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1、最新 料推荐第二节方阵的特征值与特征向量内容分布图示 特征值与特征向量的概念 例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 特征值与特征向量的性质( 1 ) 例 6 特征值与特征向量的性质( 2 ) 例 7 例 8 定理 1 例 9 例 10 例 11 内容小结 课堂练习 习题 4-2 返回内容要点 :一、特征值与特征向量定义 1设 A 是 n 阶方阵 , 如果数和 n 维非零向量X 使AXX成立 , 则称数为方阵 A 的特征值 , 非零向量X 称为 A 的对应于特征值的特征向量 （或称为 A 的属于特征值的特征向量）.注： 1.n 阶方阵 A 的特征值，就是使齐次线性方程组( EA) X0有非零解
2、的值 , 即满足方程|EA |0的都是矩阵 A 的特征值 .称关于的一元 n 次方程 |EA |0 为矩阵 A 的特征方程，称的一元 n 次多项式f ()| EA |为矩阵 A 的特征多项式 .根据上述定义，即可给出特征向量的求法：设 i 为方阵 A 的一个特征值，则由齐次线性方程组( i E A) X0可求得非零解 pi ，那么 pi 就是 A 的对应于特征值i 的特征向量， 且A 的对应于特征值i的特征向量全体是方程组(iE A) X 0 的全体非零解。即设p , p , p为 (iE A) X0的1 2s基础解系，则A 的对应于特征值i 的特征向量全体是pk1 p1k2 p2ks ps
3、( k1 , ks 不同时 0) .1最新 料推荐二、特征值与特征向量的性质性质 1n 阶矩阵 A 与它的转置矩阵AT 有相同的特征值 .性质 2设 A( aij) 是 n 阶矩阵，则a11a12a1nf ( )| EA |a21a 22a 2 nan1a n2a nnnnn 1( 1) k Sn k( 1) n | A |ai 1iik其中 Sk 是 A的全体 k 阶主子式的和 . 设1 , 2, ,n 是 A 的 n 个特征值，则由 n 次代数方程的根与系数的关系知，有(1)(2)12na11 a22ann ;12n | A |.其中 A 的全体特征值的和a11a22ann 称为矩阵 A
4、的迹 ,记为 tr ( A) .性质 3设 A( aij ) 是 n 阶矩阵 ,如果n(1)| aij|1 (i1,2, n)j1或n(2)| aij|1( j1,2, n)i 1有一个成立 , 则矩阵 A 的所有特征值i 的模小于 1,即 | i | 1(i 1,2, n)定理 1n 阶矩阵 A 的互不相等的特征值1 , ,m 对应的特征向量p1 , p 2 , , pm 线性无关 .注： 1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的;2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一 ;
5、一个特征向量不能属于不同的特征值.例题选讲：2最新 料推荐例 1(讲义例 1)求矩阵 A31的特征值和特征向量 .51211例 2(讲义例 2)设 A020, 求 A 的特征值与特征向量 .413a00例 3(讲义例 3)求 n 阶数量矩阵 A0a0的特征值与特征向量 .00aa11a12a1n例 4试求上三角阵A 的特征值 : A0a22a 2n.00ann例 5令 A1112, 则 A B2333.0, B212, AB2112例 6(讲义例 4)试证 : n 阶矩阵 A 是奇异矩阵的充分必要条件是A 有一个特征值为零 .注 :此例也可以叙述为：n 阶矩阵 A 可逆它的任一特征值不为零 .
6、例 7(讲义例 5)设是方阵 A 的特征值 ,证明(1)2 是 A2 的特征值 ;(2)当 A 可逆时 ,1是 A1 的特征值 .注：易进一步证明：若是 A 的特征值 ,则k 是 Ak 的特征值，() 是( A) 的特征值，其中 ( x) a 0 x na1 xn1a n1 xa n , 特别地 ,设特征多项式f () |EA |, 则 f ( ) 是f ( A) 的特征值 , 且A n( aa22ann) An 1( 1) n | A | E 0.11例 8(讲义例 6)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,1, 2 ,求 | A*3A2E |.111例 9 求 3 阶矩阵 A131 的特征值以及相应的线性无关的特征向量组.111例 10 (讲义例 7)设 1 和 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量依次为p1 和p2 , 证明 p1 p2 不是 A 的特征向量 .例 11(讲义例 8)正交矩阵的实特征值的绝对值为1.注 : A 的特征值是特征方程 | E A | 0 的根，也是 | AE | 0 的根 . A 的对应特征值3最新 料推荐的特征向量是齐次方程组( EA) X0 的非零解，也是( AE) X0 的非零解 .课堂练习31的特征值和特征向量 .1.求矩阵 A314602.求矩阵 A350的特征值与特征向量 .3614