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1、（物理）物理专题汇编物理万有引力与航天( 一)一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 如图所示，质量分别为m 和M的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L已知A、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在 O 的两侧，引力常量为G求：(1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ；(2)两星球做圆周运动的周期ML,r=mL,（ 2） 2L3【答案】 （1） R=m Mm MG M m【解析】（1）令 A 星的轨道半径为R， B 星的轨道半径为r，则由题意有 L r R两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：GmM
2、4 242L2mR2Mr2TT可得 R M ，又因为 LRrrm所以可以解得：ML , rmL ；RMmMm（2）根据（ 1）可以得到 ： GmM4242ML2m2 Rm2MLTTm42L32L3则： Tm GG mMM点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径 2 如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v0 抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的质量。2v0 tan2v0 R2t
3、an【答案】 （1） g（2 ）tGt【解析】【分析】平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度；根据万有引力等于重力求出星球的质量；【详解】(1)根据平抛运动知识可得y1 gt22gttanv0t2v0x2v0 tan解得 gtGMm(2)根据万有引力等于重力，则有R2mggR22v0 R2tan解得 MGGt3 我国航天事业的了令世界瞩目的成就，其中嫦娥三号探测器与2013 年 12 月 2 日凌晨 1点 30 分在四川省西昌卫星发射中心发射， 2013 年 12 月 6 日傍晚 17 点 53 分，嫦娥三号成功实施近月制动顺
4、利进入环月轨道，它绕月球运行的轨道可近似看作圆周，如图所示，设嫦娥三号运行的轨道半径为r，周期为 T，月球半径为 R(1)嫦娥三号做匀速圆周运动的速度大小(2)月球表面的重力加速度(3)月球的第一宇宙速度多大2 r4 2r 34 2 r 3【答案】 (1)T； (2)T 2 R2 ； (3)T 2 R【解析】【详解】(1)嫦娥三号做匀速圆周运动线速度：2rvrT(2)由重力等于万有引力：GMmR2mg对于嫦娥三号由万有引力等于向心力：GMmm4 2rr 2T 2联立可得：42r 3g2 R2T(3)第一宇宙速度为沿月表运动的速度：GMmmv2R2mgR可得月球的第一宇宙速度：4 2 r 3vg
5、RT 2 R4 在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G 的数值，如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量 ”的实验，因为由 G 的数值及其它已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、 m2 相距为 r 的两个小球之间引力的大小为 F，求万有引力常量 G；（ 2）若已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，万有引力常量为 G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达
6、式【答案】（ 1）万有引力常量为 GFr 2m1m2（2）地球质量为R2 g ，地球平均密度的表达式为3gG4 RG【解析】【分析】根据万有引力定律FG m1m2，化简可得万有引力常量G；r 2在地球表面附近的物体受到重力等于万有引力G Mmmg ，可以解得地球的质量M，地R2球的体积为 V4 R3 ，根据密度的定义M ，代入数据可以计算出地球平均密度3V【详解】（1）根据万有引力定律有：FG m1m2r 2解得：Fr 2Gm1m2（2）设地球质量为M，在地球表面任一物体质量为m，在地球表面附近满足：MmGR2mgR2 g得地球的质量为：MG地球的体积为：V4R33解得地球的密度为：3g4 R
7、G答：（ 1）万有引力常量为 GFr 2m1m2（2）地球质量R2 g，地球平均密度的表达式为3gMG4RG5 木星在太阳系的八大行星中质量最大，“1”“1”木卫是木星的一颗卫星，若已知木卫绕木星公转半径为r，公转周期为T，万有引力常量为G，木星的半径为R，求（ 1）木星的质量 M；（ 2）木星表面的重力加速度 g0 【答案】（ 1） 4 2r 3(2)4 2r 3GT 2T 2 R2【解析】(1)由万有引力提供向心力G Mmm( 2)2 rr 2T42r 3可得木星质量为 MGT 2(2)由木星表面万有引力等于重力： G Mmm g0R2木星的表面的重力加速度g042 r 3T2 R2【点睛
8、 】万有引力问题的运动，一般通过万有引力做向心力得到半径和周期、速度、角速度的关系，然后通过比较半径来求解6“场 ”是除实物以外物质存在的另一种形式，是物质的一种形态可以从力的角度和能量的角度来描述场反映场力性质的物理量是场强（1）真空中一个孤立的点电荷，电荷量为+Q，静电力常量为 k，推导距离点电荷 r 处的电场强度 E 的表达式（2）地球周围存在引力场，假设地球是一个密度均匀的球体，质量为M ，半径为 R，引力常量为 Ga请参考电场强度的定义，推导距离地心r 处（其中 r R）的引力场强度E 引 的表达式b理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零推导距离地心r 处（其中 rR
9、）的引力场强度 E 引 的表达式【答案】（ 1） EkQGMGMrr2 （ 2） a E引r2 b E引3R【解析】【详解】（1）由 EF， Fk qQ，得 EkQqr 2r 2（2） a类比电场强度定义，E引F万，由 F万GMm ，mr 2得 E引GMr 2b由于质量分布均匀的球壳对其内部的物体的引力为0，当 r R时，距地心 r 处的引力场强是由半径为r 的“地球 ”产生的设半径为 r 的“地球 ”质量为 M r，M r4M4 r 3r 3 MR33R33得E引GM rGMrr 2R37 阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题(1)以下是地球和太阳的有关数据(2)己知物体绕地球表面做匀
10、速圆周运动的速度为v 7.9km/s ，万有引力常量G6.67 l0113 1 28 1s，光速 C 3 ；m kg10ms(3)大约 200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球，直径为太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速（逃逸速度为第一宇宙速度的2 倍），这一奇怪的星体就叫作黑洞在下列问题中，把星体（包括黑洞）看作是一个质量分布均匀的球体（的计算结果用科学计数法表达，且保留一位有效数字；的推导结论用字母表达）试估算地球的质量；试估算太阳表面的重力加速度；己知某星体演变为黑洞时的质量为M，求该星体演变为黑洞时的临界半径R2432
11、2GM（3）【答案】 （1） 610 kg（ 2）310 m / s2C【解析】(1)物体绕地球表面做匀速圆周运动GM 地 mv2R地2mR解得：MR地 v2 61024kgGGM 地 m(2)在地球表面R地2mg地GM 地解得：g地R地2GM日同理在太阳表面g日R日22g日M 日R地2g地 3 103 m / s2M 地 R日2(3)第一宇宙速度GMmm v1R2R第二宇宙速度v2c2v12GM解得：RC 2【点睛 】本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速8 假设月球半径为 R，月球表面的重力
12、加速度为g0,如图所示， “嫦娥三号 ”飞船沿距月球表面高度为 3R 的圆形轨道运动，到达轨道的A 点，点火变轨进入椭圆轨道，到达轨道的近月点B 再次点火进入近月轨道绕月球做圆周运动.(1)飞船在 A 点点火前的动能是Ek1 ，点火变轨进入椭圆轨道在A 点的动能是 Ek 2 ，试比较 Ek 1 和 Ek2 的大小；(2)求飞船在轨道跟轨道的线速度大小之比；(3)求飞船在轨道绕月球运动一周所需的时间【答案】 （1） Ek1 Ek2（ 2）2： 1（ 3） 16Rg0【解析】【分析】【详解】（1）飞船在 A 点处点火时，是通过向行进方向喷火，做减速运动，向心进入椭圆轨道，所以点火瞬间是动能减小的，
13、故Ek1Ek 2 ；（2）飞船在轨道、轨道都做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：Mmv2Gmr 2r解得： vGMrv3r14R2故飞船在轨道跟轨道的线速度大小之比为r3R1v1（3）飞船在轨道绕月球运动，根据万有引力提供向心力得：Mm4 2Gr 2m T 2 r解得： Tr 32GM在月球表面有 ： G Mmmg0 ，解得： g0 GMR2R23R4R故周期为 T 216g0 R2g0【点睛】卫星变轨也就是近心运动或离心运动，根据提供的万有引力和所需的向心力关系确定 ，在月球表面，万有引力等于重力，在任意轨道，万有引力提供向心力，联立方程即可求解相应的物理量92019 年 1月 3日
14、10 时 26分，嫦娥四号探测器自主着陆在月球背面南极-艾特肯盆地内的冯 卡门撞击坑内，实现人类探测器首次在月球背面软着陆。设搭载探测器的轨道舱绕月球运行半径为r，月球表面重力加速度为g，月球半径为R，引力常量为G，求：（1）月球的质量M 和平均密度 ；（2）轨道舱绕月球的速度v 和周期 T.【答案】（ 1） MgR2，3g（2） vgR2， T2r 32G4 RGrgR【解析】【详解】（1）在月球表面：m0 gGMm0gR 22，则 MRG月球的密度：MgR2/ 4R33gVG34 GR（2）轨道舱绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供：Mmv2Gr 2m r解得： vgR2r2 r2r 3
15、TgR2v10 一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以v0 的初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x，又已知该星球的半径为R，己知万有引力常量为G，求：(1)、该星球表面的重力加速度g(2)、该星球的质量M(3)、该星球的第一宇宙速度v(最后结果必须用题中己知物理量表示)2h 2hv02（ 2） MgR22hv02 R 2(3) vgRv02hR【答案】（ 1） gx2GGx 2xt 2【解析】（1）小球做平抛运动时在水平方有x v0 t得小球从抛出到落地时间为：txv0小球做平抛运动时在竖直方向上有：h-R1 gt 22得该星球表面的重力加速度为：2h2R 2 h R v02g2x2t（2）设地球的质量为M，静止在地面上的物体质量为mGMm由万有引力等于物体的重力得：mgR2所以该星球的质量为：gR22 h R v 02R 2MGx 2G(3) 设有一颗质量为 m的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v，则有GMmmv2mgRR2故该星球的第一宇宙速度为： vgRv02 h R Rx点睛：运用平抛运动规律求出小球从抛出到落地的时间和星球表面重力加速度；根据万有引力等于物体的重力求解星球的质量；忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解天体质量