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1、名校名 推荐微专题八基本不等式的向量形式思维扩展 波利亚有句名言： “类比是伟大的引路人” 这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位我们知道， a2 b2 2ab(a， b R)以及 a bab(a， bR )是两个应用广泛的基本不2等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？由 (a b)2 |a b|2 0 不难得到 a2 b2 2ab，当且仅当a b 时等号成立但将 a bab( a，b R) 简单地类比为 a bab就不行了，由于该不等式左边为向22量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果注意到 ab ab(a， bR )?a b 2 a
2、b( a，b R )，而不等式a b 2 ab 左右两222边都是数量，因而可以比较大小事实上，由(a b)2 ( a b)2 4ab |a b|2 4ab 4ab可得 a b 2ab，当且仅当a b 时等号成立2这样，我们就得到如下两个结论：定理 1设 a， b 是两个向量，则a2 b2 2ab，当且仅当 a b 时等号成立定理 2设 a， b 是两个向量，则a b 2 ab，当且仅当 a b 时等号成立2例 1若平面向量 a， b 满足 |2a b| 3，则 ab 的最小值是 _答案 98解析方法一由定理 1 得32 |2a b|2 (2a b)2 ( 2a)2 b24ab2( 2ab)
3、4ab 8ab，9所以 ab 8，当且仅当b 2a 时等号成立，9故 ab 的最小值是 8.方法二由定理 2 得1名校名 推荐2a b 2|2a b|292a( b)244，9则 ab 8，当且仅当b 2a 时等号成立故 ab 的最小值是 98.说明本题可推广至一般形式：若平面向量a，b 满足： |ab| m(m0)，则当 0 时， ab22的最大值为 m ；当 0，求 AC 的最小值ABBC 21 2解 由定理 2 得AB BC0ABBC AC ，24则AC21 AC24 2ABBCAC242|AC| 2|AC| 4，2|AC|AC| 21故当且仅当 AB BC，且 |AC|2时， AC 取
4、得最小值 4.ABBC例 5设 a， b 满足 a2ab b2 3，求 a2ab b2 的取值范围解 由定理 1 得 aba2 b2，23ab所以 ab2，解得 ab 1. a 2 b2又由定理 1 得 ( a) b2，所以 ab a2 b23 ab22，解得 ab 3.所以 3 ab1.因为 a2 ab b2 (3 ab) ab 3 2ab，所以 1 a2 abb2 9.以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理 2 的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久3名校名 推荐的思考4