高考理科立体几何大题.docx

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1、最新 料推荐 一，2017 山东济南调研 如图， 在三棱柱ABC A1B1C1 中，AA1C1C是边长为 4 的正方形平面 ABC平面 AA1C1C， AB3， BC 5.(1) 求证： AA1平面 ABC；(2) 求二面角 A1 BC1 B1 的余弦值；(3) 在线段1 上是否存在点，使得 1 ？若存在，试求出BD的值BCDAD A BBC1(1) 证明 在正方形 AA1C1C中， A1AAC.又平面 ABC平面 AA1C1C，且平面 ABC平面 AA1C1C AC， AA1? 平面 AA1C1C. AA1平面 ABC.(2) 解 由 (1) 知， AA1AC， AA1 AB，由题意知，在A

2、BC中， AC 4， AB 3， BC 5，222 BC AC AB， AB AC.以 A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A xyz .A1(0,0,4)， B(0,3,0)， C1(4,0,4)， B1(0,3,4)，于是 A1 C1 (4,0,0)， A1B (0,3 ， 4) ，B1C1 (4 ， 3,0) ，BB1 (0,0,4)设平面 A1BC1 的法向量 n1 ( x1， y1， z1) ，1最新 料推荐 平面 B1BC1 的法向量 n2 ( x2， y2， z2) A C n 0，4x 0，1111?3y1 4 1 0，z11 0A B n取向量 n1 (0,4,3)1 1

3、2 0，4x2 3 2 0，由B C n?y4z 0，2BB1 n2 0取向量 n (3,4,0)2 cos n1n21616|n |n| .552512由题图可判断二面角A1 BC1 B1 为锐角，16故二面角 A1 BC1 B1 的余弦值为 25.(3) 解 假设存在点 D( x， y， z) 是线段 BC1 上一点，使 AD A1B，且 BD BC1， ( x，y 3， z) (4 ， 3,4) ，解得 x 4 ， y 3 3， z 4 ， AD (4 ， 3 3 ， 4 ) 又 AD A1B， 03(3 3) 16 0，9解得 25，9 25 0,1 ，在线段 BC1 上存在点 D，使

4、得 AD A1B，BD9此时.BC125二，如图，在四棱锥P ABCD中，已知 PA平面 ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABC BAD 2 ， PA AD 2，AB BC 1.2最新 料推荐 (1) 求平面 PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值；(2) 点 Q是线段 BP上的动点，当直线CQ与 DP所成的角最小时，求线段BQ的长 解 以 AB，AD， AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则各点的坐标为B(1,0,0)， C(1,1,0)， D(0,2,0)，P(0,0,2)(1) 由题意知， AD平面 PAB，所以 AD是平面 PAB的一个法向量，AD (0,2

5、,0)因为 PC (1,1 ， 2) ， PD(0,2 ， 2) 设平面 PCD的法向量为m ( x， y， z) ，则 mPC 0， mPD 0，x 2 0，yz即2y 2z 0.令 y1，解得 z 1， x1.所以 m (1,1,1)是平面 PCD的一个法向量AD m3从而 cos AD，m 3 ，| AD| m|3最新 料推荐 3所以平面 PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值为3 .(2) 因为 BP ( 1,0,2) ， 设 BQ BP ( ， 0,2 )(0 1) ，又 CB (0 ， 1,0) ，则 CQCB BQ ( ， 1,2 ) ，又 DP (0 ， 2,2)，1 2从而

6、cos CQ，DPCQ DP.210 2| CQ|DP|设 12 t ，t 1,3，2t 22， 则 cos 2CQ DP5t 10t 9291 5 22010.9 t 9 992103当且仅当 t 5，即 5时， |cos CQ， DP | 的最大值为10 .因为 y cosx 在0，2上是减函数，所以此时直线CQ与 DP所成角取得最小值又因为 BP12 225，2 2 5所以 BQ 5BP 5 .三，2016 浙江卷 如图，在三棱台 ABC DEF中，平面 BCFE平面 ABC， ACB90，BE EF FC 1， BC 2， AC3.4最新 料推荐 (1) 求证： BF平面 ACFD；(

7、2) 求二面角 B AD F 的平面角的余弦值(1) 证明 延长 AD， BE， CF相交于一点 K，如图所示因为平面 BCFE平面 ABC，平面 BCFE平面 ABC BC，且 ACBC，所以 AC平面 BCK，因此 BF AC.又 EFBC， BE EF FC1， BC2，所以 BCK为等边三角形，且F 为 CK的中点，则 BF CK，又 AC CK C，所以 BF平面 ACFD.(2) 解解法一：过点F作 于，连接.FQ AKQBQ因为 BF平面 ACK，所以 BF AK，则 AK平面 BQF，所以 BQAK.所以 BQF是二面角 B AD F 的平面角在 Rt ACK中， AC 3，C

8、K 2，得3 13 AK 13， FQ 13 .在 Rt BQF中， FQ 3 13， BF 3，得133cos BQF 4 .3所以二面角BAD F 的平面角的余弦值为4 .解法二：如图，延长AD，BE， CF相交于一点K，则 BCK为等边三角形5最新 料推荐 取 BC的中点 O，连接 KO，则 KOBC，又平面 BCFE平面 ABC，所以 KO平面 ABC.以点 O为原点，分别以射线OB， OK的方向为x 轴、 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O xyz .由题意，得B(1,0,0) ， C( 1,0,0)， K(0,0 ，3) ， A( 1， 3， 0)， E1， 0，3，2213F

9、 2， 0， 2 .因此， AC (0,3,0)， AK (1,3 ，3) ，AB (2,3,0)设平面 ACK的法向量为m ( x1， y1， z1) ，平面 ABK的法向量为n ( x2， y2， z2) 3y 0，AC m 0，1由得x1 3y1 3z1 0，AK m 0，取 m ( 3， 0， 1) ； ，22 3 2 0，xyAB n0由得x2 3y2 3z2 0， 0，AK n取 n (3 ， 2， 3) mn3于是 cos m，n |m|n | 4 .所以二面角 BAD F 的平面角的余弦值为34 .6最新 料推荐 四， 2016 河南九校联考 ( 本小题满分 15 分 ) 如图

10、，在四棱锥 P ABCD中， PA平面ABCD， ADBC， ADCD，且 AD CD 2 2， BC4 2，PA 2，点 M在 PD上(1) 求证： AB PC；(2) 若二面角 M AC D的大小为 45，求 BM与平面 PAC所成角的正弦值解 (1) 证明：取 BC中点 E，连接 AE，则 ADEC，AD EC，所以四边形 AECD为平行四边形，故 AE BC，又 AE BEEC 22，所以 ABC ACB45，故 ABAC，又 AB PA，AC PA A，所以 AB平面 PAC， (4 分 )故有 AB PC.(6 分 )(2) 如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)， B

11、(22， 22， 0) ，C(22， 22， 0) ， P(0,0,2)，D(0,22， 0) (7 分 )设 PM PD (0,22 ， 2 )(0 1) ，易得 M(0,22 ， 2 2 ) ，设平面 AMC的一个法向量为n1 ( x， y， z) ，2x2 2y 0，n AC21则22z0，12nAMy2令 y 2，得 x 2， z 1，1 2，2， 2， (9 分)即 n 1又平面的一个法向量为2 (0,0,1)， (10 分 )ACDn7最新 料推荐 2|cos n ， n | | n1n2| 1cos45，| n1| n2| 2 2124 11解得 ， (12 分 )2即 M(0

12、， 2， 1) ， BM ( 2 2， 3 2，1) ，2， 22，0) 是平面 PAC的一个法向量， (13分)而 AB (2设直线与平面所成的角为 ，BMPAC则 sin |cos | 812|53，| .BM AB943 3故直线 BM与平面 PAC所成的角的正弦值为53.(15 分 )9五 2016 平顶山二调 ( 本小题满分 15分 ) 在正三角形中， 、 、P分别是、ABCE FABAC、BC边上的点，满足 AE EBCF FA CP PB1 2，如图 1. 将 AEF沿 EF折起到 A1EF 的位置，使二面角 A1EF B 成直二面角，连接 A1B、 A1P，如图 2.(1) 求

13、证： A1E平面 BEP；(2) 求二面角 B A1P E的余弦值解 不妨设正三角形 ABC的边长为 3.(1) 证明：在图 1 中，取 BE的中点 D，连接 DF. AEEB CFFA 1 2， AFAD 2，而 A60， ADF是正三角形又 AE DE 1， EF AD.在图 2 中， A1E EF， BEEF， A1EB为二面角 A1 EF B的平面角 (4 分 )由题设条件知此二面角为直二面角，A1E BE.又 BE EF E， A1E平面 BEF，即 A1E平面 BEP.(6 分 )(2) 建立分别以 EB、EF、EA1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系， 则 E(

14、0,0,0) ，1(0,0,1)， (2,0,0)， (0 ，3， 0) ， (1 ，3， 0) ，则 (0,0(2,0 ，1， 1) ， 1ABFPA EA B8最新 料推荐 1) ，BP ( 1，3， 0) ， PE ( 1，3， 0) (8 分 )设平面 A1BP的法向量为n1 ( x1， y1， z1) ，由 n1平面 A1BP知， n1 A1B， n1BP，2x1 z1 0，即 x1 3y10.令 x13，得 y11， z1 23， n1 (3， 1,23) (10 分 )设平面1的法向量为2 (2，2，2) A PEnxyz由 n2平面 A1PE知， n2 A1E， n2PE，即可

15、得 n2 (3， 1,0) (12 分 )n1n2cos n1，n2 | n1| n2|3 323012222 ， (14 分 )233243 10 11所以二面角BA1P E 的余弦值是 4.(15分 )六2016 江苏高考( 本小题满分20 分) 现需要设计一个仓库， 它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 PA1B1 C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCD A1B1C1 D1 ( 如图所示 ) ，并要求正四棱柱的高 O1O是正四棱锥的高 PO1的 4 倍(1) 若 AB 6 m， PO1 2 m，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容

16、积最大？解 (1) 由 PO1 2 知 O1O 4PO18.(1 分 )11因为 A B AB 6，12123所以正四棱锥P A1B1C1D1 的体积 V 锥 3 A1B1 PO1362 24(m ) (4分 )正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的体积 V223分 )柱 AB O1O 68 288(m ) (7所以仓库的容积V V 锥 V 柱 24 288 312(m3) (8 分 )9最新 料推荐 (2) 设 A B a m， PO h m，则 0h6，OO 4h. 如图，连接 OB.(10分 )111111因为在 Rt POB222中， OB PO PB，111111所以22a 2 h

17、236，即 a22(36 h2 ) (12分 )于是仓库的容积柱V锥 24 12 13226(36 3) ，0 6， (15 分 )V Vah3a h3 a h3h hh2622从而 V 3 (36 3h ) 26(12 h ) (17 分 )令 V 0，得 h 2 3 或 h 2 3( 舍 ) 当 0h0， V 是单调递增函数；当 2 3h6 时， V0， V 是单调递减函数故 h2 3时， V 取得极大值，也是最大值因此，当 PO 1 23 m 时，仓库的容积最大(20 分 )七 2016 北京高考( 本小题满分20 分 ) 如图，在四棱锥P ABCD中，平面 PAD平面 ABCD， PA

18、 PD， PA PD， AB AD， AB 1， AD 2， ACCD 5.(1) 求证： PD平面 PAB；(2) 求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值；(3) 在棱 PA上是否存在点M，使得 BM平面 PCD？若存在，求AM的值；若不存在，说明AP理由解(1) 证明：因为平面PAD平面 ABCD，AB AD，10最新 料推荐 所以 AB平面 PAD， (3 分)所以 AB PD.又 PA PD，所以 PD平面 PAB.(6 分 )(2) 取 AD的中点 O，连接 PO， CO.因为 PA PD，所以 PO AD.因为 PO? 平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD，所以 PO平面 A

19、BCD.(8分)因为 CO? 平面 ABCD，所以 PO CO.因为 AC CD，所以 CO AD.如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得， A(0,1,0)， B(1,1,0)，C(2,0,0)， D(0 ， 1,0) ，P(0,0,1) (10 分 )设平面 PCD的法向量为n ( x， y， z) ，则n PD 0， y z 0，即2x z 0，n PC 0，令z2，则x1， 2. 所以 (1 ， 2,2) (12 分 )yn3又， 1) ，所以 cosn，nPB (1,1.(14 分 )PBPB3| n| PB|所以直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值为33 .(15 分)(3)

20、设 M是棱 PA上一点，则存在 0,1 ，使得 AM AP.因此点 M(0,1 ， ) ，(16 分 )BM ( 1， ， ) 因为 BM?平面 PCD，所以要使BM平面 PCD，则 BMn 0， (18 分 )1即 ( 1， ， ) (1 ， 2,2) 0，解得 4.所以在棱 PA上存在点 M，使得 BM平面 PCD，11最新 料推荐 AM 1此时 .(20分)AP4八2016 天津高考 ( 本小题满分 20 分) 如图，正方形 ABCD的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF平面 ABCD，点 G为 AB的中点， ABBE 2.(1) 求证： EG平面 ADF；(2) 求二面

21、角 O EF C的正弦值；2(3) 设 H为线段 AF上的点，且AH3HF，求直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值解依题意， OF平面 ABCD，如图，以O为原点，分别以AD，BA，OF的方向为 x 轴、 y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 依题意可得 O(0,0,0) ，A( 1,1,0) ，B( 1，1,0) ， C(1 ， 1,0) ， D(1,1,0) ， E( 1， 1,2) ， F(0,0,2) ， G( 1,0,0) (2 分 )(1) 证明：依题意， AD (2,0,0) ，AF (1 ， 1,2) 设 n1 ( x， y， z) 为平面 ADF的法2 0，1 0，nA

22、D即x， (5 分)向量，则不防设 z 1，可得 n (0,2,1)1x y 2z0.1n AF 0，12最新 料推荐 又 EG (0,1 ， 2) ，可得 EG n1 0，又直线 EG?平面 ADF，所以 EG平面 ADF.(7 分)(2) 易证， OA ( 1,1,0) 为平面 OEF的一个法向量 (8 分 )依题意， EF (1,1,0)，CF ( 1,1,2)n2EF 0，设 n2 ( x， y， z) 为平面 CEF的法向量，则n2CF 0，x y 0，即不妨设 x 1，可得 n2 (1 ， 1,1) (11 分 ) x y 2z 0. ，6， (13 分 )因此有 cos 2OA

23、n2OA n3| OA|n2|于是 sin ，23.OA n3所以二面角 OEF C的正弦值为33 .(14分 )22 2224(3) 由 AH3HF，得 AH5AF. 因为 AF (1 ， 1,2) ，所以 AH 5AF，5，进而55334有 H 5， 5， 5 ， (17 分 ) 2 8 4从而 BH 5， 5， 5 ， ，因此 cos 2 BHn27.(19分 )BH n21| BH| n |2所以，直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值为721 .(20分 )九2017 河北五校联考( 本小题满分20 分 ) 如图 1所示，在四边形 ABCD中，AB CD， 2 2 8， ，为的中点将

24、四边形沿折起， 使平面平面AB BC CDCD BC OABOBCDODOBCDODA，如图 2，点 E，F 分别为CD， OA的中点13最新 料推荐 (1) 求证： DF平面 AEB；6(2) 线段 AD上是否存在一点 M，使 BM与平面 AEB所成角的正弦值为 18 ？若存在，请求DM出的值；若不存在，请说明理由MA解 (1) 证明：如图，取 AB的中点 G，连接 FG， EG.又 F 为 OA的中点，所以FG OB，又 OB DE，所以 FG DE.11又 FG 2OB， DE 2OB，所以 FG DE.(3 分 )所以四边形EDFG为平行四边形，所以DFEG.又 EG? 平面 AEB， DF?平面 AEB，所以 DF平面 AEB.(7 分 )(2) 依题意知平面 OBCD平面 ODA，OB OD，平面 OBCD平面 ODA OD，所以 OB平面 AOD，得 OB OA.14最新 料推荐 又 ，故以O为坐标原点， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如AO ODOD OA OB图所示的空间直角坐标系(10 分 )易知 AO OD 4， DC 4，可得 A(0,4,0)，E(4,0,2)， B(0,0,4)，D(4,0,0)所以 AE (4 ， 4,2) ，AB (0 ， 4,4) 设平面 AEB的法向量为n ( a， b， c) ，