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1、高中物理万有引力定律的应用解题技巧及经典题型及练习题( 含答案 )一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用12018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018 ”例如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射 18 颗北斗三号卫星，为 “一带一路 ”沿线及周边国家提供服务北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图已知该卫星做匀速圆周运动的周期为 T，地球质量为 M、半径为 R，引力常量为 G（ 1）求静止轨道卫星的角速度；（ 2）求静止轨道卫星距离地面的高度h1；（ 3）北斗系统中的倾斜同步
2、卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是T，距离地面的高度为h2视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h1 和 h2 的大小，并说出你的理由【答案】（ 1） =23GMT 212；（ 2） h1 =4 2R （ 3） h = hT【解析】【分析】（ 1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度；（ 2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度；（ 3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度；【详解】（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度= 2TMm22（2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：G2= m( R h1 )( )(R
3、 h1 )T解得： h = 3GMT 2R124（ 3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心由于它的周期也是 T，根据牛顿运动定律，GMm2( Rh2 )=m(Rh2 )( 2 T) 2解得： h2 = 3 GMT 2R42因此 h1= h21）=2GMT2R （3） h1= h2故本题答案是：（；（ 2） h1 = 3T4 2【点睛】对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量2 土星是太阳系最大的行星，也是一个气态巨行星。图示为2017年7 月 13日
4、朱诺号飞行器近距离拍摄的土星表面的气体涡旋(大红斑)，假设朱诺号绕土星做匀速圆周运动，距离土星表面高度为h。土星视为球体，已知土星质量为M，半径为R，万有引力常量为G. 求：1 土星表面的重力加速度g；2 朱诺号的运行速度v；3 朱诺号的运行周期T。【答案】GMGMR h1 ?2 ?3 ?2 R hR2R hGM【解析】【分析】土星表面的重力等于万有引力可求得重力加速度；由万有引力提供向心力并分别用速度与周期表示向心力可求得速度与周期。【详解】Mm（1）土星表面的重力等于万有引力：G R2mg可得 gGMR2（2）由万有引力提供向心力：Mmmv2Gh)2Rh( R可得：GMvR h（3）由万有
5、引力提供向心力：GMmm Rh ( 2 )2( Rh) 2TRh可得： T2RhGM3 由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A、B、 C 三颗星体质量不相同时的一般情况）若 A 星体的质量为 2m， B、 C 两星体的质量均为 m，三角形的边长为 a，求：（ 1） A 星体所受合力的大小 FA；（ 2） B 星体所受合力的大小 FB；（ 3） C 星体的轨道半径 RC；（ 4）三星体做圆周运动的周期T【答案】 （1） 2 3 G
6、m2（ 2）7Gm2（ 3）7 a （ 4） T a3a2a24Gm【解析】【分析】【详解】（1）由万有引力定律，A 星体所受B、 C 星体引力大小为FR4G mA mBG 2m2FCA ,r 2a2则合力大小为2m（2）同上， B 星体所受 A、 C 星体引力大小分别为FABG mA mBG2m2r 2a2FCBmC mBGm2Ga2r 2则合力大小为FBxFAB cos60FCB2G m2a2FByFAB sin 603G m2a2可得FBFBx2FBy27G m2a2（3）通过分析可知，圆心O 在中垂线 AD 的中点，22RC3 a1 a7 a424（4）三星体运动周期相同，对C 星体，
7、由m22FCFB7Gm2a2RCT可得a2TGm24 木星的卫星之一叫艾奥，它上面的珞珈火山喷出的岩块初速度为v0 时，上升的最大高度可达 h已知艾奥的半径为R，引力常量为G，忽略艾奥的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力，求：（1）艾奥表面的重力加速度大小g 和艾奥的质量M；（ 2）距艾奥表面高度为 2R 处的重力加速度大小 g；（ 3）艾奥的第一宇宙速度 v【答案】（ 1） MR2v02；（ 2） g2hGv02；（ 3） v v0R18h2h【解析】【分析】【详解】（1）岩块做竖直上抛运动有02v02v02gh ，解得 g2h忽略艾奥的自转有GMmmg ，解得MR2 v02R22hG（
8、2）距艾奥表面高度为2R 处有GMm2 m g ，解得 g v02(R2R)18h3）某卫星在艾奥表面绕其做圆周运动时v2v0R（mg m ，解得 v2hR【点睛】在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式GMmv2m2rm4 2rma 在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后r2mT2r弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算5 某宇航员驾驶宇宙飞船到达某未知星球表面，他将一个物体以v010m/s 的速度从h10m 的高度水平抛出，测得落到星球表面A 时速度与水平地面的夹角为60 。已知该星球半径是地球半径的2 倍，
9、地球表面重力加速度g10m/s2 。则：（ 1）该星球表面的重力加速度g 是多少？（ 2）该星球的质量是地球的几倍？【答案】（ 1） g15m/s2 （ 2）星球质量是地球质量的6倍【解析】【详解】（1）星球表面平拋物体，水平方向匀速运动：vxv010m/s竖直方向自由落体v2g h (vy22 g h)y（或 vyg t ， h1 g t 2）2因为vytan3vx解得 g15m/s2（2）对地球表面的物体m ，其重力等于万有引力：M 地 mmgGR地 2对星球表面的物体m ，其重力等于万有引力：M 星 mmgGR星 2M 星M 地所以星球质量是地球质量的6 倍66 人类对未知事物的好奇和科
10、学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。(1)开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20 余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。(2)天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运
11、行的恒星组成的双星系统很普遍。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T，两颗恒星之间的距离为d，引力常量为G。求此双星系统的总质量。(3)北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，由全球 200 多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。同学们在查阅相关资料后知道：黑洞具有非常强的引力，即使以8310m/s 的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去。地球的逃逸速度是第一宇宙速度的2 倍，这个关系对于其他天体也是正确的。地球质量2422me =6.0 10kg，引力常量G= 6.67 101N?- m / kg。请你根据以上信息，利
12、用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）【答案】 (1)r 3Gms4 2 d 3-3T 24 2(2)2(3) 9 m10GT【解析】【详解】设太阳质量为ms，地球质量为me，地球绕太阳公转的半径为r太阳对地球的引力是地球做匀速圆周运动的向心力根据万有引力定律和牛顿运动定律G msme42mrr 2e T 2解得常量r 3GmsT 242设双星的质量分别为 m1、 m2 ，轨道半径分别为 r1、 r2 根据万有引力定律及牛顿运动定律m m4 2r
13、1G 1 22m12dTG m1m2m4 2rd 22T 22且有r1 +r2d双星总质量m总 =m1 m24 2d 3GT 2设地球质量为 me，地球半径为R。质量为 m 的物体在地球表面附近环绕地球飞行时，环绕速度为 v1由万有引力定律和牛顿第二定律Gm mv 2em 1R2R解得v1GmeR逃逸速度2Gmev2假如地球变为黑洞Rv2c代入数据解得地球半径的最大值-3R=9 10m7 如图所示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B 两者中心之间距离为 L已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线， A 和 B 分别在 O 的
14、两侧，引力常量为 G求：(1)A 星球做圆周运动的半径R 和 B 星球做圆周运动的半径r ；(2)两星球做圆周运动的周期MmL3【答案】 （1） R=L, r=L,（ 2） 2m Mm MG M m【解析】（ 1）令 A 星的轨道半径为 R， B 星的轨道半径为两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：可得 R M ，又因为 LRrrm所以可以解得：ML , rmL ；RMmMm（2）根据（ 1）可以得到 ： GmMm4 2L2T2 R42L32L3则： Tm GG mMMr，则由题意有LrRmM4 242GmRMrL2T2T2m 42MLT 2Mm点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两
15、颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径 8 我国航天事业的了令世界瞩目的成就，其中嫦娥三号探测器与2013 年 12 月 2 日凌晨 1点 30 分在四川省西昌卫星发射中心发射， 2013 年 12 月 6 日傍晚 17 点 53 分，嫦娥三号成功实施近月制动顺利进入环月轨道，它绕月球运行的轨道可近似看作圆周，如图所示，设嫦娥三号运行的轨道半径为r，周期为 T，月球半径为 R(1)嫦娥三号做匀速圆周运动的速度大小(2)月球表面的重力加速度(3)月球的第一宇宙速度多大【答案】 (1)2 r； (2)4 2r 3； (3)4 2 r 3TT 2 R2T 2 R【解析】【
16、详解】(1)嫦娥三号做匀速圆周运动线速度：2rvrT(2)由重力等于万有引力：GMmR2对于嫦娥三号由万有引力等于向心力：mgGMmm4 2rr 2T 2联立可得：4 2r 3gT 2 R2(3)第一宇宙速度为沿月表运动的速度：GMmmv2R2mgR可得月球的第一宇宙速度：42 r 3vgR2 RT9 双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动已知某双星系统中两颗星之间的距离为r，运行周期为T，引力常量为G，求两颗星的质量之和42r 3【答案】GT2【解析】【详解】对双星系统，角速度相同，则：G MmM2r1
17、 m 2r2r 2解得： Gm2r 2 r1 ； GM2 r 2 r2 ；其中21 2， r=r +r ；T42r 3三式联立解得：MmGT 210 阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题(1)以下是地球和太阳的有关数据(2)己知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为v 7.9km/s ，万有引力常量G6.67 l0113 1 28 1s，光速 C 3 ；m kg10ms(3)大约 200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球，直径为太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速（逃逸速度为第一宇宙速度的2 倍），这一奇怪的星体就叫作黑洞
18、在下列问题中，把星体（包括黑洞）看作是一个质量分布均匀的球体（的计算结果用科学计数法表达，且保留一位有效数字；的推导结论用字母表达）试估算地球的质量；试估算太阳表面的重力加速度；己知某星体演变为黑洞时的质量为M，求该星体演变为黑洞时的临界半径R241032（3）2GM【答案】 （1） 610 kg（ 2） 3m / sC2【解析】GM 地 m2(1)物体绕地球表面做匀速圆周运动R地2m vR解得： MR地 v2G 6 1024kg(2)在地球表面GM 地 mmg地R地2解得： g地GM 地R地2同理在太阳表面GM日g日R日22g日M 日R地2 g地3 103 m / s2M 地 R日(3)第一宇宙速度 GMmm v12R2R第二宇宙速度v2c2v12GM解得：RC 2【点睛 】本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速