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1、1.2命题及其关系、充分条件与必要条件2014 高考会这样考1. 考查四种命题的意义及相互关系；2. 考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3. 在解答题中考查命题或充分条件与必要条件复习备考要这样做1. 在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论； 2. 注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3. 注意等价命题的应用1 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2 四种命题及相互关系3 四种命题的真假关系(1) 两个命题互为逆否命题
2、，它们有相同的真假性；(2) 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系4 充分条件与必要条件(1) 如果 p? q，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件；(2) 如果 p? q， q? p，则 p 是 q 的充要条件 难点正本疑点清源 1 等价命题和等价转化(1) 逆命题与否命题互为逆否命题；(2) 互为逆否命题的两个命题同真假；(3) 当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假2 集合与充要条件1设集合 A x| x 满足条件 p ， B x| x 满足条件q ，则有(1)若 ?，则是q的充分条件， 若A，则是q的充分不必要条件；ABpBp(2
3、)若 B?A，则 p是 q的必要条件， 若 BA，则 p是 q 的必要不充分条件；(3) 若 A B，则 p 是 q 的充要条件；(4) 若 A B，且 B A，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件1 下列命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题；“若 ab 0，则 a0”的否命题；“正三角形的三个角均为60”的逆否命题其中真命题的序号是_( 把所有真命题的序号填在横线上) 答案解析“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；“若ab 0，则 a0”的否命题为“若ab0，则 a0”，而由 ab0，可得 a， b 都不为零，故a0，所以该命题是真命题；因为原命
4、题“正三角形的三个角均为 60”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题1 12 “x2”是“ x2? 2x0? 2x2x? x2”是“ x2”的充分条件1 1 x2? x2D? / x2.11“ x2”是“ x2”的不必要条件a bab”的 _条件3 已知 a， b R，则“ ab”是“2答案必要不充分解析因为若 a b0 ， B x R| x0 ，则2“ x A B”是“ xC”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案C解析因为 | 20 |x2 (2 ， ) ，Ax xxB x| x0 x| x2 ( ， 0) (2 ， ) 即 A B C. 故
5、“ xA B”是“ x C”的充要条件 .5 (2012 天津 ) 设 R，则“ 0”是“ f ( x) cos( x )( xR) 为偶函数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由条件推结论和结论推条件后再判断若 0，则 f ( x) cos x 是偶函数，但是若 f ( x) cos( x ) ( x R) 是偶函数，则 也成立故“ 0”是“ f ( x) cos( x )( x R) 为偶函数”的充分而不必要条件 .题型一四种命题的关系及真假例 1已知命题“若函数f ( xxmx在 (0， ) 上是增函数，则m1”，则下列结论正) e确
6、的是()A否命题“若函数f ( x) ex mx 在 (0 ， ) 上是减函数，则m1”是真命题B逆命题“若m1，则函数 f ( x) exmx在 (0 ， ) 上是增函数”是假命题C逆否命题“若m1，则函数 f ( x) ex mx在 (0 ， ) 上是减函数”是真命题D逆否命题“若m1，则函数 f ( x) ex mx在 (0 ， ) 上不是增函数”是真命题思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题逆否命题进行真假判断3答案D解析命题“若函数f(x) exmx在 (0 ，
7、) 上是增函数，则1”是真命题，所以m其逆否命题“若m1，则函数 f ( x) ex mx在 (0 ， ) 上不是增函数”是真命题探究提高(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2) 根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3) 认真仔细读题， 必要时举特例命题“若 x，y 都是偶数，则 xy 也是偶数”的逆否命题是()A若 x y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数B若 x y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数C若 x y 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数D若 x y 不是偶数，
8、则x 与 y 都不是偶数答案C解析由于“ x， y 都是偶数”的否定表达是“x， y 不都是偶数”，“xy 是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若y不是偶数，则x，y不x都是偶数”，故选C.题型二充要条件的判断例 2已知下列各组命题，其中p 是 q 的充分必要条件的是()Ap：m 2 或 m6；q：y x2 mxm 3 有两个不同的零点f xB p： fx 1； q： y f ( x) 是偶函数C p： cos cos ； q：tan tanD p： A B A； q：A? U， B? U， ?UB? ?UA思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或
9、集合的角度思考问题，做出判断答案D解析对于 A，由y2 3 有两个不同的零点，可得2 4( 3)0 ，从而xmx mmm可得 m6. 所以 p 是 q 的必要不充分条件；f x 1? f ( x) f ( x) ? y f ( x) 是偶函数， 但由 y f ( x) 是偶函数不能对于 B，由 fxf x推出fx 1，例如函数f ( x) 0，所以 p 是 q 的充分不必要条件；对于 C，当 cos cos 0 时，不存在tan tan，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于 D，由 A B A，知 A? B，所以 ?UB? ?UA；4反之，由 ?UB? ?UA，知 A? B
10、，即 A B A.所以 p? q.综上所述， p 是 q 的充分必要条件的是D.探究提高判断 p 是 q 的什么条件， 需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q；二是由条件q 能否推得条件p. 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题给出下列命题：“数列 an 为等比数列”是“数列 anan1 为等比数列”的充分不必要条件；“ a2”是“函数f ( x) | xa| 在区间 2 ， ) 上为增函数”的充要条件；“ m3”是“直线 ( m 3) x my 2 0 与直线
11、mx 6y5 0 互相垂直”的充要条件；设 a，b，c 分别是 ABC三个内角 A，B，C所对的边， 若 a1，b3，则“ A30”是“ B60”的必要不充分条件其中真命题的序号是_答案解析对于， 当数列 a 为等比数列时， 易知数列 a a 是等比数列， 但当数列nn n 1 a a 1 为等比数列时，数列 a 未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等nnn比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此正确；对于，当2a时，函数 f ( x) | x a| 在区间 2 ， ) 上是增函数，因此不正确；对于，当m 3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两
12、条直线垂直时，不一定有m 3，也可能 m0. 因此不正确；对于，由题意得bsinB3，若60，则 sin1sin ，注意到aABA 23ba，故 A30，反之，当A30时，有sinB 2，由于 ba，所以 B60或 B 120，因此正确综上所述，真命题的序号是.题型三 利用充要条件求参数例 3已知集合 |x5 ， |(x) ( 8) 0 MxP xax(1)求实数 a 的取值范围，使它成为M P x|5 x8 的充要条件；(2) 求实数 a 的一个值，使它成为 M P x|5 x8 的一个充分但不必要条件思维启迪：解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集
13、合之间的关系列出关于参数的不等式求解解 (1) 由 M P x|5 x8 ，得 3 a5，因此 M P x|5 x8 的充要条件是 a| 3 a5 (2) 求实数a的一个值，使它成为 x|58 的一个充分但不必要条件，就是在M Px5集合 a| 3 a5 中取一个值，如取a 0，此时必有M P x|5 x8 ；反之， M P x|5 x8 未必有 a 0，故“ a0”是“ MP x|5 x8 ”的一个充分但不必要条件探究提高 利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验已知 p： x2 4x50， q
14、： | x3|0) 若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围解 设 A x| x2 4x50 x| 1 x5 ， B x| a 3xa3 ，因为 p 是 q 的充分不必要条件， a 35，解得 a4.等价转化思想在充要条件关系中的应用典例： (12 分 ) 已知 p：1x 122，且綈 p 是綈 q 的必要而32， q： x 2x 1m0 ( m0)不充分条件，求实数的取值范围m审题视角(1) 先求出两命题的解集，即将命题化为最简(2) 再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论规范解答解 方法一由 ：2 2x 120，q xm得 1 m x1 m，2 分綈 q：
15、A x| x1 m或 x0 ，3分由 p： 1x 15分2，解得 2 x10，3綈 p： B x| x10 或 x0，m0， AB，1 m10，即 m9或 m9. m9.12 分方法二綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，6 p 是 q 的充分而不必要条件，2 分 22由 q： x 2x 1 m0，得 1 m x1 m， q： Q x|1 m x1 m ，4 分 由 p： 1x 12，解得 2 x10，3 p： P x| 2 x10 6分 p 是 q 的充分而不必要条件，m0，m0， PQ，1 m10，即 m9或 m9. m9.12 分温馨提醒 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化
16、思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中， 常常要利用集合的包含、 相等关系来考虑， 这是破解此类问题的关键 .方法与技巧1 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个 ( 或几个 ) 作为大前提2 数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的3 命题的充要关系的判断方法(1) 定义法：直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假(2) 等价法：利用 A? B 与綈 B? 綈 A，B? A
17、 与綈 A? 綈 B，A? B 与綈 B? 綈 A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3) 利用集合间的包含关系判断：若?，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；AB若 A B，则 A 是 B的充要条件失误与防范1 判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则 q”的形式2 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条7件是 q”等语言A 组专项基础训练( 时间： 35 分钟，满分：57 分 )一、选择题 ( 每小题 5 分，共 20 分 )1 (2012 湖南 ) 命题“若 4 ，则 tan 1”的逆否
18、命题是()A若 4 ，则 tan 1B若 4 ，则 tan 1C若 tan 1，则 4D若tan 1，则 4答案C解析由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：若 tan 1，则 4 .2 (2012 福建 ) 已知向量a ( x1,2) ， b (2,1)，则 a b 的充要条件是()1A x 2B x 1C x 5D x 0答案D解析a( x 1,2) ， b (2,1) ， a b 2( x 1) 21 2x.又 a b? a b 0，2x 0， x 0.3 已知集合 x|0x1 ，集合 x| 2 y，则 x| y| ”的逆命题B命题“若x1，则 x21”的否命题C命题“若x
19、 1，则 x2 x 20”的否命题D命题“若x20，则 x1”的逆否命题答案Ayy解析对于 A，其逆命题：若 x| y| ，则 xy，是真命题，这是因为 x| y| ， y y必有；对于 B，否命题：若x1，则21，是假命题如 5，2 251；对于x yxxxC，其否命题：若 x1，则 x2 x20，因为 x 2 时， x2x 2 0，所以是假命题；对于 D，若 x20，则 x0 或 x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.二、填空题 ( 每小题5 分，共 15 分 )5 下列命题：若 ac2bc2，则 ab；若 sin sin ，则 ；“实数a0”是“直线x 21和直线 2x2 1 平行
20、”的充要条件；ayay若 f ( x) logx，则 f (|x|) 是偶函数2其中正确命题的序号是_答案解析对于，ac22，c20，正确；对于， sin 30 sin 150 D ? /30 bca b150，所以错误；对于，l1 l? A B A B，即 2a 4a? a 0且 A CA C，212211221所以对；对于显然对6 已知(x) ：x2 2x 0，如果p(1) 是假命题，(2)是真命题，则实数m的取值范围为pmp_ 答案3,8)解析因为p(1) 是假命题，所以12 0，m解得 m3；又因为 p(2) 是真命题，所以 4 4m0，解得 m8. 故实数 m的取值范围是 3 m8.
21、7 (2011 陕西 ) 设 n N ，一元二次方程 x2 4xn 0 有整数根的充要条件是n _.答案3 或 4解析 x2 4x n0 有整数根，4 16 4 xn4 n，2294 n 为某个整数的平方且4 n0， n 3 或 n 4.当 n 3 时， x2 4x3 0，得 x 1 或 x 3；当 n 4 时， x2 4x4 0，得 x 2. n 3 或 n 4.三、解答题 ( 共 22 分 )8 (10分) 判断命题“若a0，则x2x a 0 有实根”的逆否命题的真假解原命题：若a0，则 x2 x a 0 有实根逆否命题：若x2 xa 0 无实根，则a0.判断如下：x2 0 无实根，1 4
22、 0，a10，xaa4“若 x2x a 0 无实根，则 a0”为真命题9 (12分) 已知 p：| x3| 2， q：( xm 1)( x m1) 0，若綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件，求实数m的取值范围解由题意得 p： 2 x32， 1 x5.綈 p： x5.q： m1 x m 1，綈 q：xm 1.2 m4.B 组专项能力提升( 时间： 25 分钟，满分：43 分 )一、选择题 ( 每小题 5 分，共 15 分 )1 (2012 上海 ) 对于常数 m、 n，“ mn0”是“方程22的曲线是椭圆”的 ()mx ny 1A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条
23、件答案Bm0，m0，或n0n0， n0 且 m n 时，方程 mx ny 1 的曲线是椭圆，2 2当 m0， n0，当方程 mxny 1所以“ 0”是“方程22 1 的曲线是椭圆”的必要不充分条件mnmxny12 已知 p： 21，q：| x a|1 ，若 p 是 q 的充分不必要条件， 则实数 a 的取值范围为 ()xA ( ， 3B 2,3C (2,3D (2,3)答案 C1解析由x 21，得 2x3；由 | x a|1 ，得 a1xa1.若 p 是 q 的充分不必要条件，则a12，即 23a所以实数 a 的取值范围是 (2,3，故选 C.3 集合 A x| x| 4， x R ，B x|
24、 x5”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析A x| 4 x4 ，若 A? B，则 a4. a4D/ ? a5，但 a5?a4. 故“ A? B”是“ a5”的必要不充分条件二、填空题 ( 每小题 5 分，共 15 分 )4 设有两个命题p、q. 其中 p：对于任意的 x R，不等式 ax2 2x10 恒成立；命题q：f(x) (4 3) x 在 R 上为减函数如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数aa的取值范围是 _答案3， 1(1 ， )4解析当a0 时，不等式为 2 10，显然不能恒成立，故a 0 不适合；x当 a0 时，不等式 ax2
25、2x 10 恒成立的条件是a0，解得 a1.2 2 4a0，3若命题 q 为真，则 04a 31，解得 4a1 a| a 4或 a1 a| a1 ；当 p 假 q 真时， a 的取值范围是1133 a| a1 a| 4a1 a| 4a1；所以 a的取值范围是3(1 ， ) ， 145 若“ x2,5或 xx| x4 ”是假命题， 则 x 的取值范围是 _答案1,2)解析x?2,5 且 x? x| x4 是真命题x5，由得 1 x2.1 x4，点评“ A或 B”的否定是“綈 A 且綈 B”126 “m4”是“一元二次方程x x m 0 有实数解”的 _ 条件答案充分不必要解析2 0 有实数解等价于1 40，xxmm111即 m 4， m4? m4，反之不成立12故“ m4”是“一元二次方程x x m0有实数解”的充分不必要条件三、解答题7 (13 分 ) 已知全集 UR，非空集合 A x| xx 20 ，B x|xa2 2ax a 0 .1(1) 当 a2时，求 ( ?UB) A；(2) 命题 p：x A，命题 q：x B，若 q 是 p 的必要条件， 求实数 a 的取值范围1解 (1) 当 a