《高考数学一轮复习人教B版不等式选讲学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习人教B版不等式选讲学案.docx（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、名校名 推荐 考查角度 2不等式选讲分类透析一解不等式与证明不等式结合例 1 ( 吉大附中 2018 届第四次模拟 ) 已知函数 f ( x) =|x-a|.(1) 当 a=-2 时, 解不等式 f ( x) 16-| 2x- 1|.(2) 若关于 x 的不等式 f ( x) 1的解集为 0,2, 求证 : f ( x) +f ( x+2) 2a.分析 (1) 把 a=-2 代入不等式 , 根据绝对值不等式的解法 , 即可求出不等式的解集 .(2) 通过解绝对值不等式 , 结合不等式的解集确定 a 的值 ; 根据绝对值不等式的解法即可证明 .解析 (1) 当 a=- 2 时, 不等式为 |x+
2、 2|+| 2x- 1| 16.当 x- 2 时, 原不等式可化为 -x- 2- 2x+116, 解得 x-;当 - 2x 时, 原不等式可化为 x+2- 2x+116, 解得 x- 13, 不满足 , 舍去 ;当 x 时, 原不等式可化为 x+2+2x- 116, 解得 x5.综上 , 原不等式的解集为-或.(2) 由 f ( x) 1即|x-a| 1, 解得 a- 1xa+1.因为 f ( x) 1的解集是 0,2,所以-,解得 a=1, 从而 f ( x) =|x- 1|.于是证明 f ( x) +f ( x+2) 2,即证 |x- 1|+|x+ 1| 2.因为 |x- 1|+|x+ 1
3、|=| 1-x|+|x+ 1| | 1-x+x+1|= 2, 所以 |x- 1|+|x+ 1| 2, 即 f ( x) +f ( x+2) 2a, 证毕 . 方法技巧 绝对值不等式的常见解法 :利用绝对值不等式的几何意义求解, 体现了数形结合的思想 ;利用“零点分段法”求解, 体现了分类讨论的思想;通过构造函数 , 利用函数的图象求解 , 体现了函数与方程的思想.分类透析二解不等式与求参数范围例 2 ( 福建省百校 2018 届高三数学冲刺题 ) 已知函数 f ( x) =|x-a|-|x-1|.(1) 当 a=2 时, 求不等式 00 及 f ( x) 1, 求交集可得不等式 00, 得|x
4、- 2|x- 1| , 则|x- 2| 2|x- 1| 2, 即 x2- 4x+4x2- 2x+1, 解得 x .1名校名 推荐 综上 , 不等式 0f ( x) 1的解集为- ,.(2) f(x) =|x-a|-|x- 1| |x-a- ( x- 1) |=|a- 1| , |a - 1| a2- 3.当 a1时, a- 1a2- 3,即 a2-a- 20,a2;当 a1 时,1 -a a2- 3,即 a2+a-40,a-.综上 , a 的取值范围为 - , - 2, + ) .方法技巧 不等式选讲近年来多以考查绝对值不等式为主 , 要能够对参数熟练进行分类讨论或者运用绝对值不等式的几何意义
5、进行求解 . 当不等式两侧都含有绝对值时 , 对不等式两侧分别平方可以避免分类讨论 , 减少计算量 .恒成立问题的解决方法 :(1) f ( x) m恒成立 , 须有 f ( x) maxm恒成立 , 须有 f ( x) minm;(3) 不等式的解集为 R,即不等式恒成立 ;(4) 不等式的解集为空集 , 即不等式无解 .分类透析三解不等式与探索性问题例 3 ( 江西师大附中 2018 届高三测试题 ) 已知函数 f ( x) =+-, 其中a, b 为正实数 .(1) 若 a=b=1, 求不等式 f ( x) 6的解集 .(2) 若 f ( x) 的最小值为 1, 问是否存在正实数 a,
6、b, 使得不等式 a+4b16 成立 ? 若存在 , 求出 a, b 的值 ; 若不存在 , 请说明理由 .分析 (1) 把要解的不等式转化为与之等价的三个不等式组 , 求出每个不等式组的解集 , 再取并集 , 即得所求 ;(2) 利用绝对值三角不等式得到 f ( x) 的最小值 , 再结合均值不等式即可得到结果 .解析 (1)当 a=b=1 时, f ( x) =|x+4|+|x- 1| , 不等式 f ( x) 6等价于-,-,-) - )或) - - )或)- ), 解得- x ,故不等式 f ( x) 6的解集是 -,.(2) 存在正实数 a=8, b=2.f(x) =+ - - -
7、= + =1 ,16,4 416,aba+ b当且仅当 a=4b=8, 即 a=8, b=2 时, 等号成立 .故存在 a=8, b=2, 使得不等式 a+4b16 成立 .2名校名 推荐 方法技巧 含绝对值不等式的解法有两个基本方法 : 一是运用零点分区间讨论 , 二是利用绝对值的几何意义求解 . 法一是运用分类讨论思想 , 法二是运用数形结合思想 , 将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透 , 解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用 .1. (2018 年全国 卷, 文 23 改编 ) 已知 f ( x) =| 2x+1|-|ax-1|.(1) 当 a=2 时, 求不
8、等式 f ( x) 的解集 ;(2) 若 x 0,1) 时不等式 f ( x) 2x 成立 , 求 a 的取值范围 .解析 (1) 当 a=2 时, f ( x) =| 2x+1|-| 2x- 1| ,-,-,即 f ( x) =, -,故不等式 f ( x) 的解集为.(2) 当 x 0,1) 时, | 2x+1|-|ax-1| 2x 成立等价于当 x 0,1) 时, |ax- 1| 1 成立 .若 a0, 则当 x 0,1) 时 , |ax- 1| 1, 所以不等式 |ax- 1|0, |ax- 1| 1 的解集为 0x ,所以 1, 故 08-| 2x- 2| 的解集为 M.(1) 求
9、M.(2) 设 a, bM, 证明 : f ( ab) f (2 a) -f ( - 2b) .解析 (1)将 f ( x) =|x+ 4| 代入不等式整理得 |x+ 4|+|2x- 2| 8.当 x- 4 时, 不等式转化为 -x- 4- 2x+28,解得 x-, 所以此时 x- 4;当- 4x8,解得 x-2, 所以此时 - 4x8,解得 x2, 所以此时 x2.综上 , M= x|x2 .42 42 4 242 2,(2) 因为f(2 )(2 )2|=|a -f- b =|a+ |-|-b+ |a+ + b-a+ b|所以要证 f ( ab) f (2 a) -f ( - 2b),只需证
10、 |ab+4| 2a+2b| ,22即证 ( ab+4) (2 a+2b) ,2222即证 a b +8ab+164a +8ab+4b ,即证 ( a2- 4)( b2- 4) 0.因为 a, bM, 所以 a24, b24,3名校名 推荐 22所以 ( a - 4)( b - 4) 0 成立 ,3. (2017 年全国 卷, 文 23 改编 ) 已知 a0, b0, a2+b2=a+b.证明 :(1)( a+b) 22 a2+b2);(2)( a+1)( b+1) 4.解析 (1) 因为 ( a+b) 2- 2( a2+b2) =2ab-a2-b 2=-( a-b) 20, 所以 ( a+b
11、) 22 a2+b2) .(2) 由(1) 及 a2+b2=a+b得 a+b2, 因为 ab, b0, 所以 00), 求 + 的取值范围 .解析 (1) 由 f ( x) 1, 即| 2x+1| 1? - 12x+11, 解得 - 1x0, 故不等式的解集为 x|- 1x0 .(2) g( x) =f ( x) +f ( x- 1) =| 2x+1|+| 2x- 1| | 2x+1- (2 x- 1) |= 2, a+b=2( a, b0), + = ( a+b)= ,当且仅当 = ?2 , 即a=, b= 时等号成立 .a= b综上 , + 的取值范围为,.4名校名 推荐 3. ( 山西省
12、太原市 2018 届高三模拟题 ) 设函数 f ( x) =|x+ 2|+|x- 1|.(1) 求 f ( x) 的最小值及取得最小值时 x 的取值范围 ;(2) 若关于 x 的不等式 f ( x) +ax-10 的解集为 R,求实数 a 的取值范围 .解析 (1) 函数 f ( x) =|x+ 2|+|x- 1| |x+ 2- ( x- 1) |= 3, 当且仅当( x+2)( x- 1) 0时, 等号成立 .函数 f ( x) =|x+ 2|+|x- 1| 的最小值为 3,此时 x 的取值范围为 x|- 2x1 .(2) 当不等式 f ( x) +ax-10 的解集为 R 时, 函数 f
13、( x) -ax+1 恒成立 ,即 f ( x) 的图象恒位于直线 y=-ax+1 的上方 .-,-,函数 f ( x) =|x+ 2|+|x- 1|=, -,而函数 y=-ax+1 表示过点 (0,1),斜率为 -a 的一条直线 .如图所示 , 当直线 y=-ax+1 过点 A(1,3) 时,3 =-a+1, a=- 2; 当直线 y=-ax+1 过点 B( - 2,3) 时,3 =2a+1, a=1.由数形结合可得 a 的取值范围为 ( - 2,1) .4. ( 湖北师大第一附属中学2018 届高三 5 月押题 ) 已知函数 f ( x) =| 2x- 1|-a ( aR).(1) 若 f
14、 ( x) 在 - 1,2 上的最大值是最小值的2 倍, 解不等式 f ( x) 5;(2) 若存在实数 x 使得 f ( x) f ( x+1) 成立 , 求 a 的取值范围 .解析 (1) x- 1,2,f(x) =f=-a, f ( x)=f ( - 1) =f (2) =3-a ,minmax 3-a=- 2a, 解得 a=-3.由不等式 f ( x) 5, 即 | 2x- 1| 2,解得 x 或 x- ,故不等式 f ( x) 5的解集为或-.(2) 由 f ( x) | 4x- 2|-| 2x+1| ,令 g( x) =| 4x- 2|-|2x+1| , 问题转化为 ag( x) min.-,- ,又 g( x) = -, -,- ,故 g( x) min =g=-2, 则2a- .5名校名 推荐 实数 a 的取值范围为 ( - 2, +) .6