高考数学百大经典例题——球(新课标).docx

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1、最新 料推荐典型例题一例 已知地球的半径为R，球面上 A, B 两点都在北纬45圈上，它们的球面距离为R，13A 点在东经 30 上，求 B 点的位置及 A, B 两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度分析： 求点 B 的位置， 如图就是求AO1B 的大小， 只需求出弦 AB 的长度对于AB 应把它放在OAB 中求解，根据球面距离概念计算即可解： 如图，设球心为O ，北纬 45圈的中心为 O1，由 A, B 两点的球面距离为R ，所以 AOB =，33OAB 为等边三角形于是ABR 由 O1 AO1 BR cos452 R ，2O1 A2O1 B 2AB 2 即 AO1 B =2又 A点在东经

2、30上，故 B 的位置在东经120 ，北纬 45或者西经60 ，北纬 45 A, B 两点在其纬线圈上所对应的劣弧 O1 A2R 24说明： 此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案典型例题二例 2用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为r1 24cm ，r2 15cm 两截面间的距离为 d27cm ，求球的表面积分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形， 利用方程思想计算可得解： 设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A1B1, A2B2 ，上述大圆的垂直于A1 B1 的直径交A1 B1, A

3、2 B2 于 O1 ,O 2 ，如图 2- 1 -最新 料推荐d1d 227设 OO1d1 , OO2d2 ，则 d12242R 2，解得 R 25d22152R 2S圆4 R22500(cm2 ) 说明： 通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解典型例题三例3 自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MA, MB , MC ，求MA 2MB 2MC 2 的值分析： 此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之

4、相联解：以 MA, MB , MC 为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥 MABC 补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径MA 2MB 2MC 2 = (2R)24R 2 说明： 此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算典型例题四例 4试比较等体积的球与正方体的表面积的大小分析： 首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系解： 设球的半径为r ，正方体的棱长为a ，它们的体积均为V ，则由4r3V , r33V， r33Va3V , 得 a3V 4，由34S球4 r 24 (

5、3 3V ) 23 4 V 2 4S正方体6a26(3 V ) 263 V 23 216V 242163 4 V 23 216V 2 ，即 S球S正方体 说明： 突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计- 2 -最新 料推荐典型例题五例 5如图 1 所示，在棱长为1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切（1）求两球半径之和； （ 2）球的半径为多少时，两球体积之和最小分析： 此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图2 的截面图，在图2 中，观察 R 与 r 和棱长间的关

6、系即可解： 如图2，球心 O1和 O2 在 AC 上，过 O1 ， O 2分别作AD , BC 的垂线交于 E, F 图 1则由 AB1, AC3 得 AO13r ,CO23R rR3(rR)3 ，Rr333312图 2（ 1）设两球体积之和为V ，则V4(R3r3)4(r)(2Rrr2)33R R=43 3 (Rr ) 23rR433( 3 3 ) 23R(3 3R)323222= 4 3 3 3R 23(33) R ( 323 ) 2322当 R33当 Rr334时， V 有最小值4时，体积之和有最小值典型例题六例 6设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表

7、面积之比及体积之比分析： 此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的解： 如图，正四面体ABCD 的中心为 O ，BCD 的中心为 O1 ，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离- 3 -最新 料推荐设 OO1r ,OAR ，正四面体的一个面的面积为S 依题意得VA BCD1(r) ，3S R1又VVr SA BCD4 OBCD43R r4r 即 R 3r 内切球的表面积4 r21内切球的体积4r 31所以3外接球的表面积4 R 29427外接球的体积R33说明： 正四面体

8、与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径r1 h ( h 为正四面体的高 )，且外接球的半径 R3r 4典型例题七例 7把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离分析： 关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2解： 由题意，四球心组成棱长为2 的正四面体的四个顶点，则正四面体的高 h2 2(23 ) 22 633而第四个球的最高点到第四个球的球心距

9、离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为261，故第四个球的最高点与桌面的距离为23说明： 此类型题目对培养学生空间想象能力，并根据题意构造熟悉几何体都非常有帮助，且还可以适当增加一点实际背景，加强应用意识典型例题八例 8过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（）A有且只有一个B一个或无穷多个C无数个D以上均不正确分析： 对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B答案： B说明： 解此易选出错误判断A其原因是忽视球心的位置- 4 -最新 料推荐典型例题九例 9球面上有3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1 ，经过

10、3 个点的小圆的周长为 46，那么这个球的半径为（）A 4 3B 2 3C 2D 3分析： 利用球的概念性质和球面距离的知识求解设球的半径为R ，小圆的半径为 r ，则 2 r4， r 2 如 图 所 示 ， 设 三 点 A 、 B 、 C ， O 为 球 心 ，AOBBOCCOA2又 OA OB ，AOB 是等边三角形，同样，63BOC 、 COA都是等边三角形，得 ABC 为等边三角形， 边长等于球半径 R r 为 ABC的外接圆半径， r3 AB3R ， R3 r 2 3 333答案： B说明： 本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距

11、离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题典型例题十例 10半径为 R 的球内接一个各棱长都相等的四棱锥求该四棱锥的体积分析： 四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示解： 棱锥底面各边相等，底面是菱形棱锥侧棱都相等，- 5 -最新 料推荐侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥过该棱锥对角面作截面，设棱长为a ，则底面对角线AC2a ，故截面 SAC是等腰直角三角形又因为 SAC是球的大圆的内接三角形，所以AC 2R ，即 a2R 高 SO R

12、，体积V1底23 3S SOR3说明： 在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的对称截面（过棱锥顶点，底面中心，且与底面一边平行） ，可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形可见，解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长（或高或某个截面内的元素）与球半径的关系，再进一步求解典型例题十一例 11在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、 C ，如果 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直，且PA PBPCa 求这个球的表面积分析： S球面4 R2 ，因而求球的表面关键在于求

13、出球的半径R 解：设过 A 、 B 、 C 三点的球的截面半径为r ，球心到该圆面的距离为 d ，则 R2r 2d2 由题意知 P 、 A 、 B 、 C 四点不共面，因而是以这四个点为顶点的三棱锥P ABC （如图所示）ABC 的外接圆是球的截面圆由 PA、 PB 、 PC 互 相 垂 直 知 ， P 在 ABC 面上 的 射 影 O 是ABC 的 垂心 ， 又PA PBPCa ，所以 O 也是 ABC 的外心，所以ABC 为等边三角形，且边长为2a ， O 是其中心，- 6 -最新 料推荐从而也是截面圆的圆心据球的截面的性质，有OO 垂直于 O 所在平面，因 此 P 、 O 、 O 共 线

14、 ， 三 棱 锥 P A B C是 高 为 PO 的 球 内 接 正 三 棱 锥 ， 从 而d RPO 由已知得 r6 a ， PO 3 a，所以 R2r 2d 2r 2( R PO )2 ，可33求得 R3 a ， S球面4 R23 a2 2说明： 涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题，一般作其轴截面；涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题，一般过球心及多面体中特殊点或线作截面，把空间问题化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系典型例题十二例 12 已知棱长为 3 的正四面体 ABCD ，E 、 F 是棱 AB 、AC 上的点，且 AF 2FC ， BE 2AE 求四面体 AE

15、FD 的内切球半径和外接球半径分析： 可用何种法求内切球半径，把VD AEF 分成 4 个小体积 (如图 )解：设四面体 AEFD 内切球半径为r，球心 N ，外接球半径 R ，球心 M ，连结 NA 、NE 、NF 、 ND ，则 VAEFD VN AEFVNAFDVNADEVN EFD 四面体 AEFD 各面的面积为23， S AFD2S ABC33133S AEFS ABC32， S AEDS ABC9234DEF 各边边长分别为EF3 ， DFDE7 ， S DEF5 3 4 VADEF2 VABCD2，92- 7 -最新 料推荐1VAEFDr (S AEFS AFDS AEDS DE

16、F ) ，321 r ( 3 3 3 3 3 5 3 ) ，2322446 r8如图，AEF 是直角三角形，其个心是斜边AF 的中点 G 设ABC 中心为 O1 ，连结 DO1 ，过 G 作平面 AEF 的垂线， M 必在此垂线上，连结 GO1 、 MD MG平面 ABC ， DO1平面 ABC ， MG / DO1 ， MGGO1 在直角梯形 GO1DM中， GO1 1 ， DO16，MDR ， MGAM 2AG2R21 ，又 (DO1MG )2GO12MD 2 ， ( 6R2 1) 21 R2 ，解得：R102综上，四面体AEFD 的内切球半径为6，外接球半径为10 82说明： 求四面体外

17、接半径的关键是确定其球心对此多数同学束手无策，而这主要是因本题图形的背景较复杂若把该四面体单独移出，则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该三角形所在平面垂直的直线上，另还须注意其球心不一定在四面体内部本题在求四面体内切球半径时，将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径这样分割的思想方法应给予重视典型例题十三- 8 -最新 料推荐例 13 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为 r 的铁球， 这时水面恰好和球面相切 问将球从圆锥内取出后， 圆锥内水平面的高是多少？分析： 先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球

18、取出后，锥内下降部分 (圆台 )的体积等于球的体积，列式求解解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PCh ，球取出后，水面高 PH x AC3r ， PC3r，则以 AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥1AC 2PC31( 3r )23r3 r 3，3V球4r 3 3EF ，水的体积为球取出后，水面下降到V水1EH 2PH1(PH tan 30 ) 2 PH1x3 339又 V水V圆锥 V球 ，则 1x33 r 34r 3 ，93解得 x3 15 r 答：球取出后，圆锥内水平面高为3 15r 说明： 抓住水的何种不变这个关键，本题迅速获解典型例题十四例 14 球面上有三点A 、 B 、 C 组成

19、这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB18， BC24、 AC30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积分析： 求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC 是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式r 2R2d 2 求出球半径R 解： AB18 ， BC24， AC30，- 9 -最新 料推荐 AB2BC 2AC 2，ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形 ABC 的外接圆的半径为15 ，即截面圆的半径r15 ，又球心到截面的距离为d1 R ，( 1 R) 22 R2152 ，得 R 10 3 2球

20、的表面积为S 4R24 (103) 21200说明： 涉及到球的截面的问题，总是使用关系式rR2d 2 解题，我们可以通过两个量求第三个量， 也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量 例如，过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为60 ，若球半径为 R ，求弦 AB 的长度由条件可抓住A BCD 是正四面体， A 、 B 、 C 、 D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设 AB a ，则截面BCD 与球心的距离d6 aR ，过点 B 、 C 、 D 的截面圆半径3r3 a ，所以 (3 a) 2R2( 6 aR)2 得 a26 R 3333典型例题

21、十五例 15A 、 B 是半径为 R 的球 O 的球面上两点， 它们的球面距离为R ，求过 A 、 B 的2平面中，与球心的最大距离是多少？分析： A 、 B 是球面上两点，球面距离为R ，转化为球心角AOB，从而22AB2R ，由关系式 r 2R2d 2 ， r 越小， d 越大， r 是过 A 、 B 的球的截面圆的半径，所以 AB 为圆的直径， r最小解： 球面上 A 、 B 两点的球面的距离为2R AOB2， AB2R 当 AB 成为圆的直径时，r 取最小值，此时r1 AB2 R ， d 取最大值，22dR 2r 22R ，2即球心与过 A 、 B 的截面圆距离最大值为2 R 2- 1

22、0 -最新 料推荐说明：利用关系式 r 2R2d 2不仅可以知二求一， 而且可以借此分析截面的半径r 与球心到截面的距离 d 之间的变化规律此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角AOB 有关， 而球心角AOB又直接与 AB 长度发生联系， 这是使用或者求球面距离的一条基本线索，继续看下面的例子典型例题十六例 16正三棱锥的高为1，底面边长为2 6 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积分析： 球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径 R 这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等

23、体积法解决解：如图，球 O 是正三棱锥 PABC 的内切球， O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径 R PH 是正三棱锥的高，即PH1E 是 BC 边中点， H 在 AE 上，ABC 的边长为26， HE362 26 PE3可以得到 S PABS PACS PBC1 BC PE3 2 2S ABC3 (26 ) 2634由等体积法， VP ABCVO PABVOPACVO PBCVO ABC 16 3 113 2R31 6 3 R333得： R2362 ，332 球4R24(62)28(526) S- 11 -最新 料推荐 V球4R34( 6 2)3 33说明： 球心是决定球的位置关键点，本

24、题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径 R 来求出 R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法比如：四个半径为 R 的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是2R ，四个球心构成一个棱长为 2R 的正四面体，可以计算正四面体的高为62R2 6 R ，从而上面球离开桌面33的高度为 2R26 R 3典型例题十七例 17求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比分析： 首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系解： 如图，等边SAB为圆锥

25、的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD 1 ，截球面得球的大圆圆 O1 设球的半径 OO1R ，则它的外切圆柱的高为2R ，底面半径为R ；OBO1O cot 303R ，SOOB tan 603R 3 3R ， V球4R3 ， V柱R2 2R 2 R3 ，3V锥1( 3R) 23R 3 R3 ，3V球 469V柱V锥典型例题十八- 12 -最新 料推荐例 18正三棱锥 PABC 的侧棱长为 l ，两侧棱的夹角为2，求它的外接球的体积分析： 求球半径，是解本题的关键解：如图，作PD底面 ABC 于 D ，则 D 为正ABC 的中心 OD底面ABC ， O 、 P 、 D 三点共线 PAPBP

26、Cl ，APB 22222cos22 sinABlll AD3 AB2 3 sin ，33设 APD，作OEPA 于 E ，在 Rt APD 中， sinAD23 sin，PA3又 OPOAR ， PE1 PA1 l 22PEl在 Rt POE 中，2，R POcos14 sin 23l343l 334 sin 2 V球232(34 sin 214 sin 2)3说明： 解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系典型例题十九例19 在 球 心 同 侧 有 相 距 9cm 的 两 个 平 行 截 面 ， 它 们 的 面 积 分 别 为 49 cm2 和400 cm2 求球的表面积- 13 -最新 料推荐分析： 可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径解： 如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1/ BO2 ，且若 O1 、 O2 分别为两截面圆的圆心，则 OO1AO1 ， OO2BO2 设球的半径为R O2 B249， O2 B7( cm)同理O1 A2400， O1