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1、四川省眉山一中办学共同体2019 届高三数学上学期期中试题理第 I 卷（选择题）一、选择题（本题共12 道小题，每小题 5 分，共 60 分 , 每个小题仅有一个正确答案）1. 已知集合 A x | x22x 3 ， B x | 2x1 ，则 A B （）A 0,3B (0,3C 1,+ )D 1,1)2. 非零向量 a, b 的夹角为，则”(0,) ”是“ cos0 ”的 ()2A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3.各项均为正数的等比数列an中，aa44 ，则 aaa3的值为（）21 5A.5B.3C.6D.84.|x|始终满足0|f （ x）| 1，则函数
2、 y=log |1若当 x R 时，函数 f （ x）=a| 的图象大致为ax（）ABCD5. 设0 ，函数 y sin x2 的图像向右平移4 个单位后与原图像重合，33则 的最小值是（）A 2B 4C.3D 33326. 若直线 yx 与曲线 yex m（ mR ，e 为自然对数的底数）相切，则 m（）第 - 1 -页A 1B 2C.-1D -27.圆 x2+y2+4x 2y 1=0 上存在两点关于直线ax 2by+1=0（ a 0，b0）对称，则 + 的最小值为（）A 3+2B9C16D 188. 设等差数列an 的前项的和为Sn ，若 a60 ，a70 ，且 a7a6 ，则（）AS S
3、0S S0S S0S S 0C.1112B 11 121112D 11 129. 设函数 f ( x)log2 ( x), x02 ( x)af ( x)0 恰有三个不同的实数2x, x0，若关于 x 的方程 f根，则实数 a 的取值范围是（）A0,)B(0,)C(1,)D 1, )10. 已知定义在R 上的可导函数f ( x) 的导函数为f ( x) ，若对于任意实数x ，有f (x)f ( x) ，且 yf ( x)1 为奇函数，则不等式f ( x)ex 的解集为 ( )A (,0)B (0,)C (, e4 )D (e4 ,)11. 已知 m ，n 是两个非零向量， 且 m1， m2n3
4、 ，则 m nn的最大值为 ()A 5B 10C4D512. 将 3 本相同的语文书和 2 本相同的数学书分给四名同学，每人至少1 本，第 - 2 -页不同的分配方法数有（）A 24B28C 32D 36第 II卷（非选择题）二、填空题（本题共4 道小题，每小题5 分，共 20 分）13.复数1i2 , 则.i| z |z1i14.已知（ 1+ax）(1+x)5 的展开式中 x2的系数为 5，则 a=cos10015. 2 sin10 02 cos100.16. 若双曲线 C 的右焦点 F 关于其中一条渐近线的对称点P 落在另一条渐近线上，则双曲线 C的离心率 e三、解答题（本题共 6 道小题
5、 , 选做题 10 分，其余题每题12 分，共 70 分）17.（本小题满分12 分）已知函数fx2sin xcos xcos x，x0 ，32（ 1）求 f；（ 2）求 fx 的最大值与最小值 .618. （本小题满分12 分）已知an 为等差数列， 前n项和为Sn (n N ) bn 是首项为2，的等比数列，且公比大于0， b2b312 , b3a42a1 ， S1111b4 .（）求 an 和 bn 的通项公式；（）求数列 a2n b2 n1 的前 n 项和 (n N ) .19. （本小题满分 12分）从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如
6、下频率分布直方图：（）求这500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s2 ;第 - 3 -页（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N ( , 2 ) ，其中近似为样本平均数x ，2 近似为样本方差s2.（ i ）利用该正态分布，求P(187.8 Z 212.2)；（ ii）某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2 ）的产品件数，利用（ i ）的结果，求 EX .附：150 12.2.若 Z N ( ,2 ) ，则 P(Z) =0.6826 ， P(2Z
7、2 ) =0.9544.20. （本小题满分12 分）如图，矩形ABCD中， AB6， AD2 3 ，点 F 是 AC上的动点 .现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角D ACB ，使得 D B30 .（ 1）求证：当 AF3 时， D FBC ；（ 2）试求 CF 的长，使得二面角 AD FB 的大小为 .4121. （本小题满分12 分）已知函数f ( x)ax2ln x(aR) 有最大值，2g( x) x22xf (x) ，且 g ( x) 是 g(x) 的导数 .（ 1）求 a 的值；（ 2）证明：当 x1x2 ， g ( x1 ) g ( x2 ) 30时， g (x11x2 ).
8、2请在 22、 23 两题中任选一体作答，多选则按所答的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22. （ 10 分）已知f(x)=|x+1| |ax 1| （ 1）当 a=1 时，求不等式 f(x) 1 的解集；（ 2）若 x (0,1) 时不等式 f(x) x 成立，求 a 的取值范围23. 以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M的直角坐标第 - 4 -页为 (1,0)，若直线 l 的极坐标方程为 2 cos() 1 0 ，曲线 C 的参数方程是x4t 2（ t4y4t为参数）（ 1）求直线 l 和曲线 C的普通方程；（ 2）设直
9、线 l 和曲线C交于 A，B 两点，求11MAMB眉山一中办学共同体高三第五学期11 月考试数学试题 ( 理工 )第 I 卷（选择题）一、选择题（本题共12 道小题，每小题 5 分，共 60分 , 每个小题仅有一个正确答案）1. 已知集合 A x | x22x3 ， B x | 2x1 ，则 AB （ B）A0,3B(0,3C 1,+ )D 1,1)2. 非零向量 a, b 的夹角为，则”(0,) ”是“ cos0 ”的 ( A)2A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3. 各项均为正数的等比数列an 中， a2 a44 ，则 a1 a5a3 的值为（ C）A.5
10、B.3C.6D.84. 若当 x R 时，函数 f （ x）=a|x| 始终满足0 |f （x）| 1，则函数y=log a| 1 | 的图象大致为x（ B）AB第 - 5 -页CD【解答】 解：当 xR 时，函数 f （x）=a|x| 始终满足 0 |f （ x）| 1因此，必有0 a 1先画出函数 y=log a|x| 的图象：黑颜色的图象而函数y=log a|= log a|x| ，其图象如红颜色的图象故选 B5. 设0 ，函数 y sinx2 的图像向右平移4个单位后与原图像重合，则的最33小值是（）A 2B 4C.3D 33325.D6. 若直线 yx 与曲线 yex m（ mR ，
11、e 为自然对数的底数） 相切，则 m （）A1B2C.-1D-26.C7. 圆 x2+y2+4x 2y 1=0 上存在两点关于直线ax 2by+1=0（a 0，b 0）对称，则 +的最小值为（）A 3+2B 9C16D 187.D【考点】直线与圆的位置关系【分析】圆x2+y2+4x 2y 1=0 上存在两点关于直线ax 2by+1=0（ a 0， b 0）对称，说明直线经过圆心，推出a+b=，代入+，利用基本不等式，确定最小值，推出选项第 - 6 -页【解答】解：由圆的对称性可得，直线 ax 2by+1=0 必过圆心（2， 1），所以 a+b=所以 +=2（+ ）（ a+b）=2（ 5+ +）
12、 2（ 5+4） =18，当且仅当=，即 2a=b 时取等号，故选D8. 设等差数列an 的前项的和为Sn ，若 a60 ，a70 ，且 a7a6 ，则（）A S11S120B S11S120C.S11 S120D S11S1208.C，故选 C.9. 设函数 f ( x)log2 (x), x0x 的方程 f 2 ( x) af ( x)0恰有三个不同的实数2x, x 0，若关于根，则实数 a 的取值范围是（）A 0,)B (0,)C (1,)D 1,)9.D作出函数yf (x) 的图象 . 因为由方程 f 2 ( x)af ( x)0 , 得 f ( x)0 或 f ( x) a . 显然
13、f (x ) 0有一个实数根 x1 , 因此只要 f ( x)a 有两个根 ( 不是 x1 ), 利用图象可得 ,实数 a 的取值范围是 1,) .10. 已知定义在 R 上的可导函数f ( x) 的导函数为f ( x) ，若对于任意实数x ，有f (x)f ( x) ，且 y f (x )1 为奇函数，则不等式 f ( x)ex 的解集为 ( )A (,0)B (0,)C (, e4 )D ( e4 ,)第 - 7 -页10.B11. 已知 m ，n 是两个非零向量， 且 m1， m2n3 ，则 mnn的最大值为 ()A5B10C4D511.B8.将 3 本相同的语文书和2 本相同的数学书分
14、给四名同学，每人至少1 本，不同的分配方法数有（）A 24B28C32D 3612.B【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】由敌意分为3 类，第一类，先选1 人得到两本语文书，剩下的3 人各得一本，第二类，先选1 人得到一本语文书和一本数学书，其余3 人各一本书，第三类，先选1 人得到两本数学书，剩下的3 人各得一本根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，先选1 人得到两本语文书，剩下的3 人各得一本，有 C411C3 =12 种，第二类，先选1 人得到一本语文书和一本数学书，其余3 人各一本书，有C4 1C3 1=12 种，第三类，先选1 人得到两本数学书，剩下的3 人各得一本，有1种，C
15、4 =4根据分类计数原理可得，12+12+4 种，故选： B第 II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共 20 分）1 i2i, 则 | z |.13. 复数 z1 i14. 已知（ 1+ax）(1+x) 5 的展开式中 x2 的系数为 5，则a=14.-1第 - 8 -页15. cos1002 cos100.2 sin10015. 3216. 若双曲线 C 的右焦点 F 关于其中一条渐近线的对称点P 落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率 e16.213.解答题（本题共6 道小题 , 选做题 10 分，其余题每题12 分，共 70 分）17.（本小题满分12 分）已知函
16、数fx2sin xcos xcos x，x0 ，32（ 1）求 f；6（ 2）求 fx的最大值与最小值.17. 解：（ 1） cos()3, ， sin12266所以 f ( ) 2 1 ( 33 )3,6222（ 2）f x2sin xcos x3cos x2sin x1 cosx3 sin x cos x22因为 x0 ，所以 2 x6，5.266又因为 ysin z在区间6，上是递增，在区间，5上递减 .226所以，当2x6，即 x3时， fx有最大值 33 ；22当 2 x，即 x0 时， fx 有最小值 0 .66四、（本小题满分12分）已知 an 为等差数列， 前 n 项和为 Sn
17、 (n N ) ， bn 是首项为 2第 - 9 -页的等比数列，且公比大于0， b2b312 , b3a42a1 ， S1111b4 .（）求 an 和 bn 的通项公式；（）求数列 a2n b2 n 1 的前 n 项和 (nN ) .18. （ I ）设等差数列 an 的公差为 d ，等比数列 bn 的公比为 q .由已知 b2b312 ，得 b1 (qq2 )12 ，而 b12 ，所以 q2q60 .又因为 q0 ，解得 q2 . 所以， bn2n .由 b3a42a1 ，可得 3da18 .由 S11=11b4 ，可得 a1 5d 16 ，联立，解得a11， d3 ，由此可得 an3n
18、2 .所以，数列 an 的通项公式为an3n2 ，数列 bn 的通项公式为bn2n .（ II ）解：设数列 a2 nb2n 1 的前 n 项和为 Tn ，由 a2n6n2， b2 n 124n 1，有 a2 nb2n1 (3n1)4n ，故 Tn2 45 42843(3n1)4n ，上述两式相减， 得 3Tn243 4234334n(3n 1) 4n 1得 Tn 3n2 4n 1 8 .33所以，数列 a2nb2 n 1 的前项和为 3n 24n 18.33五、（本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求
19、这500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差 s2 （同一组中的数据用该组区第 - 10 -页间的中点值作代表） ；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (,2 ) ，其中近似为样本平均数 x ，2 近似为样本方差s2 .（ i ）利用该正态分布，求P(187.8Z212.2) ；（ ii ）某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（ 187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .附：150 12.2.若 Z N (,2 ) ，则 P(Z) =0.6826 ， P(2Z2 ) =0.9544.1
20、9.( ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差 s2 分别为（）（）由 ( ) 知 Z N (200,150) ，从而（）由（）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826依题意知 XB(100,0.6826) ，所以 EX1000.682668.2620. （本小题满分12 分）如图，矩形ABCD中， AB6 ， AD2 3 ，点 F 是 AC上的动点 .现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角D ACB ，使得 D B30 .（ 1）求证：当 AF3 时，D FBC ；（ 2）试求 CF 的长，使得二面角AD F B 的大小为 .420. （
21、1）连结 DF ， BF 在矩形 ABCD 中，AD 2 3, CD 6 ,0AC 4 3, CAB 30 ,DAC 600 在ADF 中， AF3 ,DF 2DA 2AF 22DAAFcosDAC9 ，第 - 11 -页 DF 2AF 293DA2 ，DFAC ，即 D FAC 又在ABF 中， BF 2AB 2AF 22 ABAFcosCAB 21 ，在222( 21)22D FB 中， D FFB3D B ,BFD F , 又ACFBF , D F平面 ABC （ 2）解：在矩形ABCD 中，过 D 作 DEAC 于 O ，并延长交 AB 于 E . 沿着对角线 AC 翻折后，由（ 1）
22、可知， OE,OC ,OD 两两垂直，以 O 为原点， OE 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，则O(0,0,0), E(1,0,0), D (0,0,3), B(3,2 3,0) ,EO 平面 AD F ,OE (1,0,0) 为平面 AD F 的一个法向量设平面 BD F 的法向量为 n (x, y, z),由 n BD0, 得3x23 y3 z，取 y3, 则 x t 2 3, z t ,n (t 2 3,3, t ) 0n BF0,3x(t23) y0，cos| n OE | , 即| t2 3 |2 ,t3 4| n | OE |(t 2 3) 29 t 224当
23、CF11 3 时，二面角 ADFB 的大小是4421. （本小题满分 12分） ? f ( x) ax 2ln x(aR) ?1, g( x)x22x f ( x) ,? g ( x) ? g (x) ?.2(1)?a?;(2)?:? x1 x2 , g ( x1 ) g ( x2 ) 3 0 ?, g ( x11x2 ).2（ 1） f ( x) 的定义域为 (0,) ， f (x) 2ax1x当 a0 时， f ( x)0 ，f (x) 在 (0,) 上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去,第 - 12 -页当 a0 ，令 f ( x)0 ，得 x1 ，2a当 x(0,10，函数 f
24、( x) 增；) ， f ( x)2a当 x(10，函数 f (x) 减， f (x)max f (111, ) ， f (x)ln,2a2a22a（ 2）由（ 1）可知， g ( x)1x22 x ln x ,g ( x)x12 2x12 ，g ( x)0 ,g (x) 在 (0,)上 增xx又 x1x2 ， g( x1 )g (x2 )3 且 g (1)3,0x11x2 ,2当 x1 ， g ( x)0 ， g (x) 增 ,要 g ( x1 x2 )1x2 )g (2)，只要 x1x22 ，即 x2 2 x1 ，即 g ( x12所以只要 g(2x1 )g (x2 )3g (x1 )g
25、( x1)g (2x1 )3 （ * ） ,设 G( x)g( x)g(2 x) x22x 2 ln xln(2x) （其中 0x 1） ,G( x) 在（ 0， 1）上 增函数 ,G(x)G(1)3，故（ * ）式成立，从而112g ( xx )2 在 22、 23 两 中任 一体作答，多 按所答的第一 分，作答 用2B 笔在答 卡上把所 目的 号涂黑。22. （ 10 分）已知f(x)=|x+1| |ax 1| （ 1）当 a=1 ，求不等式 f(x) 1 的解集；（ 2）若 x (0,1) 不等式 f(x) x 成立，求 a 的取 范 2, x1,22. 解（ 1）当 a1 ， f (x
26、) | x 1| x 1| ，即 f ( x) 2x,1 x 1,2, x1.故不等式 f ( x)11的解集 x | x 2第 - 13 -页（ 2）当 x(0,1) 时 | x1| ax1|x 成立等价于当x(0,1) 时 | ax1|1成立若 a0， 当 x(0,1) 时 | ax1|1；若 a0， | ax 1|1 的解集 0x22a 2 ，所以1 ，故 0aa 上， a 的取 范 (0,2 20.以直角坐 系的原点 O 极点， x 的正半 极 建立极坐 系，已知点M的直角坐标为(1,0) ，若直 l 的极坐 方程 2 cos() 1 0x4t 2，曲 C 的参数方程是4t4y（ t 参数）（ 1）求直 l 和曲 C的普通方程；11（ 2） 直 l 和曲 C交于 A， B 两点，求MAMB解：（ 1）因 2cos()10 ，所以cossin 1 04由 xcos, ysin，得 xy1 0 ，因 x4t2，4x消去 t 得 y2y4t，所以直 l 和曲 C 的普通方程分 xy 1 0 和 y24x 5 分x12 t，（ 2）点 M 的直角坐 (1,0) ，点 M 在直 l 上， 直 l 的参数方程：2（ t 为2 t，y2参数）， t 2A, B 对 应 的 参 数 为 t1, t24 2t 8 0 t1 t24 2, t1t28第 - 14 -页