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1、高考物理万有引力与航天解题技巧讲解及练习题( 含答案 )一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x 和落地时间为 R，己知万有引力常量为G，求：t，又已知该星球的半径（ 1）小球抛出的初速度 vo（ 2）该星球表面的重力加速度g（ 3）该星球的质量 M（ 4）该星球的第一宇宙速度 v（最后结果必须用题中己知物理量表示）【答案】 (1) v0=x/t(2) g=2h/t 2(3) 2hR2/(Gt 2) (4)2hRt【解析】（ 1）小球做平抛运动，在水平方向 ： x=v
2、t，解得从抛出到落地时间为： v0=x/t（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：1h= gt2，2解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t 2；（3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m，由万有引力等于物体的重力得：mg= G MmR2所以该星球的质量为：M= gR2= 2hR2/(Gt 2)；G（4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v，由牛顿第二定律得：G Mmm v2R2R重力等于万有引力，即mg= GMmR2，解得该星球的第一宇宙速度为：v2hRgRt2 如图所示是一种测量重力加速度g 的装置。在某星球上，将真空长直管沿竖直方向放置，管内小球以某一初速
3、度自 O 点竖直上抛，经 t 时间上升到最高点， OP 间的距离为 h，已知引力常量为 G， 星球的半径为 R；求：（ 1）该星球表面的重力加速度g；（ 2）该星球的质量 M；（ 3）该星球的第一宇宙速度 v1。2h（ 2）2hR22hR【答案】（ 1） gGt 2（3）t 2t【解析】（ 1）由竖直上抛运动规律得：t 上 =t 下=t由自由落体运动规律：h1gt 22g2ht 2（2）在地表附近： G MmmgR2MgR22hR2GGt 22（3）由万有引力提供卫星圆周运动向心力得：G Mmm v1R2RGM2hRv1Rt点睛：本题借助于竖直上抛求解重力加速度，并利用地球表面的重力与万有引力
4、的关系求星球的质量。3 如图所示，A 是地球的同步卫星另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内已知地球自转角速度为0 ，地球质量为M ， B 离地心距离为r ，万有引力常量为G， O 为地球中心，不考虑A 和B 之间的相互作用（图中R、h不是已知条件）（ 1）求卫星 A 的运行周期 TA（ 2）求 B 做圆周运动的周期 TB（3）如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B 两卫星相距最近（O、 B、 A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？2r3t2【答案】 （1） TA（ 2） TB2（ 3）GM0GMr30【解析】【分析】【详解】（1） A 的周期与地球自转周期相同
5、2TA0GMmm(2)2 r（2）设 B 的质量为 m， 对 B 由牛顿定律 :r 2TB解得： TBr 32GM（3） A、 B 再次相距最近时B 比 A 多转了一圈，则有： ( B0 ) t 2t2GM解得：0r 3点睛：本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用；第3 问是圆周运动的的追击问题，距离最近时两星转过的角度之差为2的整数倍 4“天宫一号 ”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形，2017 年 6 月，“神舟十号 ”与 “太空一号 ”成功对接现已知 “太空一号 ”飞行器在轨运行周期为 To，运
6、行速度为 v0 ，地球半径为 R，引力常量为 G.假设 “天宫一号 ”环绕地球做匀速圖周运动，求：1 “天宫号 ”的轨道高度h2 地球的质量 M v0T0Rv03T0【答案】 (1) h(2) M22 G【解析】【详解】(1) 设“天宫一号”的轨道半径为r，则有：2rh r Rv0“天宫一号”的轨道高度为：T0即为：hv0T0R2Mm4 2r(2) 对“天宫一号”有： G2m 2rT0所以有：Mv03T02 G【点睛】万有引力应用问题主要从以下两点入手：一是星表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力52004 年 1 月，我国月球探测计划“嫦娥工程 ”正式启动，从此科学家对月球的
7、探索越来越深入 .2007 年我国发射了 “嫦娥 1 号 ”探月卫星， 2010 年又发射了探月卫星“嫦娥二号”， 2013 年 “嫦娥三号 ”成功携带 “玉兔号月球车 ”登上月球 .已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为 g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动.万有引力常量为 G .（1）求出地球的质量；（2）求出月球绕地球运动的轨道半径；（3）若已知月球半径为r ，月球表面的重力加速度为g.当将来的嫦娥探测器登陆月球以6后，若要在月球上发射一颗月球的卫星，最小的发射速度为多少？【答案】 （1） gR2（ 2） 3 gR2T 2 （ 3）grG4 26【解
8、析】【详解】（1）在地球表面，由GMmR2解得地球的质量mggR 2MG（2）月球绕地球运动，万有引力提供向心力，则有GMm4m2 rr 2T2月球绕地球运动的轨道半径r3 GMT 23 gR2T 24242（3）在月球表面，则有g v2mm6r解得vgr66 已知地球质量为M，万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。忽略地球自转影响。（ 1）求地面附近的重力加速度g；（ 2）求地球的第一宇宙速度 v；（ 3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明。【答案】（ 1）gGM2 vGM3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质R2（ ）（R量，需要
9、知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。【解析】【详解】（1）设地球表面的物体质量为m , 有G MmmgR2解得gGMR2（2）设地球的近地卫星质量为m ，有G Mm2m vR2R解得GMvR（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。设太阳质量为M ，地球绕太阳运动的轨道半径为r、周期为T，根据 GM MM4 222 r 可知若知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量可求rT得太阳的质量。7 双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运
10、动已知某双星系统中两颗星之间的距离为 r，运行周期为 T，引力常量为 G，求两颗星的质量之和【答案】 42r 3GT 2【解析】【详解】对双星系统，角速度相同，则：G MmM2r1 m 2r2r 2解得： Gm2r 2 r1 ； GM2 r 2 r2 ；其中2， r=r1 2T+r ；三式联立解得： M42r 3mGT 28 宇航员乘坐宇宙飞船靠近某星球，首先在距离该星球球心r 的圆轨道上观察星球表面，他发现宇宙飞船无动力绕星球的周期为T；安全降落到星球表面后，他做了一个实验：如图所示，在倾角 30o 的斜面上，以一定的初速度 v0 沿水平方向抛出一个小物体，测得落点与抛出点间的距离为 L，已
11、知引力常量为 G。求：（ 1）该星球的质量 M；（ 2）该星球的半径 R。【答案】【解析】 （1）在半径为r 的圆轨道运动时，对宇宙飞船，根据向心力公式有解得：（2）设星球表面的加速度为g，平抛时间为t，有：解得：对星球表面物体有：解得：。点睛：此题是万有引力定律和平抛运动的结合题目，解题的关键是通过平抛运动问题求解星球表面的重力加速度，然后结合万有引力求解.9 人类总想追求更快的速度，继上海磁悬浮列车正式运营，又有人提出了新设想“高 速飞行列车 ”，并引起了热议 . 如图 1 所示， “高速飞行列车 ”拟通过搭建真空管道，让列车在管道中运行，利用低真空环境和超声速外形减小空气阻力，通过磁悬浮
12、减小摩擦阻力，最大时速可达4 千公里.我们可以用高中物理知识对相关问题做一些讨论，为计算方便，取“高速飞行列车 ”( 以下简称 “飞行列车 ”) 的最大速度为v1m1000m / s ；取上海磁悬浮列车的最大速度为 v2m100m / s ；参考上海磁悬浮列车的加速度，设“飞行列车 ”的最大加速度为a0.8m / s2 1 若 “飞行列车 ”在北京和昆明( 距离取为 L2000km) 之间运行，假设列车加速及减速 运动时，保持加速度大小为最大值，且功率足够大，求从北京直接到达昆明的最短运行时间 t2 列车高速运行时阻力主要来自于空气，因此我们采用以下简化模型进行估算：设列车所受阻力正比于空气密
13、度、列车迎风面积及列车相对空气运动速率的平方；“飞行列车 ”与上海磁悬浮列车都采用电磁驱动，可认为二者达到最大速度时功率相同，且外形相同. 在上述简化条件下，求在 “飞行列车 ”的真空轨道中空气的密度1 与磁悬浮列车运行环境中空气密度 2 的比值3 若设计一条线路让 “飞行列车 ”沿赤道穿过非洲大陆，如图2 所示，甲站在非洲大陆的 东海岸，乙站在非洲大陆的西海岸，分别将列车停靠在站台、从甲站驶向乙站( 以最大速度 ) 、从乙站驶向甲站 ( 以最大速度 ) 三种情况中，车内乘客对座椅压力的大小记为 F1 、 F2 、 F3 ，请通过必要的计算将F1 、 F2 、 F3 按大小排序 .( 已知地球
14、赤道长度约为 4 10 4 km ，一天的时间取 86000 s)【答案】 (1)3250m （ 2） 1/1000（ 3） F1F2 F3【解析】【分析】“飞行列车”先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，最后做匀减速直线运动，由运动学公式求出北京直接到达昆明的最短运行时间；匀速运行时，牵引力等于阻力f，列车所受阻力正比于空气密度、列车迎风面积及列车相对空气运动速率的平方，由功率公式得 P=kSv3m ，可求出在 “飞行列车 ”的真空轨道中空气的密度1 与磁悬浮列车运行环境中空气密度2 的比值；由牛顿第二定律求出车内乘客对座椅压力的大小解;(1)“飞行列车”以最大加速度a=0.8m/s 2 加速
15、到最大速度v1m=1000m/s 通过的距离v1m2625kmx02a因为 x0L所以列车加速到 v1 m 后保持一段匀速运动，最后以相同大小的加速度匀减速到2站停下，用时最短加速和减速阶段用时相等t加 =t 减 = v1m =1250sam匀速阶段用时为t匀 = L-2x 0 =750sv1m所以最短运行时间t=t加 +t 减 +t 匀 =3250s(2)列车功率为 P，以最大速度 vm 匀速运行时，牵引力等于阻力f，此时有 P=fv由题中简化条件可以写出：阻力f=k Sv m2，因此 P=k Sv3m飞行列车和磁悬浮列车功率P 相同；外形相同，所以迎风面积S 相同，因此二者运行环境中空气密
16、度之比为1v2m31(）2v1m1000(3)地球赤道上的物体因地球自转而具有一定的速度，其大小为v自 = 4 107m / s 463m / s86400三种情况中乘客相对地心的速度大小v 分别为：v1v自463m / sv2v1mv自537m / sv3v1mv自1463m / s设座椅与人之间的相互作用弹力大小为F，地球对人的万有引力为F 引 ，则：F引F m v2R所以 F1F2F310 宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行，已知飞船运行的周期为T，行星的平均密度为试证明（万有引力恒量G 为已知，是恒量）【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】设行星半径为R、质量为 M ，飞船在靠近行星表面附近的轨道上运行时，有即又行星密度将 代入 得证毕