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1、名校名 推荐选修 44坐标系与参数方程第一节坐标系考纲传真 (教师用书独具 )1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 .2.了解极坐标的基本概念， 会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置， 能进行极坐标和直角坐标的互化 .3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程(对应学生用书第198 页)基础知识填充 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换x x， 0，设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换 ：y y，0的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x， y )，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换2极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系： 如图 1 所
2、示，在平面内取一个定点 O(极点 )，自极点 O 引一条射线 Ox(极轴 )；再选定一个长度单位， 一个角度单位 (通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系图 1(2)极坐标：平面上任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 和从 Ox 到 OM 的角度 来刻画，这两个数组成的有序数对 (，)称为点 M 的极坐标其中 称为点 M 的极径， 称为点 M 的极角3极坐标与直角坐标的互化点 M直角坐标 (x， y)极坐标 (，)1名校名 推荐x cos ，互化公式y sin 4.圆的极坐标方程曲线图形圆心在极点，半径为r 的圆圆心为 (r,0)，半径为 r 的圆圆心
3、为 r ，2 ，半径为r 的圆2 x2y2ytanx(x0)极坐标方程r(02)2rcos 2 22rsin (0)5.直线的极坐标方程(1)直线 l 过极点，且极轴到此直线的角为，则直线 l 的极坐标方程是(R)(2)直线 l过点 M(a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为 cos a 2.2l 的极坐标方程为 sin b(0(3)直线过 M b，2 且平行于极轴，则直线 )基本能力自测 1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)若点 P 的直角坐标为 (1，3)，
4、则点 P 的一个极坐标是2， 3 .()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的()(4)极坐标方程 (0)表示的曲线是一条直线()答案 (1)(2)(3)(4)2(教材改编 )若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y 1 x(0 x 1)的极坐标方程为 ()2名校名 推荐A1，01，0cos sin 2Bcos sin 4Ccos sin ，02Dcos sin ，04A y1x(0 x 1)，sin 1 cos (0cos 1)，10.sin cos 223(2017 北京高考 )在极坐标系中，点 A 在圆 2cos 4sin 4 0 上，点 P 的坐
5、标为 (1,0)，则 |AP|的最小值为 _21由 2cos 4sin 4 0，得x2 y2 2x4y 4 0，即(x 1)2(y 2)2 1，圆心坐标为 C(1,2)，半径长为 1.点 P 的坐标为 (1,0)，点 P 在圆 C 外又 点 A 在圆 C 上， |AP|min |PC| 1 211.4已知直线 l 的极坐标方程为2sin 2，点 A 的极坐标为4A 2 2，7，则点 A 到直线 l 的距离为 _45 2 由 2sin 222，4 2，得 222 sin 2 cos yx1.7由 A 2 2， 4 ，得点 A 的直角坐标为 (2， 2)点 A 到直线 l 的距离 d|221|52
6、22.已知圆222sin 40，求圆 C 的半径5C 的极坐标方程为 4解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.3名校名 推荐222圆 C 的极坐标方程可化为 2 22sin 2cos 40，2化简，得 2sin 2cos 40.则圆 C 的直角坐标方程为x2y2 2x2y 4 0，即 (x1)2(y1)26，所以圆 C 的半径为6.(对应学生用书第199 页)平面直角坐标系中的伸缩变换x 3x，在平面直角坐标系中，已知伸缩变换：2y y.1(1)求点 A 3， 2 经过 变换所得点 A的坐标；(2)求直线 l：y6x 经过 变换后所得直线
7、l 的方程解 (1)设点 A(x， y )，由伸缩变换x 3x，x3x，：得y2yy，y2，x131，y2 1.32点 A的坐标为 (1， 1)(2)设 P(x ，y )是直线 l 上任意一点x 3x，xx，由伸缩变换 ：得32yy，y2y ，代入 y 6x，x得 2y63 2x，yx 即为所求直线 l 的方程 规律方法 伸 缩变 换后方程的求法 , 平 面上 的曲 线 y f x 在变换 ：4名校名 推荐xx x0 ，x ，y y0的作用下的变换方程的求法是将代入 yf x ，得yy yxf ，整理之后得到 yh x ，即为所求变换之后的方程 .易错警示 ：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的
8、坐标x，y 与变换后的点的坐标 x，y .x21跟踪训练 求椭圆2x 2x，4 y 1，经过伸缩变换后的曲线方程 .y y1解 由 x 2x，y y，【导学号： 97190390】x2x ，得yy.x224x22将 代入4 y1，得4y1，即 x2y21.x2222因此椭圆4 y1经过伸缩变换后得到的曲线方程是xy 1.极坐标与直角坐标的互化(2016 全国卷 )在直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为 (x 6)2y225.(1)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 求 C 的极坐标方程；xtcos ，(2)直线 l 的参数方程是(t 为参数 )，l 与 C 交于 A，B 两
9、点，|AB|ytsin 10，求 l 的斜率解， 可得圆212cos 11 (1)由 x cosy sinC 的极坐标方程为 0.(2)在 (1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为( R)设 A， B 所对应的极径分别为1，2，将 l 的极坐标方程代入C 的极坐标方5名校名 推荐2程得 12cos 110，于是 12 12cos ，12 11.|AB|12|12 2 412 144cos244.2315由|AB| 10得 cos8， tan 3 .所以 l 的斜率为15153或3 .规律方法 1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点(2)以 x 轴的非负
10、半轴为极轴(3)两种坐标系规定相同的长度单位2.极坐标与直角坐标互化的策略1直角坐标方程化为极坐标方程， 只要运用公式 xcos 及 y sin 直接代入并化简即可；2极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，2构造形如 cos ，sin ，的形式，进行整体代换 .跟踪训练 (2018 合肥二检 )在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 4cos .(1)求出圆 C 的直角坐标方程；(2)已知圆 C 与 x 轴相交于 A，B 两点，直线 l：y2x 关于点 M(0，m)(m 0)对称的直线为 l .若直线 l上存在点 P 使得 APB 9
11、0，求实数 m 的最大值解24cos ，即 x2y2 4x0，即圆 C 的标准方程 (1)由 4cos 得 为 (x2)2 y24.(2)直线 l ：y 2x 关于点 M(0，m)的对称直线 l 的方程为 y2x 2m，而 AB 为圆 C 的直径，故直线 l 上存在点 P 使得 APB90的充要条件是直线 l与圆 C 有公共点，故 |42m| 2，解得 2 5m 5 2， 5所以实数 m 的最大值为52.6名校名 推荐极坐标方程的应用(2017 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1
12、 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM| |OP| 16，求点P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；设点的极坐标为2，A，点 B 在曲线 C2 上，求 OAB 面积的最大值(2)3解 (1)设P的极坐标为， ，M的极坐标为1， )(1()( 0)(0)4由题设知 |OP| ， |OM| 1.由 |OM| |OP|16 得 C2 的极坐标方程为 4cos ( 0)因此 C2 的直角坐标方程为 (x2)2y24(x0)B，)(B(2)设点 B 的极坐标为 (0)由题设知 |OA| 2， B4cos ，于是 OAB 的面积1B 3 2 3.S |OA| 2sin sin AOB 4coss
13、in32322当 12时， S 取得最大值2 3.所以 OAB 面积的最大值为2 3. 规律方法 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程， 有助于对方程所表示的曲线的认识， 从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用 . 跟踪 训练 (2017 太 原市质检 ) 已知曲线C1 ： x3 y3 和 C2 ：x6cos ，(为参数 )以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐y2sin 标系，且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线 C1 和 C2 的方程化为极坐标方程；(2)设 C1 与 x，y 轴交于 M，N 两点，且线段 MN 的中点为
14、 P.若射线 OP 与C1，C2 交于 P， Q 两点，求 P，Q 两点间的距离 . 【导学号： 97190391】解 (1)曲线 C1 化为 cos 3sin 3.7名校名 推荐 3 sin 6 2 .22曲线 C2 化为 x6 y2 1.(*)将 xcos ，ysin 代入 (*) 式222 2222得 6 cos 2 sin1，即 (cos3sin) 6.262 .曲线 C2 的极坐标方程为 1 2sin (2) M(3，0)， N(0,1)， P31，2 ，2OP 的极坐标方程为 6，3把 6代入 sin 6 2 得 11， P 1，6 .把 266代入 212sin得 22，Q 2，6 . |PQ| |21|1，即 P， Q 两点间的距离为1.8