《洛伦兹变换的详细推导.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《洛伦兹变换的详细推导.docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、洛伦兹变换的详细推导作者：日期：?第三节洛伦兹变换式教学内容： . 洛伦兹变换式的推导 ;2. 狭义相对论的时空观 :同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓 ; 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。基本要求 :1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导 ; . 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。三、洛伦兹坐标变换的推导xvtx1v c 2yyzztvx c2t1v c 2或xvtx1v c 2yyzztvx c2t1v c 2据狭义相对论的两个基本假设 来推导洛仑兹变换式。1. 时空坐标间的变换关系作为一
2、条公 设 ,我们认为时间和空间都 是均匀的，因此时空坐标间的 变换必须是线性的。对于任意事件 P 在 S 系和S系中的时空坐标 (,z，)、(x， ，z， ),因 S 相对于 S 以平行于 x 轴的速度 v 作匀速运动 ,显然有 = y， = z。在 S 系中观 察 系 的 原点 ,x 0;在 S系中观察该点 ,x= -v,即 xv= 0。因 此 x + vt。在 任意的一个空间点上，可以设 :x= k（ x vt）， 是 比例常数 。同样地可得到： x= k（ x-）= k(x+ ( ）t）根据相对性原理,惯性系 S 系和系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号 )，所以 k= k。
3、2. 由光速不变原理可求出常数 k设光信号在系和 系的原点重合的瞬时从重合点沿 x 轴前进，那么在任一瞬时 t（或 ） ,光信号到达点在 S 系和 S系中的坐标分别是 :ct,x= ct,则：xx c2ttk 2x vt x vtk 2 ct vt ct vtk 2ttc2v2kc1c2v21 v c 2由此得到。x vtxvtxv c 2x2这样 ,就得到11v c,。 由上面二式 ,消去 x得到tvx c2tvx c2tv c 2t211v c;若消去 x 得到，综合以上结果,就得到洛仑兹变换 ,或洛仑兹反变换xx vtxxvt1212v cv cyyyyzzzzttvx c2ttvx c
4、21212v cv c可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。3. 讨论（ 1）可以证明 ,在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的 ,而牛顿力学定律则要改变 。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象 ,故它有一定的适用范围。(2）当 |v/c|1 时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形 低速极限。, , 是事件的时空坐标在不同惯 , ,系根根据洛仑兹变换 以得到狭义相对论的速度变换公。设设物体在、系系系 的的速分 为， d ， u,，中的坐标分别是 :ct,x= ct1则 dxuxxc2tv u
5、d v dt v c1 1x dt dt 2 2tvk 2dd vvvvxvcv dcc t c 1由此 dt 到x。 :xxvtvc1vv c2c1 1 2此 dt :就得到,2dt 因 dt dt vudt 1消去 xvu vuyvx yxtx y =t221v1v y则结即;若消去 x 得到dy vuvx2d dt dydt 即 ,v或 21ccvuvu vuvuvu。:x式1v :2y:z:t: vx : :v :21x uxx1变换为：兹、的、接结果、 1cv vuyx 、1cv z2vczxuu v2z21c c1v2、论（ 2、 z、 。讨 讨论）当速度、远远小 c光速时时即即在
6、非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式 vc为 vc vc 。 （利利利用速度 ,换公式可可证明光速在任 ccc系中 ccc : : 设设系系中观察者测得沿方方方向传播的一光信号的光速为 在在系系中的观察者测得该光信号的速度为情：得 vc vc vc vc vcP P P P P P P P P P ;AABA(地地面上）的观察者 ,为与光相向运动、反反 ) 与与与与光同向运动所所 光先到 到达，不同时达 。 u,，中的坐标分别是 :ct,x= ct1则 dxuxPtuS Pdt PcP1 dt P2 P tvkdvvxyzz1t 1tx y 1标为： vx， yxy，v
7、c1ytx z1 2： y，,:，因 dt dt ， dt 1消在 22，在vvx t ctt xttvttv 1 ct若消去 x 得到1 v t 2和 和和和（在-S1系为：可即 ,v 或 21c2vuvu vuvuvu。 tS，它们,x时x、12c1v ,v zy,2vz,czt,vx , ,zxuu v222,v , , ,11c c变换为：兹、的、接结果、 1cv vuy1v2、论（ 2、 z、 。讨 讨论）当速度、远远小 c光速时时即即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式 vc为 vc vc 。 （利利利用速度 ,换公式可可证明光速在任 ccc系中 ccc
8、: : 设设系系中观察者测得沿方方方向传播的一光信号的光速为 在在系系中的观察者测得该光信号的速度为情：得 vc vc vc vc vcP P P P P P P P P P ;AABA(地地面上，则 ：）与光相向运）、） 1 ）这就 同时的对 。 （ ）在系 : 中同 :生，即，即， x且 在 xxx x生 x 2x1则 dxuxPt2 t1， 12 12 x 即即 1P ttt t xx vt0ttxxvxxvxc t t 1 事 v，事， vxx,，ScS, x z即 x事即 ，,:,v系t ctt ttctt生先SSt，如人则则由得即 v 因 1vvt因得vuvuvu。x间后到 xxx
9、,11 因uvx ttx2vc（ uxcvccv ctzvvc12 2 v。（ （上上述情况是相对的。同理在 , , , , 的两,也同时同地点 生。事事tS刻在处处的质点ttx会, vuv2,1,c事 , 在在系系看 同样也是不同时的 。（ （）当时、远回回 t光速时时即即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式 vc为 vc vc 。 （利利利用速度 ,换公式可可证明光速在任 ccc系中 ccc : : 设设系系中观察者测得沿方方方向传播的一光信号的光速为 在在系系中的观察者测得该光信号的速度为情：得 vc vc vc vc vc(假假假设一刚性棒静止 SSxx2。
10、在在 。在 在系系中 t时 测测测相向运 。 由 : 伦兹坐标变换式得）这就 ，时的即 。 即 即vt，得， vvt ， 1xvt， vt得，即， x且 在 vxvxx生 v2x1即即2cxx x xv tx即 xv xxc1 1 21即t xvtt0,0，事，即 c),tx间后到 xxx,( (事 v,物Sv1, , ,1,11: 1倍倍。 。 生。 事事系 , ,tl t l,lSSS刻在处处的质点tt，如人 生先则则由得即 v即1vll因得vuvuvu。1,因lx会l, tPPv,x2,clc由 (SuSv22z,c2 2 v vc11,c。（ （上上述情况是相对的。同理在 , , ,
11、, 的两,事 , 在在系系看 同样也是不同时的 。（ （）当时、远回回 t光速时时即即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式 vc为 vc vc 。 （利利利用速度 ,换公式可可证明光速在任 ccc系中 ccc : : 设设系系中观察者测得沿方方方向传播的一光信号的光速为 在在系系中的观察者测得该光信号的速度为情：得 vc vc vc vc vcttttt t 事事事事事事件、在、在 在 t ttttt时间间隔为在在 。t时 测测测相向运 。 由v即 。 在 即vt在在 2 在在 ct在在在在在在 在 在) 1 ) )2)x) ) x)0) 00),00: 伦兹坐则则则
12、则则则有在 ，时的xvx x生 v2x1即即2t ) 时即 )v) x且且：即0,， c时,间, ,), )t,来 0时SvSSS1: S。 若在 系系中 )一地 ) )后生tl t llv)（称为 ) 时，S就就就处的质点ttx即1vll因得vuvuvu例 t间后到 xxx, 则则由得即 v1,因,3.处,tx1x1,x11,cl1x,衰(xxxxxx,x, c2 2 v vc,x x x01010。1010。 情况是相对的。同理在 t2t ,02 ttt的两m1011010。 3在 系看来，时间间隔为，回回 t光速时时 。10由101010。， 由洛伦兹坐标变换式得式即转化为伽利略速度变换
13、式 vc为 vc vc 。 （利利利用速度 x换公式可可证明光速在任 ccc系中 ccc : : 设设系系中观察者测得沿方方方向传播的一光信号的光速为 在在系系中的观察者测得该光信号的速度为情：得 vc vc vc vc vctxct t t 事事事由由由由由由由由 由 tv2ttt时由由隔为在由 由1由 由由由由由由由由由由由由 1 式式式得由则则则则有 10 x由由 101由 110由 10由由由 2由由 1x由在在在在在 在 在xvx x10 s t 3773771036 32623 , , 星 , , ,半半 : :x 4mmm4 . m34 ct8:9 ? 即8:104为S)S101
14、0v10解a829)S。 若在 系系中 )一地 ) )后生S)S,间, ,.28)v )0所 108787878787 01t87若若所，S2ts.即1vll因得vuvuvu例 t1028到 7xx,则则由得即 v1,因,3.处,txx1 1,x11,cl1x,衰(xxxxxx, c,x x xx2 2 v vc,01010。1010。 情况是相对的。同理在 t2t ,02 ttt的两m1011010。 3在 系看来，时间间隔为，回回 t光速时时 。10由101010。， 由洛伦兹坐标变换式得式即转化为伽利略速度变换式 vc为 vc vc 。 （利利利用速度 x换公式可可证明光速在任 ccc系中 ccc : : 设设系系中观察者测得沿方方方向传播的一光信号的光速为 在在系系中的观察者测得该光信号的速度为情：得 vc vc vc vc vc