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1、高中物理万有引力定律的应用提高训练一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1 如图轨道为地球同步卫星轨道，发射同步卫星的过程可以筒化为以下模型：先让卫星进入一个近地圆轨道（离地高度可忽略不计），经过轨道上P 点时点火加速，进入椭圆形转移轨道该椭圆轨道的近地点为圆轨道上的P 点，远地点为同步圆轨道上的Q 点到达远地点 Q 时再次点火加速，进入同步轨道已知引力常量为G ，地球质量为M ，地球半径为 R ，飞船质量为 m ，同步轨道距地面高度为h 当卫星距离地心的距离为 r 时，地球与卫星组成的系统的引力势能为EpGMm（取无穷远处的引力势能为r零），忽略地球自转和喷气后飞船质量的変化，问：（ 1
2、）在近地轨道上运行时，飞船的动能是多少？（ 2）若飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化已知飞船在椭圆轨道上运行中，经过P 点时的速率为v1 ，则经过 Q 点时的速率v2 多大？（ 3）若在近地圆轨道上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度v3 （相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动能转化为引力势能）【答案】（ 1） GMm （ 2） v122GM2GM （ 3）2GM2RR hRR【解析】【分析】（ 1）万有引力提供向心力，求出速度，然后根据动
3、能公式进行求解；（ 2）根据能量守恒进行求解即可；（ 3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势能；【详解】（ 1）在近地轨道（离地高度忽略不计） 上运行时，在万有引力作用下做匀速圆周运动即： G mMm v2R2R则飞船的动能为Ek1mv2GMm ；22R（2）飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化由能量守恒可知动能的减少量等于势能的増加量：1mv121mv22GMm(GMm )22R hR若飞船在椭圆轨道上运行，经过P 点时速率为 v1 ，则经过 Q 点时速率为：v2v122GM2GM ；R hR（ 3）若近地圆轨道运行时，飞船
4、上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器离地心的距离无穷远），动能全部用来克服引力做功转化为势能即： G Mm1 mv32R2则探测器离开飞船时的速度（相对于地心）至少是：v32GM R【点睛】本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，同时注意应用能量守恒定律进行求解2 在地球上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把质量为m 的物体P 置于弹簧上端，用力压到弹簧形变量为3x0 处后由静止释放，从释放点上升的最大高度为4.5x0，上升过程中物体P 的加速度a 与弹簧的压缩量x 间的关系如图中实线所示。若在另一星球N 上把完全相同的弹簧竖直固定在水平桌面上，
5、将物体Q 在弹簧上端点由静止释放，物体Q 的加速度a 与弹簧的压缩量 x 间的关系如图中虚线所示。两星球可视为质量分布均匀的球体，星球N 半径为地球半径的 3 倍。忽略两星球的自转，图中两条图线与横、纵坐标轴交点坐标为已知量。求：(1)地球表面和星球N 表面重力加速度之比；(2)地球和星球N 的质量比；(3)在星球 N 上，物体Q 向下运动过程中的最大速度。【答案】 (1)2:1(2)2:9(3) v3 a0 x02【解析】【详解】（1）由图象可知，地球表面处的重力加速度为g1=a0星球 N 表面处的重力加速度为g2=0.5a0则地球表面和星球N 表面重力加速度之比为2 1（2）在星球表面，有
6、GMmR2mg其中， M 表示星球的质量， g 表示星球表面的重力加速度，R 表示星球的半径。则M= gR2G因此，地球和星球N 的质量比为 2 9（3）设物体 Q 的质量为 m2，弹簧的劲度系数为 k物体的加速度为0 时，对物体 P：mg1=k x0对物体 Q：m2 g2=k3x0联立解得： m2=6m在地球上，物体 P 运动的初始位置处，弹簧的弹性势能设为 Ep，整个上升过程中，弹簧和物体 P 组成的系统机械能守恒。根据机械能守恒定律，有：E pmg1h4.5ma0 x0在星球 N 上，物体 Q 向下运动过程中加速度为0 时速度最大，由图可知，此时弹簧的压缩量恰好为 3x0，因此弹性势能也
7、为 Ep，物体 Q 向下运动3x0 过程中，根据机械能守恒定律，有：m2a23x0=Ep+1 m2v22联立以上各式可得，物体P 的最大速度为 v=3 a0 x023 某课外小组经长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的一颗卫星的运动半径为 R1，周期为 T1，已知万有引力常量为 G。求：(1)行星的质量；(2)若行星的半径为R，行星的第一宇宙速度大小；(3)研究某一个离行星很远的该行星卫星时，可以把该行星的其它卫星与行星整体作为中心天体处理。现通过天文观测，发现离该行星很远处还有一颗卫星，其
8、运动半径为R2，周期为 T2，试估算靠近行星周围众多卫星的总质量。【答案】 （1）（ 2）（ 3）【解析】 （1）根据万有引力提供向心力得：解得行星质量为：M=（2）由得第一宇宙速度为：（ 3）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，根据万有引力提供向心力得：所以行星和其他卫星的总质量M 总所以靠近该行星周围的众多卫星的总质量为：M 点睛：根据万有引力提供向心力，列出等式只能求出中心体的质量要求出行星的质量，我们可以在行星周围找一颗卫星研究，即把行星当成中心体4 如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h.已知地
9、球半径为心R，地球自转角速度为0，地球表面的重力加速度为g，O 为地球中(1)求卫星B 的运行周期(2)如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、 B 两卫星相距最近(O、B、 A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？2【答案】 (1) TB = 2p (R + h)3tgR2(2)gR2( Rh)30【解析】【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式得Mmm4 2h ， G Mmmg G22RRhTBR2Rh3联立解得 ： TB2R2 g0 t 2gR2（2）由题意得B ，由得B3 Rh2t代入得R2 g30Rh5 经过逾 6 个月的飞行，质量为 40kg 的洞察号火
10、星探测器终于在北京时间2018 年 11 月27 日 03： 56 在火星安全着陆。着陆器到达距火星表面高度800m 时速度为60m/s ，在着陆器底部的火箭助推器作用下开始做匀减速直线运动；当高度下降到距火星表面100m 时速度减为 10m/s 。该过程探测器沿竖直方向运动，不计探测器质量的变化及火星表面的大气阻力，已知火星的质量和半径分别为地球的十分之一和二分之一，地球表面的重力加速度为 g = 10m/s2。求：(1)火星表面重力加速度的大小；(2)火箭助推器对洞察号作用力的大小.【答案】 (1)g火 =4m/s2(2)F=260N【解析】【分析】火星表面或地球表面的万有引力等于重力，列
11、式可求解火星表面的重力加速度；根据运动公式求解下落的加速度，然后根据牛顿第二定律求解火箭助推器对洞察号作用力.【详解】（1）设火星表面的重力加速度为g 火 ，则 GM 火m=mg火r火2GM 地 m=mgr地2解得 g 火=0.4g=4m/s 2（2）着陆下降的高度： h=h 12，设该过程的加速度为a，则 v2212-h =700m-v=2ah由牛顿第二定律：mg 火 -F=ma解得 F=260N6 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3 双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成将两星视
12、为质点，不考虑其他天体的影响，A、 B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示引力常量为G，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T（ 1）可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA 可等效为位于 O 点处质量为 m的星体（视为质点）对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 m1、 m2，试求 m（用 m1、 m2 表示）；（2）求暗星 B 的质量 m2 与可见星 A 的速率 v、运行周期T 和质量 m1 之间的关系式；（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms 的2倍，它将有可能成为黑洞若可见星 A 的速率 v2.7 105 m/s ，运行周期 T
13、4.7 104s，质量 m1 6ms，试通过估算来判断暗星 B 有可能是黑洞吗？（ G 6.67 10112/kg2ms 2.0103kgN m?， ）【答案】（ 1） m m23m23v3Tm1 m22m1m222 G (3)有可能是黑洞【解析】试题分析：（ 1）设 A、B 圆轨道的半径分别为r1、 r2 ，由题意知， A、 B 的角速度相等，为0 ，有： FAm1 02r1 ， FBm2 02 r2 ，又 FAFB设 A、 B 之间的距离为 r，又 rr1r2由以上各式得，rm1m2 r1 m2由万有引力定律得FAG m1 m2r 2将 代入得 FAGm1m23m2r12m1令 FA Gm
14、1 m m23r12，比较可得 m m1m22m1mv2（2）由牛顿第二定律有：Gr12m1 r1又可见星的轨道半径r1vT2由得m23v3Tm1m222 G（3）将m16ms代入 m1m23v3T得m23v3Tm222 G22 G 6ms m2代入数据得m2323.5ms 6msm2m23nms 3.5ms设 m2nms，（ n 0）将其代入 式得，22m1m261n可见，m232 的值随 n 的增大而增大，令n=2 时得6msm2n2 ms0.125ms3.5ms61n要使式成立，则n必须大于2B的质量 m2 必须大于2m1 ，由此得出结论，暗，即暗星星 B 有可能是黑洞考点：考查了万有引
15、力定律的应用【名师点睛】本题计算量较大，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解，在万有引力这一块，设计的公式和物理量非常多，在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算7 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高为h ,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为R ,地面处的重力加速度为 g ,地球自转的周
16、期为 T 4 2( h R) 3【答案】 lgT【解析】【分析】【详解】设卫星周期为 T1 ,那么 :Mm4 2m( R h), G2T 2( R h)1又MmGR2mg , 由得2( h R) 3T1.Rg设卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长为l ,地球自转周期为T ,要使卫星在一天(地球自转周期)的时间内将赤道各处的情况全都拍摄下来,则Tl2R .T1所以2 RT14 2(h R)3lT.Tg【点睛】摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星周期；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间内，地球转过的圆心角，再根据
17、弧长与圆心角的关系求解82003 年 10 月 15 日，我国神舟五号载人飞船成功发射标志着我国的航天事业发展到了一个很高的水平飞船在绕地球飞行的第5 圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为 h 的圆形轨道已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g，引力常量为G，求：(1)地球的质量；(2)飞船在上述圆形轨道上运行的周期TgR 2(R h)3【答案】 (1) M(2) T 2GgR2【解析】【详解】Mm(1)根据在地面重力和万有引力相等，则有G R2mggR2解得： MG(2)设神舟五号飞船圆轨道的半径为r，则据题意有：rRhMm2飞船在轨道上飞行时，万有引力提供向心力有：Gm4rr2T2
18、3( Rh)解得： T29 已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，万有引力常量为G。求(1)地球的质量 M；(2)地球的第一宇宙速度v；(3)相对地球静止的同步卫星，其运行周期与地球的自转周期T 相同。求该卫星的轨道半径r。【答案】（ 1） MR2 g （ 2） gR（ 3） 3R2gT 2G4 2【解析】【详解】（1）对于地面上质量为m 的物体，有G MmmgR2R2 g解得MG（2）质量为m 的物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有G Mmm v2R2RGM解得vgRR（3）质量为m 的地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有GMmm4 2r2T2 r解得
19、r3GMT 23R2 gT 2224410 已知火星半径为R，火星表面重力加速度为g，万有引力常量为G，某人造卫星绕火星做匀速圆周运动，其轨道离火星表面高度等于火星半径R，忽略火星自转的影响。求：（1）火星的质量；（2）火星的第一宇宙速度；（3）人造卫星的运行周期。2gR （3） 4 R2【答案】（ 1） g R （ 2）Gg【解析】【详解】GMm（1）在火星表面，由万有引力等于重力得：2mgR2得火星的质量Mg R ；G（2）火星的第一宇宙速度即为近火卫星的运行速度，根据mg得 vgR ；（3）人造卫星绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得4R2联立得 T。g2m vR2GMm22m2R2RT