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1、高中物理万有引力与航天( 一 ) 解题方法和技巧及练习题及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 如图所示，质量分别为m 和M的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L已知A、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在 O 的两侧，引力常量为G求：(1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ；(2)两星球做圆周运动的周期ML,r=mL,（ 2） 2L3【答案】 （1） R=m Mm MG M m【解析】（1）令 A 星的轨道半径为R， B 星的轨道半径为r，则由题意有 L r R两星做圆周运动时的向心力由万有引力提
2、供，则有：GmM4 242L2mR2Mr2TT可得 R M ，又因为 LRrrm所以可以解得：ML , rmL ；RMmMm（2）根据（ 1）可以得到 ： GmM4242ML2m2 Rm2MLTTm42L32L3则： Tm GG mMM点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径 2 一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x 和落地时间t，又已知该星球的半径为 R，己知万有引力常量为G，求：（ 1）小球抛出的初速度 vo（ 2）该星球表面的重力加速
3、度g（ 3）该星球的质量 M（ 4）该星球的第一宇宙速度 v（最后结果必须用题中己知物理量表示）【答案】 (1) v0=x/t(2) g=2h/t 2(3) 2hR2/(Gt 2) (4)2hRt【解析】（ 1）小球做平抛运动，在水平方向 ： x=vt，解得从抛出到落地时间为： v0=x/t（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：12，h= gt2解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t 2；（3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m，由万有引力等于物体的重力得：mg= G MmR2所以该星球的质量为：M= gR2= 2hR2/(Gt 2)；G（4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球
4、作匀速圆周运动，速率为v，由牛顿第二定律得：Mmv2GmR2R重力等于万有引力，即mg= G Mm ，R2解得该星球的第一宇宙速度为：v2hRgRt3“天宫一号 ”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形2013 年 6 月，“神舟十号 ”与 “天宫一号 ”成功对接， 6 月 20 日 3 位航天员为全国中学生上了一节生动的物理课已知 “天宫一号 ”飞行器运行周期T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g， “天宫一号 ”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为G求：(1)地球的密度；(2)地球的第一宇宙速度v；(3) 天“宫一号 ”距离地球表面的高度【答案】 (1)3g(2) vgR
5、 (3) h3gT2 R2R4 GR4 2【解析】（1）在地球表面重力与万有引力相等：MmG R2mg ，MM地球密度：V4 R33解得：3g4 GR（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，mgmv2RvgR（3）天宫一号的轨道半径 r Rh，Mmm R h 42据万有引力提供圆周运动向心力有：G22，R hT解得： h3gT2 R2R424 某星球半径为 R 6 106 m ，假设该星球表面上有一倾角为30 的固定斜面体，一质量为 m 1kg 的小物块在力 F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F 始终与斜面平行，如图甲所示已知小物块和斜面间的动摩擦因数3 ，力 F 随位移 x 变化的规律3
6、如图乙所示（取沿斜面向上为正方向）已知小物块运动12m时速度恰好为零，万有引力常量 G6.6710 11 N?m 2 /kg 2 ，求（计算结果均保留一位有效数字）（1）该星球表面上的重力加速度g 的大小；（2）该星球的平均密度【答案】 g6m / s2 ，【解析】【分析】【详解】（1）对物块受力分析如图所示；假设该星球表面的重力加速度为g，根据动能定理，小物块在力F1 作用过程中有：F1s1 fs1 mgs1 sin1 mv202NmgcosfN小物块在力 F2作用过程中有：F2s2fs2mgs2 sin01 mv22由题图可知： F1 15N， s16?m； F23?N， s2 6?m整理
7、可以得到：(2)根据万有引力等于重力：，则：，代入数据得5 地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。已知地球表面重力加速度为球半径为 R，地球自转周期为T，引力常量为G，求：（1）地球的质量M；（2）同步卫星距离地面的高度h。g，地【答案】 (1)(2)【解析】【详解】（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G解得地球质量为：M=；（2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T，同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：解得：【点睛】；本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力
8、提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题6 某双星系统中两个星体A、 B 的质量都是m，且 A、 B 相距 L，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动实际观测该系统的周期T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值 T0，且k (） ，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星体C 的影响 ，并认为 C 位于双星 A、 B 的连线中点 求：(1)两个星体 A、 B 组成的双星系统周期理论值；(2)星体 C 的质量【答案】（ 1）；（ 2）【解析】【详解】(1) 两星的角速度相同 ,根据万有引力充当向心力知 :可得：两星绕连线的中点转动,则解得：(2) 因为 C 的存在 ,双
9、星的向心力由两个力的合力提供,则再结合：k可解得：故本题答案是：（1）；（ 2）【点睛】本题是双星问题,要抓住双星系统的条件:角速度与周期相同,再由万有引力充当向心力进行列式计算即可.7 宇航员王亚平在 “天宫一号 ”飞船内进行了我国首次太空授课若已知飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为 T ，地球半径为 R ，地球表面重力加速度 g ，求：（ 1）地球的第一宇宙速度 v ；（ 2）飞船离地面的高度 h 【答案】 （1） vgR（2） h3gR2T242R【解析】【详解】2（1）根据 mgm v 得地球的第一宇宙速度为：RvgR （2）根据万有引力提供向心力有：Mmh 42G2m R2 ，(R h
10、)T又 GMgR2 ，解得： h3gR2T242R 8 我国预计于2022 年建成自己的空间站。假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。求：(1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。【答案】 (1)(2)【解析】【详解】(1) 卫星在地球表面时，可知：空间站做匀速圆周运动时：其中联立解得线速度为：(2) 设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T1 和 T2，则由开普勒第三定律有：其中：，解得：【点睛】本题考查了万
11、有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动的参量。9 木星在太阳系的八大行星中质量最大，“1”“1”木卫是木星的一颗卫星，若已知木卫绕木星公转半径为r，公转周期为T，万有引力常量为G，木星的半径为R，求（1）木星的质量M；（2）木星表面的重力加速度g0 【答案】（ 1） 4 2r 3 (2)42r 3GT 2T 2 R2【解析】(1)由万有引力提供向心力G Mmm( 2)2 rr 2T可得木星质量为42r 3M2GT(2)由木星表面万有引力等于重力： G Mmm g0R2木星的表面的重力加速度g042 r 3T2 R2【点睛 】万有引力问题的运动，一般通过万有引力做向心
12、力得到半径和周期、速度、角速度的关系，然后通过比较半径来求解10 已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响（1）求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v1 ；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星运行半径r ；【答案】（ 1） gR （ 2）3 gR2T 2r42【解析】试题分析：（1）地表的物体受到的万有引力与物体的重力近似相等即：GMm mgR2若发射成卫星在地表运动则卫星的重力提供向心力即：mg m v2R解得： vgRGMm2 m 42（2）由卫星所需的向心力由万有引力提供可得2 rrT又 GMm mgR222解得： r 3 gR T考点：万有引力定律的应用名师点睛：卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解