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1、最新 料推荐排列组合问题之插板法：插板法是用于解决 “相同元素 ”分组问题，且要求每组均 “非空 ”，即要求每组至少一个元素；若对于“可空 ”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢？例 1 现有 10 个完全相同的球全部分给7 个班级，每班至少1 个球，问共有多少种不同的分法?【解析】：题目中球的分法共三类：第一类：有3个班每个班分到 2 个球，其余 4个班每班分到1 个球。其分法种数为 C 37=35 。第二类：有1个班分到3个球， 1 个班分到 2个球，其余5个班每班分到 1个球。其分法种数2*C 27=42 。第三类：有1个班分到4个球，其余的6 个班每班分到 1个球。其分法种数C
2、17=7 。所以， 10 个球分给 7 个班，每班至少一个球的分法种数为84 ： 。由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境 插板。将 10 个相同的球排成一行， 10 个球之间出现了9 个空档，现在我们用 “档板 ”把 10 个球隔成有序的7 份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1 个、2 个、 3 个、4 个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9 个空档之中插入6 个“档板 ”
3、（ 6 个档板可把球分为 7 组），其方法种数为C3 9 =84 。由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下 3 个条件：所要分的元素必须完全相同；所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；参与分元素的每组至少分到1 个，决不允许出现分不到元素的组。下面再给各位看一道例题：例 2 有 8 个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法 .A 35B 28C 21D 45【解析】：这道题很多同学错选C ，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法 ”，而忽略了 “插板法 ”的适用条件。例 2 和例 1 的最大区别是：例
4、1 的每组元素都要求“非空 ”，而例 2 则无此要求，即可以出现空盒子。其实此题还是用“插板法 ”，只是要做一些小变化，详解如下：1最新 料推荐设想把这 8 个球一个接一个排起来，即| | | | | | ，|共|形|成 9 个空档（此时的空档包括中间7个空档和两端2 个空档），然后用2 个档板把这8 个球分成 3 组，先插第一个档板，由于可以有空盒，所以有 9 个空档可以插；再插第二个板，有10 个空档可以插，但由于两个板是不可分的（也就是说当两个档板相邻时，虽然是两种插法，但实际上是一种分法），所以共C 210 种。【提示】：利用“插板法 ”解决这种相同元素问题时，一定要注意“空”与“不空 ”的分析，防止掉入陷阱。【总结】：“非空 ”问题插板法原型为：设有M 个相同元素，分成N 组，每组至少一个元素的分组方法共有 C N (M-1) ；“可空 ”问题插板法问题原型为：设有M 个相同元素，分成N 组，则分组方法共有C (N-1) (M+2)种方法。练习 1 有 10 级台阶，分8 步走完。每步可以迈1 级、 2 级或 3 级台阶，有多少中走法？（答案为）老子曰：夫物芸芸，各复归其根，归根曰静，静曰复命。在平时的学习中，我们应当学会寻找共性，寻找根源，从本质上理解归纳各种问题。2