 料推荐教师可介绍一种相对理想的解法且板书：解：3，则32242 原式1 1 2sin 2 ( )2sin 2 ( )2 |sin|2 sin2222( 解答中角度范围的确定目的是去绝对值时正负值的取舍，这也是本题目标训练之2一，即符号看象限。)在本题结束后，亦可考虑将原题进行如下一组变换，以加强训练学生灵活选择公式的意识与能力，也为后面的升幂公式学习打下基础。 变式 1、化简 :1cos,(23).2 变式 2、化简
11、 :1sin,(3.)2 变式 3、化简 :1sin,32).(22( 此题组留为课后练习，学生继续思考、巩固所学知识从而升华课堂教学。) 例 2 、在ABC 中， cos A4 ， tan B 2 ，求 tan(2 A 2B) 的值？5 分析 本题是涉及三角形的求值问题，可溯引学生熟练三角形中的三角问题，让数学回归生活、生产实际问题。难点在于突破角度的限制性，符号确定与公式的正确选择。解：在ABC 中，由cos A4 ， 0 A，5得 sin A1 cos2 A1 ( 4 )23 ，556最新 料推荐tan Asin A353 ，cos A5442tan A2324tan2 A41tan2
12、A1(327)4又 tan B2，所以 tan 2B12 tan B224 ，tan2 B1223tan 2 Atan 2B24444于是 tan(2 A2B)731 tan 2 A tan 2B244117)1(73( 此题还有多种求解方法，学生可继续思考、各抒己见、课内课后可充分交流从而提高课堂教学的有效性。 )若教师想检验和提高学生的数学思考能力，不防鼓励学生自己动手改变题目的某些已知条件，尝试并且体验编题的乐趣。 如姊妹题、在ABC 中， sin A3 ， tan B 2 ，求 tan(2 A 2B) 的值？5四、小结： 让学生自己总结学习心得与体会反思.五、作业： 人教 A 版课本第 148页第 1 、 2、3、4 题7