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1、高考物理万有引力与航天及其解题技巧及练习题( 含答案 )一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h.已知地球半径为R，地球自转角速度为0，地球表面的重力加速度为g，O 为地球中心(1)求卫星B 的运行周期(2)如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、 B 两卫星相距最近(O、B、 A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？(R + h)3t2【答案】 (1) TB = 2p(2)gR2gR2( Rh)30【解析】【详解】Mmm 42R h ， G Mm（1）由万有引力定律和向心力公式
2、得G22mg RhTBR2R3联立解得 ： TBh2R2 g（2）由题意得0 t 2 ，由得BgR2BR3ht2R2 g代入得30Rh2 宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示设这三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G， 则 :（1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少?（2）三角形三星系统中每颗
3、星做囿周运动的角速度为多少?L33Gm【答案】（ 1） 4（ 2）35GmL【解析】【分析】（ 1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期；（ 2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度；【详解】（ 1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：Gm2(2 L)2Gm2L2m( 2T2) LL3T45Gm（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗Gm2L星，满足：2m (2)2 cos30cos30L解得：=3GmL33 某星球半径为 R 6 106 m ，假设该星球表面上有一倾
4、角为30 的固定斜面体，一质量为 m 1kg 的小物块在力 F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F 始终与斜面平行，如图甲所示已知小物块和斜面间的动摩擦因数3 ，力 F 随位移 x 变化的规律3如图乙所示（取沿斜面向上为正方向）已知小物块运动12m时速度恰好为零，万有引力常量 G6.6710 11 N?m 2 /kg 2 ，求（计算结果均保留一位有效数字）（1）该星球表面上的重力加速度g 的大小；（2）该星球的平均密度【答案】 g 6m / s2 ，【解析】【分析】【详解】（1）对物块受力分析如图所示；假设该星球表面的重力加速度为g，根据动能定理，小物块在力F1 作用过程中有：F1s1fs1
5、mgs1 sin1mv202N mgcosfN小物块在力 F2 作用过程中有：F2s2fs2mgs2 sin01 mv22由题图可知： F1 15N， s16?m； F23?N， s2 6?m整理可以得到：(2)根据万有引力等于重力：，则：，代入数据得4 设地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响若把一质量为m 的物体放在地球表面的不同位置，由于地球自转，它对地面的压力会有所不同（1）若把物体放在北极的地表，求该物体对地表压力的大小F1；（2）若把物体放在赤道的地表，求该物体对地表压力的大小F2；（3）假设要发射一颗卫星，要求卫星定位
6、于第（2）问所述物体的上方，且与物体间距离始终不变，请说明该卫星的轨道特点并求出卫星距地面的高度hGMm（ 2）F2GMm4 23GMT2【答案】（ 1）R2R2m2 R （ 3） h4 2RT【解析】【详解】(1) 物体放在北极的地表，根据万有引力等于重力可得：G MmmgR2物体相对地心是静止的则有：F1mg ，因此有： F1G MmR2(2)放在赤道表面的物体相对地心做圆周运动，根据牛顿第二定律：GMmF2m4 2R22RT解得： F2Mm4 2RG2m2RT(3)为满足题目要求，该卫星的轨道平面必须在赤道平面内，且做圆周运动的周期等于地球自转周期 TMm4 2以卫星为研究对象，根据牛顿
7、第二定律：G2m 2 (R h)( R h)T解得卫星距地面的高度为：h3GMT 2R425 在月球表面上沿竖直方向以初速度v0 抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，已知该月球半径为R，万有引力常量为G，月球质量分布均匀。求：(1)月球的密度 ；(2)月球的第一宇宙速度。【答案】（ 1）3v0（ 2） v2v0RRGtt2【解析】【详解】(1) 根据竖直上抛运动的特点可知：v01 gt 022v0所以： g=tGMm设月球的半径为R,月球的质量为M, 则：mg体积与质量的关系：MV4R33联立得：3v02 RGt（ 2）由万有引力提供向心力得GMmm v2R2R解得 ; v2v0 Rt
8、综上所述本题答案是：（3v02v0 R1）（ 2） v2 RGtt【点睛】会利用万有引力定律提供向心力求中心天体的密度，并知道第一宇宙速度等于6 利用万有引力定律可以测量天体的质量（1）测地球的质量vgR 。英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”已知地球表面重力加速度为g，地球半径为 R，引力常量为G若忽略地球自转的影响，求地球的质量（2）测 “双星系统 ”的总质量所谓 “双星系统 ”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O 做匀速圆周运动的两个星球 A 和 B，如图所示已知A、 B 间距离为L， A、 B
9、 绕 O 点运动的周期均为T，引力常量为G，求 A、 B 的总质量（3）测月球的质量若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统 ”已知月球的公转周期为T1，月球、地球球心间的距离为L1你还可以利用（1）、（ 2）中提供的信息，求月球的质量【答案】（ 1） gR2；（ 2） 4 2 L3；（ 3） 42 L13gR2GGT 2GT12G【解析】【详解】（1）设地球的质量为M ，地球表面某物体质量为m，忽略地球自转的影响，则有G Mmmg 解得： M = gR2；R2G（ 2）设 A 的质量为 M 1，A 到 O 的距离为 r1，设 B 的质量为 M2 ，B 到 O 的距离为 r 2，根
10、据万有引力提供向心力公式得：G M 1M 2M 1( 2 )2 r1 ，L2TG M 1M 2M 2( 2 ) 2 r2 ，L2T又因为 L=r1+r2解得： M 1M 24 2 L3 ；GT 2（3）设月球质量为M3，由（ 2）可知， M 34 2L13MGT12由（ 1）可知， M = gR2G解得： M 342 L13gR2GT12G7 在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G 的数值，如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量 ”的实验，因为由 G 的数
11、值及其它已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、 m2 相距为 r 的两个小球之间引力的大小为 F，求万有引力常量 G；（ 2）若已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，万有引力常量为 G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式【答案】（ 1）万有引力常量为 GFr 2m1m2（2）地球质量为R2 g ，地球平均密度的表达式为3gG4 RG【解析】【分析】m1m2根据万有引力定律FGr 2，化简可得万有引力常量G；Mm在地球表面附近的物体受到重力等于万有引力G R2mg ，可以解得地球的质量
12、M，地球的体积为 V4R3 ，根据密度的定义M ，代入数据可以计算出地球平均密度3V【详解】（1）根据万有引力定律有：m1m2FGr 2解得：Fr 2Gm1m2（2）设地球质量为M，在地球表面任一物体质量为m，在地球表面附近满足：得地球的质量为：MMmGR2mgR2 gG地球的体积为：V4R33解得地球的密度为：3g4RGFr 2答：（ 1）万有引力常量为 Gm1m2（2）地球质量R2 g3gM，地球平均密度的表达式为G4RG8 假设月球半径为 R，月球表面的重力加速度为g0,如图所示， “嫦娥三号 ”飞船沿距月球表面高度为 3R 的圆形轨道运动，到达轨道的A 点，点火变轨进入椭圆轨道，到达轨
13、道的近月点B 再次点火进入近月轨道绕月球做圆周运动.(1)飞船在 A 点点火前的动能是Ek1 ，点火变轨进入椭圆轨道在A 点的动能是 Ek 2 ，试比较 Ek 1 和 Ek2 的大小；(2)求飞船在轨道跟轨道的线速度大小之比；(3)求飞船在轨道绕月球运动一周所需的时间【答案】（1） EkEk（ 2）2： 1（ 3）16R21g0【解析】【分析】【详解】（1）飞船在 A 点处点火时，是通过向行进方向喷火，做减速运动，向心进入椭圆轨道，所以点火瞬间是动能减小的，故Ek1Ek 2；（2）飞船在轨道、轨道都做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：Mmv2Gmr 2r解得： vGMr故飞船在轨道跟轨道
14、的线速度大小之比为v3r14R2v1r3R1（3）飞船在轨道绕月球运动，根据万有引力提供向心力得：GMmm4 2r2T2 r解得： Tr 32GM在月球表面有 ： G Mmmg0 ，解得： g0GMR2R24R3R故周期为T 2g0 R216g0【点睛】卫星变轨也就是近心运动或离心运动，根据提供的万有引力和所需的向心力关系确定 ，在月球表面，万有引力等于重力，在任意轨道，万有引力提供向心力，联立方程即可求解相应的物理量9 航天专家叶建培透露，中国将在2020 年发射火星探测器，次年登陆火星中国火星探测系统由环绕器和着陆巡视器组成环绕器环绕火星的运动可看作匀速圆周运动，它距火星表面的高度为 h，
15、火星半径为 R，引力常量为 G（ 1）着陆巡视器的主要功能为实现在火星表面开展巡视和科学探索着陆巡视器第一次落到火星时以 v0 的速度竖直弹起后经过 t 0 时间再次落回火星表面求火星的密度（ 2） “环绕器 ”绕火星运动的周期 T【答案】 （1）3v0（ 2）2 ( R h) ( R h)t0R2v02 RGt0【解析】gv02v0（1）根据竖直上抛运动的基本规律可知，火星表面重力加速度t 0t0 ；2根据火星表面万有引力等于重力得G Mm m g ，R2MM3v0火星密度V4，由解得R32；3RGt0（2）根据万有引力提供向心力公式得：GMmm 4 2(Rh)(R h)2T 2解得： T2
16、(Rh)32(R h)(Rh)t0gR2R2v010 如图所示，为发射卫星的轨道示意图先将卫星发射到半径为r 的圆轨道上，卫星做匀速圆周运动当卫星运动到A 点时，使卫星加速进入椭圆轨道沿椭圆轨道运动到远地点 B 时，再次改变卫星的速度，使卫星入半径为3r 0 的圆轨道做匀速圆周运动已知卫星在椭圆轨道时，距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上的A 点时的速度大小为 v，卫星的质量为m，地球的质量为M ，万有引力常量为G，则：(1)卫星在两个圆形轨道上的运行速度分别多大?(2)卫星在 B 点变速时增加了多少动能 ?【答案】（ 1）GM ，GM（2） GMmmv2r03r06r018【解析】【分析】【详解】（1）做匀速圆周运动的卫星，所受万有引力提供向心力，得：G Mmm v2，r 2r当 r=r0 时， v1=GM，r0当 r=3r0 时， v2=GM，3r0（2）设卫星在椭圆轨道远地点B 的速度为vB，据题意有： r0v=3r0vBBEk1212卫星在点变速时增加的动能为=2mv22mvB ，GMmmv2联立解得： Ek=6r018