奥数试题(3).docx

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1、全国初中数学联合竞赛试题及参考答案一、选择题15 个相异自然数的平均数为12，中位数为 17，这 5 个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）（A） 21 （B）22 （C）23 （D）24 2如图，长方形 ABCD恰好可分成 7 个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD的周长是（）（A） 17（B）18（C）19（D） 173ADBC（第 2 题）3设k ，关于 x 的一次函数y1 (1)，当 1x2时的最大值是01kxxk（）（A） k（B）2k1（ ） 1（D）1kCkkk4钟面上的 112 这 12 个数字把圆周12 等分，以其中任意 4 个等分点为顶点作四边

2、形，其中矩形的个数是（）（A） 10 个（B）14 个（C）15 个（ D） 30 个5平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数 yx12 的图象上整点的个数是（）2x1（A） 2 个（B）4 个（C）6 个（ D） 8 个6用标有 1 克， 2 克， 6 克， 26 克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（）（A） 15 种（B）23 种（C）28 种（ D） 33 种二、填空题7三个实数按从小到大排列为x1 ， x2 ， x3 ，把其中每两个数作和得到三个数分别是 14，17，33

3、，则 x2 =P8如图， AB为半 O的直径， C为半圆弧的三等分点，过B， C两点的半 O的 C切线交于点 P，若 AB的长是 a，则 PA的长是29函数 y 2x 24 x 1 的最小值是10在正方形ABCD中，点 E 是 BC上的一定点，且 BE，EC，点 P=10=14AOB（第 8 题）AD PBCE（第 10 题）是BD上的一 点， PE PC的最小 是+11某商店出售 A、B、 C三种生日 卡，已知A 种 卡每 0.5 元，B 种 卡每张 1 元，C种 卡每 2.5 元 3 月份的 情况如下：三种 卡共售出 150 ， 收入合 180 元 商店 3 月份售出的 C 种 卡至少有

4、12有一个英文 由 5 个字母 成，如果将 26 个英文字母 a，b，c， y， z 按 序依次 0 到 25 这 26 个整数，那么 个 中的 5 个字母 的整数按从左到右的 序分 x1，x2， x3 ，x4，x5已知 x1+3x2，4x2 ，x3+2x4, ，5x4， 6x4+x5 除 以 26 所 得的 余数 分 别 为 15 ， 6 ， 20 ， 9 ， 9 则 该 英 文 单 词是三、解答题13某列从上海到温州的火 ，包括起始和 点在内共有6 个停靠站，将 6个站按火 到达的先后次序，依次 A， B，C，D，E，F小 乘坐 趟列 从上海出 去温州， 火 离上海 ， 小 他乘坐的 里

5、他自己在内共19 名旅客， 些旅客小 都 ，其中有些是浙江人，其他的都是上海人一路上小 到下列情况： 除了 点站， 在每一站，当火 到达 里浙江人的人数与下 旅客的人数相同，且 次行程中没有新的旅客 入 ；当火 离开 站 B ， 里有 12 名旅客；当火 离开 站 7 名旅客在 一 里；在 F 站下 的旅客包括小 在内共 5 人D ， 有（ 1）火 离上海 ，小 乘坐的 里共有多少浙江人多少上海人（ 2）在 B 到 C、 C 到 D、D 到 E 的旅途中，分 有多少浙江人多少上海人解：（ 1）由条件得，在 B 站有 7 人下 ， 19 名旅客中有 7 位浙江人，即火 离上海 ， 里有 7 个浙

6、江人， 12 个上海人（ 2）在 E 站有 2 人下 ，即在 DE 途中有 2 个浙江人， 5 个上海人，从而 CD 途中至少有 2 位浙江人，在 D 站至少有 2 人下 ， C 站后 里至少有 9 个人 火 离开 B 站 里有 12 人，离开 D 站 有 7 人， 在 C 站至少有 3 人下 ，即 C 站后 里至多 9 人，故 C 站后 里有 9 人，即在 C 站有 3 人下 B C途中 里 有3 个浙江人， 9 个上海人在 D 站有 2 人下 ， CD途中 里 有2 个浙江人， 7 个上海人14如 ， M、N、 P 分 ABC三 AB、BC、CA的中点， BP与 MN、AN分 交于 E、F

7、，A（ 1）求 ： BF=2FP；（ ） 的面 S，求的面 MP2ABCNEFF1解：（ ）如 ， PN， PNAB，且PNAB E112 ABFNPF， BFAFABBNC2 FPFNPN BF=2FP（ 2）如 2，取 AF的中点 G， MG， MGEF， AG=GF=FNA1 S NEF= S MNG1M24GP=F4 E SAMN31 CB121=NS4S ABC =3（图42）2415 x1, x2 , x3 , , x2006是整数，且 足下列条件：1 xn 2，n=1， 2， 3， 2006； x1x2x3 x2006 200 ；x12x22x32x200622006 求 x3x

8、3x3x3的最小 和最大 1232006解： 设 x1 , x2 , x3 , , x2006 中有 r 个 1、s 个 1、t个 2， rs2t200,rs4t2006.两式相加，得s t ，故0t36731103 x13x23x33x20063rs8t = 6t200 200 x13x23x33x200636367+200=2402当 t0, s 1103, r 903 ， x13x23x33x20063取最小 200，当 t367, s2, r536 ， x13x23x33x20063取最大 240216一只青蛙在平面直角坐 系上从点（ 1，1）开始，可以按照如下两种方式跳 ：能从任意一

9、点（ a，b），跳到点（ 2a，b）或（ a，2b）； 于点（ a， b），如果 ab， 能从（ a，b）跳到（ ab，b）；如果 ab， 能从（ a，b）跳到（ a， b a）例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（ 3， 1），跳跃的一种路径为：（1，1）（ 2， 1）（ 4，1）（ 3， 1）请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃， 能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（ 1， 1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由（）（3,5）；（）（12， 60）；（ 3）（200，5）；（ 4）（200， 6）解：（ 1）能到达点（ 3，5）和点（ 200，6）从（ 1， 1）出发

10、到（ 3， 5）的路径为：（1，1）（ 2， 1）（ 4，1）（ 3，1）（ 3，2）（ 3， 4）（ 3，8）（ 3， 5）从（ 1，1）出发到（ 200， 6）的路径为：（1，1）（ 1，2）（ 1，4）（ 1，3）（ 1， 6）（ 2，6）（4，6）（ 8，6）（ 16，6）（ 10， 6）（ 20，6）（ 40，6）（ 80，6）（ 160， 6）（ 320，6）（前面的数反复减 20 次 6）（ 200， 6）（2）不能到达点（ 12，60）和（ 200，5）理由如下： a 和 b 的公共奇约数 =a 和 2b 的公共奇约数 =2a 和 b 的公共奇约数， 由规则知，跳跃不改变前后两

11、数的公共奇约数 如果 a b， a 和 b 的最大公约数 =（ab）和 b 的最大公约数，如果 a b， a 和 b 的最大公约数 =（ba）和 b 的最大公约数， 由规则知，跳跃不改变前后两数的最大公约数从而按规则和规则跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数 1 和 1 的公共奇约数为 1，12 和 60 的公共奇约数为3， 200 和5 的公共奇约数为5 从（ 1,1 ）出发不可能到达给定点（12，60）和（ 200，5）选择题及填空题答案和解析一、选择题1答案： D解：设这 5 个自然数从小到大排列依次为x1，x2，x3，x4，x5，则 x3=当这175 个自然数中最大一个 x5 的可能

12、值最大时，其他3 个自然数必取最小的可能值，x1= ， x2=，x4= ，0118此时 x5=242答案： C解：设小长方形的长、宽分别为 x，y，则3x=y， x4 y434y3 y3，x= 长方形 ABCD的周长为y221933答案： A解： y(k1) x1 ， 0 k 1， k1(k 1)( k1) 0，该一次函kkkk数的值随 x 的增大而减小，当1x2 时，最大值为11k kkk4答案： C解：连结圆周上12 个等分点，得 6 条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15 个矩形5答案： C解：将函数表达式变形，得2xy yx 12， 4xy2 y2x24，(2y 1)(

13、2x1)25 x，y 都是整数，(2 y1), ( 2x 1) 也是整数2y11,或2 y11, 或2 y125, 或2 y125,2x1252 x1252x112x11或2y15,或2 y15,2x152x15.解得整点为（ 13， 1），（ -12 ，0），（1，13），（0，-12 ），（ 3， 3），（-2 ， -2 ）6答案： C解：（ 1）当天平的一端放 1 个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有 1 克， 2 克， 6 克， 26 克；（2）当天平的一端放2 个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克， 7 克， 8 克， 27 克， 28 克， 32 克；（3）

14、当天平的一端放3 个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9克， 29 克， 33 克， 34 克；（ 4）当天平的一端放4 个砝码时，可以称量重物的克数有 35 克（ 5）当天平的一端放 1 个砝码，另一端也放 1 个砝码时，可以称量重物的克数有 1 克， 4 克， 5 克， 20 克， 24 克， 25 克；（ 6）当天平的一端放 1 个砝码，另一端放 2 个砝码时，可以称量重物的克数有3 克， 5 克， 7 克， 18 克， 19 克， 21 克， 22 克， 23 克， 25 克， 27 克， 30 克，31 克；（ 7）当天平的一端放1 个砝码，另一端放3 个砝码时，可以称量重

15、物的克数有17 克， 23 克， 31 克， 33 克；（ 8）当天平的一端放 2 个砝码，另一端也放 2 个砝码时，可以称量重物的克数有 19 克， 21 克， 29 克P去掉重复的克数后，共有28 种C二、填空题7答案： 15解： x1x214 ， x1x3 17 ， x2x333 ， x1x2x332 ， x215 8答案：7a， COP， OCa，解：连结 OC，OP，则 OCP=90=60 PC=3a，PBPC3a，PA=7a =9答案：1解： y=2( x1) 23=2( x1) 23, x0,2( x1) 23, x0.AOB（第 8 题）yOx（第 9 题）其图象如图，由图象可

16、知，当x = 0 时， y 最小为 -1 10答案： 26AP，则 PE PC PE PA，当点 P 在 AE 上时，其值最小，最小值为解：连结+ = +24210226 11答案： 20解：设 A、B、C 三种贺卡售出的张数分别为x yz150,x，y，z，则y2.5z 180.0.5x消去 y 得， 0.5x1.5z30 由 1.5z30 0 ，得 z 20 12答案： right，evghtx13x226k115 ,4x226k26 ,解：由题意得，x32x426k320 , （ k1 , k2 , k3 , k4 , k5 为非负整数）5x426k49 ,6 x4x526k59.x14,或17,x28,或 21，由 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 25，可分析得出，x36 ,x47 ,x519.