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1、高考物理万有引力与航天试题经典一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h.已知地球半径为R，地球自转角速度为0，地球表面的重力加速度为g，O 为地球中心(1)求卫星B 的运行周期(2)如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、 B 两卫星相距最近(O、B、 A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？(R + h)3t2【答案】 (1) TB = 2p(2)gR2gR2( Rh)30【解析】【详解】Mmm 42R h ， G Mm（1）由万有引力定律和向心力公式得G22mg RhTBR2
2、R3联立解得 ： TBh2R2 g（2）由题意得0 t 2 ，由得BgR2BR3ht2R2 g代入得30Rh2 如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v0 抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的质量。2v0 tan2v0 R2tan【答案】 （1） g（2 ）tGt【解析】【分析】平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度；根据万有引力等于重力求出星球的质量；【详解】(1)根据平抛
3、运动知识可得y1 gt22gttanv0t2v0x2v0 tan解得 gtGMm(2)根据万有引力等于重力，则有R2mggR22v0 R2tan解得 MGGt3 中国计划在2017 年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v0 水平抛出一小球，测出水平射程为L（这时月球表面可以看作是平坦的），已知月球半径为R，万有引力常量为G，求：（1 ）月球表面处的重力加速度及月球的质量M 月 ；（2 ）如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为多大？（3 ）当着陆器绕距月球表面高H 的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期是多少?【答案】（ 1
4、）2hV02 R2V02hRL( R H )2(R H )MGL2（ 2）（ 3） ThLRV0【解析】【详解】（1）由平抛运动的规律可得：h1 gt 22Lv0t2hv02gL2由 GMm mg R22hv02 R2MGL2（ 2）GMRGv02hRv1LR（3）万有引力提供向心力，则GMm2m RH22TR H解得：L RH2 R HThRv04 我国发射的 “嫦娥三号 ”登月探测器靠近月球后，经过一系列过程，在离月球表面高为h处悬停，即相对月球静止关闭发动机后，探测器自由下落，落到月球表面时的速度大小为 v，已知万有引力常量为G，月球半径为R， hR ，忽略月球自转 ，求：（ 1）月球表
5、面的重力加速度 g0 ；（ 2）月球的质量 M；（ 3）假如你站在月球表面，将某小球水平抛出，你会发现，抛出时的速度越大，小球落回到月球表面的落点就越远所以，可以设想，如果速度足够大，小球就不再落回月球表面，它将绕月球做半径为R 的匀速圆周运动，成为月球的卫星则这个抛出速度v1 至少为多大？【答案】 （1） g0v2v2 R2v2 R（ 2） M（3） v12h2h2hG【解析】（1）根据自由落体运动规律v22g0h ，解得 g0v22h（2）在月球表面，设探测器的质量为m，万有引力等于重力， G Mmmg0，解得月球R2v2 R2质量 M2hG（3）设小球质量为m ，抛出时的速度 v1 即为
6、小球做圆周运动的环绕速度万有引力提供向心力Mm v12，解得小球速度至少为v1v2 RGm 2hR2R5 在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G 的数值，如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量 ”的实验，因为由 G 的数值及其它已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、 m2 相距为 r 的两个小球之间引力的大小为 F，求万有引力常量 G；（ 2）若已知地球半径为 R，地球表面重力
7、加速度为 g，万有引力常量为 G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式【答案】（ 1）万有引力常量为Fr 2Gm1m2（2）地球质量为R2 g ，地球平均密度的表达式为3gG4 RG【解析】【分析】根据万有引力定律FG m1m2，化简可得万有引力常量G；r 2在地球表面附近的物体受到重力等于万有引力G Mmmg ，可以解得地球的质量M，地R2球的体积为 V4R3 ，根据密度的定义M ，代入数据可以计算出地球平均密度3V【详解】（1）根据万有引力定律有：FGm1m2r 2解得：GFr 2m1m2（2）设地球质量为M，在地球表面任一物体质量为m，在地球表面附近满足：G Mmm
8、gR2得地球的质量为：MR2 gG地球的体积为：V4R33解得地球的密度为：3g4RG答：（ 1）万有引力常量为 GFr 2m1m2（2）地球质量R2 g3gM，地球平均密度的表达式为G4RG6 我国在 2008 年 10 月 24 日发射了 “嫦娥一号 ”探月卫星同学们也对月球有了更多的关注(1)若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，月球绕地球运动的周期为 T，月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，试求月球绕地球运动的轨道半径(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0 竖直向上抛出一个小球，经过时间 t，小球落回抛出点已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出
9、月球的质量M 月【答案】 (1) 3 gR2T 2 ； (2) 2v0 r 2 4 2Gt【解析】【详解】(1)设地球的质量为M ，月球的质量为M 月 ，地球表面的物体质量为m ，月球绕地球运动的轨道半径 R ，根据万有引力定律提供向心力可得：MM 月2 2GR 2M 月 ( T )RmgG MmR2解得：R3gR2T 242(2)设月球表面处的重力加速度为g ，根据题意得：g tv02GM月m0m0 g2r解得：2v0 r 2M 月Gt7 宇航员来到某星球表面做了如下实验：将一小钢球以v0 的初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升离抛出点的最大高度为h（ h 远小于星球半径），该星球为密度均匀的
10、球体，引力常量为 G，求：（ 1）求该星球表面的重力加速度；（ 2）若该星球的半径 R，忽略星球的自转，求该星球的密度【答案】（ 1）（2）【解析】（1）根据速度 - 位移公式得：，得（ 2）在星球表面附近的重力等于万有引力，有及联立解得星球密度8已知某行星半径为，以其第一宇宙速度运行的卫星的绕行周期为，该行星上发射的同步卫星的运行速度为.求（ 1）同步卫星距行星表面的高度为多少？（ 2）该行星的自转周期为多少？【答案】（ 1）（ 2）【解析】【分析】【详解】（1）设同步卫星距地面高度为，则：，以第一宇宙速度运行的卫星其轨道半径就是R，则联立解得：（2）行星自转周期等于同步卫星的运转周期9 人
11、类总想追求更快的速度，继上海磁悬浮列车正式运营，又有人提出了新设想“高 速飞行列车 ”，并引起了热议 . 如图 1 所示， “高速飞行列车 ”拟通过搭建真空管道，让列车在管道中运行，利用低真空环境和超声速外形减小空气阻力，通过磁悬浮减小摩擦阻力，最大时速可达 4 千公里 .我们可以用高中物理知识对相关问题做一些讨论，为计算方便，取“高速飞行列车 ”( 以下简称 “飞行列车 ”) 的最大速度为 v1m 1000m / s ；取上海磁悬浮列车的最大速度为 v2m 100m / s ；参考上海磁悬浮列车的加速度，设“飞行列车 ”的最大加速度为a 0.8m / s2 1 若 “飞行列车 ”在北京和昆明
12、( 距离取为 L2000km) 之间运行，假设列车加速及减速 运动时，保持加速度大小为最大值，且功率足够大，求从北京直接到达昆明的最短运行时间 t2 列车高速运行时阻力主要来自于空气，因此我们采用以下简化模型进行估算：设列车所受阻力正比于空气密度、列车迎风面积及列车相对空气运动速率的平方；“飞行列车 ”与上海磁悬浮列车都采用电磁驱动，可认为二者达到最大速度时功率相同，且外形相同. 在上述简化条件下，求在“飞行列车 ”的真空轨道中空气的密度1 与磁悬浮列车运行环境中空气密度2 的比值3 若设计一条线路让“飞行列车 ”沿赤道穿过非洲大陆，如图2 所示，甲站在非洲大陆的 东海岸，乙站在非洲大陆的西海
13、岸，分别将列车停靠在站台、从甲站驶向乙站( 以最大速度 ) 、从乙站驶向甲站( 以最大速度 ) 三种情况中，车内乘客对座椅压力的大小记为 F1 、 F2 、 F3 ，请通过必要的计算将F1 、 F2 、 F3 按大小排序 .( 已知地球赤道长度约为 4 10 4 km ，一天的时间取86000 s)【答案】(1)3250m（21/10003F2 F3）（ ） F1【解析】【分析】“飞行列车”先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，最后做匀减速直线运动，由运动学公式求出北京直接到达昆明的最短运行时间；匀速运行时，牵引力等于阻力f，列车所受阻力正比于空气密度、列车迎风面积及列车相对空气运动速率的平方，
14、由功率公式得 P=kSv3m ，可求出在 “飞行列车 ”的真空轨道中空气的密度1 与磁悬浮列车运行环境中空气密度2 的比值；由牛顿第二定律求出车内乘客对座椅压力的大小解;(1)“飞行列车”以最大加速度a=0.8m/s 2 加速到最大速度v1m=1000m/s 通过的距离v1m2x0625km2a因为 x0L所以列车加速到 v1 m 后保持一段匀速运动，最后以相同大小的加速度匀减速到2站停下，用时最短加速和减速阶段用时相等t加 =t 减 = v1m =1250sam匀速阶段用时为t匀 = L-2x 0 =750sv1m所以最短运行时间t=t加 +t 减 +t 匀 =3250s(2)列车功率为 P
15、，以最大速度 vm 匀速运行时，牵引力等于阻力f，此时有 P=fv由题中简化条件可以写出：阻力f=k Sv m2，因此 P=k Sv3m飞行列车和磁悬浮列车功率P 相同；外形相同，所以迎风面积S 相同，因此二者运行环境中空气密度之比为1(v2m 31）10002v1m(3)地球赤道上的物体因地球自转而具有一定的速度，其大小为v自 = 4 107m / s 463m / s86400三种情况中乘客相对地心的速度大小v 分别为：v1v自463m / sv2v1mv自537m / sv3v1mv自1463m / s设座椅与人之间的相互作用弹力大小为F，地球对人的万有引力为F 引 ，则：F引F m v
16、2R所以 F1F2F310 已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响（1）求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v1；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星运行半径r ；【答案】（ 1）gR （ 2）3 gR2T 24 2r【解析】试题分析：（ 1）地表的物体受到的万有引力与物体的重力近似相等即：GMm mgR2若发射成卫星在地表运动则卫星的重力提供向心力即：mg mv2R解得： vgRGMm242（2）由卫星所需的向心力由万有引力提供可得 m2 rrT又 GMm mgR222解得： r 3 gR T考点：万有引力定律的应用名师点睛：卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解