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1、最新 料推荐例题2 1 体心立方和面心立方点阵的倒易点阵证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵证明 选体心立方点阵的初基矢量如图18 所示，a1a?2xyza2a?2xyza3a?2xyz其中 a 是立方晶胞边长，? ? ?x, y, z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。初基晶胞体积 Vca1 a2a31a32根据式 (21)计算倒易点阵矢量b12a2a3, b222Vca3 a1, b3a1 a2VcVc?xyzVcb1aaaa2?2a2 a3222xy2aaa222?xyzVcb2a3aaaa2?2a1222yz2aaa222?xyzVcaaa
2、a2?b3a1a2?222z x22aaa2221最新 料推荐于是有：b12? ?2?2?ax y ,b2ay z? , b3az? x显然 b1, b2 ,b3 正是面心立方点阵的初基矢量， 故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a 同理，对面心立方点阵写出初基矢量a1a?2xya2a?2yza3a?2zx如图 1.10 所示。初基晶胞体积 Vc a1a2a31 a3 。4根据式 (21)计算倒易点阵矢量b12?2?2? ?ax y z? , b2ax y z? ,b3ax y z?显然，b1, b2 , b3 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方
3、点阵，其立方晶胞边长是4a 2 2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是32 / Vc ，这里 Vc 是晶体点阵初基晶胞的体积； (b)证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身证明 (a)倒易点阵初基晶胞体积为b1b2b3 ，现计算 b1b2b3 由式 (2 1)知，b12a2 a3, b22a3 a1, b32 a1 a2VcVcVc此处Vca1a2a3而2最新 料推荐22b2 b32a1a1a22a1 a2a1a3 a1 a1 a2a3a3VcVc这里引用了公式：ABC DA BD CAB C D 。由于 a3a1a10 ，故有2b2 b32a1a2 a1a3Vc而Vca3a1a2故有2b2b
4、32a1Vc2233b1b22a1a1a22b3b12a3VcVcVc或写成32b1b2b3a1a2a33倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的2倍。(b) 现要证明晶体点阵初基矢量 a1, a2 , a3 满足关系a1b2 b3, a2b3 b1,a3b1 b2222b1 b2 b3b1 b2 b3b1 b2 b3有前面知：2b2 b32a1Vcb2b3221令 c1 2b1 b2 b32Vca1 b1 b2 b3又知 b1b2 b3123 ，代入上式得：Vc3最新 料推荐3Vcc12a1a1Vc32同理c22b3b1a2b1 b2 b3c3 2b1 b2a3b2 b3b1可见，倒
5、易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身2 3面间距考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl) ，(a) 证明倒易点阵矢量G hklhb1kb2 lb3 垂直于这组平面 (hkl) ；(b)证明两个相邻的点阵平面间的距离 d(hkl) 为：2d hklG hkl(c) 证明对初基矢量 a1 , a2 ,a3 互相正交的晶体点阵，有d hkl1222hkla1a2a3(d) 证明对简单立方点阵有d hklak 2l 2h2证明(a) 参看图 2 3，在平面族 (hkl) 中，距原点最近的点阵平面 ABC 在三个晶轴上的截距分别是 a1 h ,a2 k , a3 l 现要证明 G(hkl) 垂直于 ABC
6、，只需证明 G(hkl) 垂直于平面 ABC 上的两个矢量 CA 和 CB 即可4最新 料推荐CAa1a3 ， CB a2 a3hlkl用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2 2)，立即可得G hkl CAhb1kb2 lb3a1a3hb1a1lb3a30hlhl同理， G hklCB0故 G(hkl) 垂直于点阵平面 (hkl) (b) 点阵平面 (hkl) 的面间距 d(hkl) 为a1G hkla1 hb1kb2 lb32d hkl OA n?G hklhG hklG hklh(c) 如果晶体点阵的初基矢量 a1, a2 , a3 彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交设b
7、b x?,b2b y?, b3b z?3112由倒易点阵基矢的定义b12a2a32a3 a1,b32a2Vc, b2a1VcVc及Vca1 a2 a得3b12 a1 , b22 a2 , b32 a3h2k 2l 2222Ghklhb12222hklkb2lb32a12a22a322a2a3a15最新 料推荐于是面间距为d21hkl222G hklhkla1a2a3(d)对立方晶系中的简单立方点阵，a1 a2 a3a ，用 (c)的结果可得dhklak 2l 2h224 二维倒易点阵一个二维晶体点阵由边长AB 4，AC=3，夹角 BAC 3的平行四边形 ABCD 重复而成，试求倒易点阵的初基矢
8、量解解法之一参看图 24，晶体点阵初基矢量为a14x?3?3 3 ?a2xy22用正交关系式 (22)求出倒易点阵初基矢量b1 ,b2 。设bb x?by? bbx? by?11x1y, 22 x2 y由 b1 a12 , b1 a20, b2 a10, b2 a2 2得到下面四个方程式?(1)4xb1 xxb1y y 26最新 料推荐3 ?33 ?0(2)x2yb1x xb1y y24x?b2x x?b2 y y?0(3)3 ?33 ?2(4)x2yb2 x xb2 y y2由式(1)得：4b1 x2,b1x2由式(2)得： 3 b1 x33 b1y0 ，即 333 b1 y 022222解
9、得：b1y23由式(3)得：4b2 x0, b2 x0代入式(4)得：33242b2y,b2 y33于是得出倒易点阵基矢b1?4?2x23y, b233y解法之二选取 a3 为 z?方向的单位矢量，即令a3z?于是初基晶胞体积 Vc 为4?3 ?3 3 ? 6 3Vc a1 a2 a3xxy z22倒易点阵基矢为b12a323 ?3 3 ?a26xyzxyVc3 2222 3b22a14?a33yVc37最新 料推荐b32a22 ?a1zVc对二维点阵，仅取x?, y?两个方向，于是得b1?4?x3y, b23y2232 5简单六角点阵的倒易点阵简单六角点阵的初基矢量可以取为3?a?3?a?a
10、1a x,a2a x,a322y2ycz2(a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为2c和 43a ，并且相对于正点阵转动了30角；(b)当比率 ca 取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?如果正点阵的 c a 比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少 ?(c)绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积解(a)选取简单六角点阵的初基矢量如图25 所示a13? a?3 ?a?axy, a2axy, a3cz2222初基晶胞体积为8最新 料推荐Vc a3a1a23 a2 c2倒易点阵初基矢量为?xyz2a223aaa2?2?b1a32223axayVcVc00c?
11、2xyz222?b2a3 a100c3axayVcVca3a022?xyzb32a223aa02?a1Vc22czVc3aa022或写为4?3 ?4?3 ?2?b1x,b2x3a2y3a2y , b3cz22同正点阵初基矢量3?3 ?a1yayax, a2x, a3cz2222比较看出， b1,b2 ,b3 所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为2c 和43a ，并相对于正点阵绕c 转动了 30 角(见图 2 6)。9最新 料推荐(b)设倒易点阵的点阵常数比为c a，出 (a)可知24a3c a3ac2c若 c ac a ，则有 c2 a23 , c a30.93122故当正点阵的 c a
12、值为3 时，倒易点阵的 c a和正点阵的 c a 有相同值。2若正点阵 ca8 ，则倒易点阵的 ca 为3c a3 a c0.532故当正点阵的 ca 为理想值时，倒易点阵的这个比值为0.53(c)简单六角点阵的第一布里渊区即倒易简单六角点阵的WS 晶胞显然为一六角正棱柱 (如图 27)，其体积为23316Vc3a2 c即倒易简单六角点阵初基晶胞的体积为163b1 b2 b32c3a10最新 料推荐26底心正交点阵的倒易点阵证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵证明 底心正交点阵的惯用晶胞如图28 所示选取初基矢量为?1?1?a1 ax, a22ax2by, a3cz初基晶胞体积为abcV
13、c2倒易点阵基矢为b12a321 ?1 ? ,b22a14?,2a22?a2xya3by b3a1czVcabVcVc由图 29 可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为4a,4b ,2c 。27 三角点阵的倒易点阵三角点阵初基矢量具有相等长度a，彼此夹角为 ，试证明三角点阵的倒易点阵仍为三角点阵，且倒易点阵初基矢量的长度为a 。a21 212cos cosa其中是倒易点阵初基矢量间的夹角，满足11最新 料推荐*-coscos(1+cos)证明 三角点阵三个初基矢量的大小相等，且彼此夹角亦相等现令初基矢量为a1?axa2a cos?asin?(1)xycos?cos?cos?a
14、3axayaz参见图 2.10， cos,cos,cos是 a3 在 x、y、z 三个方向的方向余弦。由a3a1cosa2得coscos(2)由a3a2cosa2得coscos1 cos(3)sin于是有cos21 cos21 2cos1cos2cos21 2(4)1sin212最新 料推荐由倒易点阵基矢的定义可知b1, b2 , b3 分别垂直于正点阵初基晶胞的a2a3 , a3a1 , a1a2 平面，且有相同长度，b1b2b3baa2a2 sin(5)Vc将3Vcaaaaaa s ian c o s(6)123312代入上式得a2a2sin21(7)a3 sincosa cosb1 ,
15、b2 , b3 彼此间应有相间夹角设 b1, b2 间的夹角为，cosb1b2a2122cosa2a3a3a1a 2Vc利用公式ABCB CACABABCC A BA B C上式化为c o sa2a3a3a1a2 a3 a3 a1a22 a1 a3 c o s42421 c o sa s i na s i n(8)同理可以证明 b1, b2 ,b3 任意二矢量间的夹角均为此值。为了计算 a ，利用式 (4)得到cos21 cos21 221 2cos1cos211 2sin22cos1 2cos cos1 cos代入式 (7)得212cos cos1 2(9)aa13最新 料推荐2.8 点阵平
16、面上的阵点密度(a) 证明点阵平面上的阵点密度 （单位面积上的阵点数）d Vc ，这里 Vc 是初基晶胞的体积， d 是该点阵平面所属的平面族中相邻两点阵平面之间的距离；(b) 证明面心立方点阵阵点密度最大的平面是 111面，体心立方点阵阵点密度最大的平面是 110面证明 (a) 考虑晶体点阵中相邻二平行点阵平面所构成的平行六面体，如图2 11所示设该平行六面体中包含n 个阵点，它的体积为VnVc或写为VAd其中 A 是所考虑的平行六面体底面的面积，d 是它的高由以上二式得AdnVc于是点阵平面上的密度为n d A Vc(b) 由(a)可知，面间距 d 较大的点阵平面也有较大的阵点密度由倒易点
17、阵矢量与面间距 d 的关系2G hkld hkl可知，倒易点阵矢量G(hkl)越短，与之垂直的点阵平面(hkl)两点密度也就越大面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，其初基矢量b12?axyzb22x?y?z?ab32?z?axy都是最短的倒易点阵矢量， b1 b2b3 ，并都在立方晶胞的 方向，故11114最新 料推荐平面有最大的阵点密度体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，其初基矢量b12x?y?ab22?z?ayb32x?z?a也都是最短的倒易点阵矢量，并都沿立方晶胞的110方向，故 110 平面是体心立方点阵阵点密度最大的平面29单斜点阵的面间距已知平面族 (hkl) 的面间距与倒易点
18、阵矢量G(hkl)间的关系为d hkl2G hkl其中 Ghkl hb1kb2lb3 ，试证明单斜点阵的面间距 d(hkl) 由下式决定11h2l 22hl cosk 2d 2 hklsin2a12a32a1a3a22其中 a1, a2 ,a3 是单斜点阵惯用晶胞的三个边长，为 a1 , a3 间的夹角，90 （参看图 2.12）证明：单斜点阵惯用晶脑的几何特征是90 ,90 , a1a2a3初基晶胞的体积为15最新 料推荐Vca2a3a1a1a2 a3 sin(hkl)平面族的面间距为2d hklG hkl要计算 d(hkl) ，除了计算各倒易点阵基矢的长度外，还要求出它们之间的标量积，由倒
19、易点阵基矢的定义2a2a32b1Vca1 sin2a3a12b2Vca22a1a22b3Vca3 sin此外，有42 a a a a4 2 a1 a2a2 a342cosb3b11223V2V2a a sin2cc13b1b2b2b30代入 d(hkl) 的表达式中得42421d2hkl222sin2hl2hl coska12a32a1a3a2211h2l 22hl cosk 2d 2hklsin2a12a32a1a3a222 10外斯晶带定律属于同一晶带的晶面彼此的交线相互平行，这些平行的晶棱的共同方向称为晶带轴的方向，试证明，(a) 晶带轴 uvw与该晶带中的平面 (hkl)满足关系uhvkwl0(b) 证明晶面 ( h1k1l1 )， ( h2 k2l2 )， ( h3k3l 3 ) 属于同一晶带的条件是16最新 料推荐h1k1l1h2k2l20h3k3l3证明(a) 以晶面指数 (hkl) 为指数的倒易点阵矢量 G(hkl) 是与晶面垂直的最短倒易点阵矢量，于是Gh k l1h b2 k b 3 l b必定在晶面 (hkl