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1、【物理】高考物理万有引力定律的应用专项训练100( 附答案 )一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1“嫦娥一号 ”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步已知“嫦娥一号 ”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H，飞行周期为T，月球的半径为R，引力常量为G求：(1) 嫦“娥一号 ”绕月飞行时的线速度大小；(2)月球的质量；(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大【答案】 （1） 2 RH（ 2） 4 2 R H32 R HR H（ 3）TGT 2TR【解析】（ 1） “嫦娥一号 ”绕月飞行时的线速度大小2(R H )v1T（ 2 ）
2、设月球质量为M “嫦娥一号 ”的质量为 mMm2H )根据牛二定律得 Gm4 (RT 2(R H )223解得 M4 (R H )GT 2（）设绕月飞船运行的线速度为Mm0V23V，飞船质量为 m0 ，则 G2m0又RR23M 4 (R 2 H ) GT联立得 V2 RHRHTR2如图所示 ,P、 Q 为某地区水平地面上的两点 ,在 P 点正下方一球形区域内储藏有石油 .假定区域周围岩石均匀分布 ,密度为 ;石油密度远小于 ,可将上述球形区域视为空腔 .如果没有这一空腔 ,则该地区重力加速度 (正常值 )沿竖直方向 ;当存在空腔时 ,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离 .重力加
3、速度在原竖直方向 (即 PO 方向 )上的投影相对于正常值的偏离叫做 “重力加速度反常”为.了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用 P 点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.(1)设球形空腔体积为 V,球心深度为 d(远小于地球半径 ), PQx, 求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常 ;(2)若在水平地面上半径为L 的范围内发现 :重力加速度反常值在与 k (k1)之间变化 ,且重力加速度反常的最大值出现在半径为L 的范围的中心 .如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的 ,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.【答案】 (1)G Vd(2) VL2 k.( d 2x2 )3/2
4、G( k 2/31)【解析】【详解】(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石 ,则该地区重力加速度便回到正常值.因此 ,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算,G Mm mgr 2式中 m 是 Q 点处某质点的质量,M 是填充后球形区域的质量 .M=V而 r 是球形空腔中心O 至 Q 点的距离 r=d 2x2 gQ点处重力加速度改变的大小Q点处重力加在数值上等于由于存在球形空腔所引起的?速度改变的方向沿OQ 方向 ,重力加速度反常g是这一改变在竖直方向上的投影dg= grGVd联立 式得g=22)3/2 (dx(2)由 式得 ,重力加速度反常g的最大值和最小值分别为(ma
5、x G Vg)=d 2(G Vdg)=( d 2L2 )3/2 min由题设有 (g) ,( ming=)max=k联立 式得 ,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为dLVL2 k.k 2/3G ( k2/311)3 对某行星的一颗卫星进行观测，运行的轨迹是半径为r 的圆周，周期为T，已知万有引力常量为G求：（ 1）该行星的质量（ 2）测得行星的半径为卫星轨道半径的十分之一，则此行星的表面重力加速度有多大？4 2 r 34002 r【答案】（ 1） M2（2） g2GTT【解析】（1）卫星围绕地球做匀速圆周运动，由地球对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力则有：Mm4 2，可得4 2r 3G
6、r 2m T 2rMGT 2（2）由GMmmg，则得： gGM400 2 r(1 2100T 2r )r2104 已知某半径与地球相等的星球的第一宇宙速度是地球的1倍地球表面的重力加速度2为 g 在这个星球上用细线把小球悬挂在墙壁上的钉子O 上，小球绕悬点O 在竖直平面内做圆周运动小球质量为m ，绳长为 L ，悬点距地面高度为H 小球运动至最低点时，绳恰被拉断，小球着地时水平位移为S 求：(1)星球表面的重力加速度？(2)细线刚被拉断时，小球抛出的速度多大？(3)细线所能承受的最大拉力？【答案】1s2 g0(3)T1s2(1) g星 = g0 (2) v04H1 mg04L42( H L) L
7、【解析】【分析】【详解】（1）由万有引力等于向心力可知G Mmm v2R2RG MmmgR2可得 gv2R则 g星 1 g0 4（2）由平抛运动的规律： HL1 g星t 22s v0t解得 vs2g004HL（3）由牛顿定律 ，在最低点时 ： Tmg星 m v2L解得 ： T1 12( Hs2mg04L )L【点睛】本题考查了万有引力定律、圆周运动和平抛运动的综合，联系三个问题的物理量是重力加速度 g0；知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律和圆周运动向心力的来源是解决本题的关键52019 年 3 月 3 日，中国探月工程总设计师吴伟仁宣布中国探月工程“三步走 ”即将收官，我国对月球的探
8、索将进人新的征程。若近似认为月球绕地球作匀速圆周运动，地球绕太阳也作匀速圆周运动，它们的绕行方向一致且轨道在同一平面内。(1)已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，月心地心间的距离为r，求月球绕地球一周的时间Tm；(2)如图是相继两次满月时，月球、地球和太阳相对位置的示意图。已知月球绕地球运动一周的时间 Tm27.4d，地球绕太阳运动的周期 Te 365d， 求地球上的观察者相继两次看到满月满月的时间间隔 t 。【答案】 (1) Tm 2r 3(2)29.6gR2【解析】【详解】（1）设地球的质量为M ，月球的质量为m，地球对月球的万有引力提供月球的向心力，则Mm22G2mrrTm地球
9、表面的物体受到的万有引力约等于重力，则GMm 0m0 gR2Tmr 3解得2gR2（2）相继两次满月有，月球绕地心转过的弧度比地球绕日心转过的弧度多2 ，即mt2et而2mTm2eTe解得t29.6天6 为了测量某行星的质量和半径,宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T,登陆舱在行星表面着陆后,用弹簧测力计称量一个质量为为 G.求该行星的半径R 和质量 M 。m 的砝码,读数为F. 已知引力常量【答案】；【解析】【详解】在星球表面时用弹簧测力计称量一个质量为m 的砝码,读数为F，则知登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T,则知结合以上两个公式可以求解出星球的半径为根据万有引力提供向心力
10、可求得解得：综上所述本题答案是：；【点睛】登陆舱在该行星表面做圆周运动,根据牛顿第二定律列式;在星球表面,用弹簧称称量一个质量为 m 的砝码读数为F,根据重力等于万有引力列式;联立求解出质量和半径;7 人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。(1)开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20 余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值
11、是一个常量。实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。(2)天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T，两颗恒星之间的距离为d，引力常量为G。求此双星系统的总质量。(3)北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，由全球 200 多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。同学们在查阅相关资料后知道：黑洞具有非常强的引力，即使以8310m/s
12、 的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去。地球的逃逸速度是第一宇宙速度的2 倍，这个关系对于其他天体也是正确的。地球质量2422me =6.0 10kg，引力常量G= 6.67 101N?- m / kg。请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）【答案】 (1)r 3Gms4 2 d 3-3T24 2 (2)GT 2(3) 9m10【解析】【详解】设太阳质量为ms，地球质量为me，地球绕太阳公转的半径为r太阳对地球的引力是地球做
13、匀速圆周运动的向心力根据万有引力定律和牛顿运动定律msmeme42GT 2rr 2解得常量r 3GmsT 242设双星的质量分别为 m1、 m2 ，轨道半径分别为r1、 r2根据万有引力定律及牛顿运动定律G m1m242mrd 21 T 21G m1m2m24 2r2d 2T 2且有r1 +r2d双星总质量m总 =m1 m24 2d 3GT 2设地球质量为 me，地球半径为R。质量为 m 的物体在地球表面附近环绕地球飞行时，环绕速度为 v1由万有引力定律和牛顿第二定律Gm mv 2em 1R2R解得Gmev1R逃逸速度2Gmev2R假如地球变为黑洞v2c代入数据解得地球半径的最大值-3R=9
14、10m82019 年 4 月 20 日 22 时 41 分，我国在西昌卫星发射中心用功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为“长征三号 ”乙运载火箭，成 r 的匀速圆周运动。卫星的质量为 m，地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为求：g，不计地球自转的影响。（ 1）卫星进入轨道后的加速度大小gr；（ 2）卫星的动能 Ek。【答案】（ 1） gR2（ 2） mgR2r 22r【解析】【详解】(1)设地球的质量为M，对在地球表面质量为m的物体，有：G Mm R2m g对卫星，有：GMmr 2mgrgR2解得： gr2r(2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：Mmv2
15、Gr 2m r卫星的动能为： Ek1 mv222解得： EkmgR9 我国在 2008 年 10 月 24 日发射了 “嫦娥一号 ”探月卫星同学们也对月球有了更多的关注(1)若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，月球绕地球运动的周期为 T，月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，试求月球绕地球运动的轨道半径(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0 竖直向上抛出一个小球，经过时间 t，小球落回抛出点已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M 月【答案】 (1) 3 gR2T 2 ； (2) 2v0 r 2 4 2Gt【解析】【详解】(1)设地球的质量为
16、M ，月球的质量为M 月 ，地球表面的物体质量为m ，月球绕地球运动的轨道半径 R ，根据万有引力定律提供向心力可得：MM 月M 月 ( 2 )2 RGR 2TmgG MmR2解得：R3gR2T 24 2(2)设月球表面处的重力加速度为g ，根据题意得：v0g t2m0 gGM 月m0r 2解得：2v0 r 2M 月Gt10 已知某行星半径为，以其第一宇宙速度运行的卫星的绕行周期为，该行星上发射的同步卫星的运行速度为.求（ 1）同步卫星距行星表面的高度为多少？（ 2）该行星的自转周期为多少？【答案】（ 1）（ 2）【解析】【分析】【详解】（1）设同步卫星距地面高度为，则：，以第一宇宙速度运行的卫星其轨道半径就是R，则联立解得：（2）行星自转周期等于同步卫星的运转周期