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1、名校名 推荐第 2 讲小题考法 圆锥曲线的性质一、主干知识要记牢圆锥曲线的定义、标准方程和性质名称椭圆定义|PF1| |PF 2|2a(2a|F1F 2|)标准x2y2方程a2 b2 1(ab0)图形轴长轴长 2a，短轴长 2b几何cb2性离心率ea1a2(0 e1)质渐近线二、二级结论要用好1 椭圆焦点三角形的3 个规律双曲线|PF 1| |PF2| 2a(2a0， b0)实轴长 2a，虚轴长 2bc1b22e aa(e1)by ax抛物线|PF | |PM |，点 F 不在直线 l 上， PM l 于 My2 2px(p0)e 1设椭圆方程是x2y2 1(ab0) ，焦点 F 1(c,0)
2、， F 2(c， 0)，点 P 是椭圆上一点且点 P2 2ab的坐标是 (x0， y0)(1)三角形的三个边长是|PF 1| aex0， |PF 2| a ex0， |F1 F2|2c， e 为椭圆的离心率2(2)如果 PF 1F 2 中 F1PF2 ，则这个三角形的面积S PF1F2 c|y0| b tan2(3)椭圆的离心率sin F 1PF 2e sin F1F 2P sin F2F1P2 双曲线焦点三角形的2 个结论22P(x0， y0)为双曲线xy上的点， PF1F 2 为焦点三角形2 2 1(a0 ， b0)ab(1)面积公式1名校名 推荐1r1r2 sin b2S c|y0|(
3、其中 |PF 1| r1， |PF2 | r2 ， F 1PF 2 )2tan 2(2)焦半径若 P 在右支上， |PF 1| ex0 a， |PF 2|ex0 a；若 P 在左支上， |PF 1| ex0 a， |PF2| ex0 a3 抛物线 y2 2px(p0)焦点弦 AB 的 4 个结论2(1)xA xB p；4(2)yA yB p2；(3)|AB |2psin2 ( 是直线 AB 的倾斜角 )；(4)|AB | xA xB p4 圆锥曲线的通径2b2(1)椭圆通径长为a ；22b(2)双曲线通径长为；a(3)抛物线通径长为2p5 圆锥曲线中的最值(1)椭圆上两点间的最大距离为2a(长
4、轴长 )(2)双曲线上两点间的最小距离为2a(实轴长 )(3)椭圆焦半径的取值范围为 a c，a c， a c 与 a c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短三、易错易混要明了1利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a|F 1F 2|.如果不满足第一个条件， 动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支2解决椭圆、双曲线、抛物线问题时，要注意其焦点的位置3直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解
5、，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式 0 的限制尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式 0”；在解决交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“0”下进行2名校名 推荐考点一圆锥曲线的定义与标准方程求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2， b2 或 p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为 y2 ax 或 x2 ay(a 0)，椭圆常设为 mx2 ny2 1(m0， n0) ，双曲线常设为mx2 ny2 1(mn0) 2x21 (2018
6、 邵阳模拟 )设点 P 是双曲线 y 1 上一点， A(0， 2)，B(0,2)， |PA| |PB|38， |PA| 4，则 |PB| (C)3A 2B 27C3D 2解析由于 |PA| 4,所以 |PB| 4, 故 |PA| |PB| 2a 2，由于 |PA| |PB| 8, 解得 |PB|3, 故选 Cx2y2F( c,0)(c 0)，右2 (2018 珠海模拟 )已知双曲线 M： 22 1(a 0， b0)，其焦点ab顶点 A(a,0)到双曲线 M 的一条渐近线距离为12，以点 A 为圆心， c 为半径的圆在 y 轴所截弦5长为 8，则双曲线 M 的方程为 ( A )222y2A x
7、y 1B x1916169Cx2 y2 9D x2 y2 1612|ab|解析因为右顶点 A(a， 0)到双曲线 M 的一条渐近线距离为 5 ，所以a2 b212.圆的方程为 (x a)2 y2 c2，令 x 0 得， y b， 2b 8. b 4.又因为 a2 b2 c2，5c 5， a 3，故选 A 223 (2018 水中学押题卷衡)已知椭圆 x y 1 的两个焦点是 F1， F2，点 P 在该椭圆上，42若|PF 1| |PF2 | 2，则 PF 1F 2 的面积是 _2_3名校名 推荐解析由椭圆的方程可知a 2， c2，且 |PF1 | |PF 2| 2a4，又 |PF1 | |PF
8、 2| 2，所以 |PF 1| 3， |PF 2| 1又 |F1F2| 2c 2 2，所以有 |PF 1|2 |PF 2|2 |F 1F 2|2，即 PF1F2 为直角三角形，且 PF 2F 1 为直角，112 1 2所以 S PF 1F2 |F1F 2|PF 2| 222考点二圆锥曲线的几何性质1 椭圆、双曲线离心率(离心率范围 )的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用 a，c 代换，求 c的值a2 双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1 改为零，分解因式可得ba(2)用法：可得或 的值；利
9、用渐近线方程设所求双曲线的方程x2y21 (2018 齐鲁名校联考 )在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 a2 b2 1(a b0) 的上、下顶点分别为B1、B2，左顶点为 A，左焦点为 F ，若直线 AB1 与直线 B2F 互相垂直，则椭圆的离心率为 (C )A 2 1B3 122C5 1D5 222解析依题意，直线bb22AB1 与直线 B2F 互相垂直， kAB1kB2F 1， b ac，aa c c2ac， e2 e 1 0， e 51，故选 C 22(2018 三湘教育联盟联考)已知 P(3，6)为双曲线2y2C：x2 1 上一点，则点 P 到b双曲线 C 的渐近线的距离为 (B
10、)A 3 6B3 6或3 62224名校名 推荐C3 6D 3 6或6 3222解析由题意知， 3 62解得 b23，则双曲线C 的渐近线方程为3xy 0，所以b 1P(3， 6)到3xy0 的距离为 |3 3 6|或|33 6|，即36或 36，故选 B 3 2 13 2 122y2x23(2018 郴州二模 )已知双曲线 m9 1 的一个焦点在直线x y 5 上，则双曲线的渐近线方程为 (B)34A y xB y x432232Cy 3 xD y 4 xx2y2解析根据题意，双曲线的方程为9 m 1，则其焦点在 x 轴上，直线 x y5 与 x 轴交点的坐标为(5,0)，则双曲线的焦点坐标
11、为(5,0)，则有 9 m 25，解可得， m16，则双曲2y24线的方程为x 1，其渐近线方程为y x，故选 B 9163x2y24 (2018 株洲二检 )已知双曲线 C：a2 b2 1 的右焦点为 F ，其中一条渐近线与圆 (xc)2 y2 a2(c2a2 b2，c 0)交于 A，B 两点， ABF 为锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围是 (D)6，B (2， )A 2C(1， 2)D6， 2222解析双曲线 C： x2 y2 1 的右焦点为 F(c,0)，一条渐近线方程为bx ay0，圆 (xabc)2 y2 a2(c2a2 b2， c 0)的圆心 (c,0)，半径为a，渐近线
12、与圆交于A， B 两点， ABF为锐角三角形，可得：a|bc|22b2122222122a，可得 a2a ，又 c a b，b a，可得a2 b2223 2可得 e6222.所以双曲线C 的离心率的取值范围是6c2a2，由 a b 可得 e2， 2 .故选 D 考点三直线与圆锥曲线的位置关系及简单应用处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1) 注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直5名校名 推荐关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴( 短轴 )，与双曲线的实轴(虚轴 )的关系；圆与过定点的直线、双曲线的
13、渐近线、抛物线的准线的位置关系等1 (2018 南联考河 )已知直线y kx t 与圆 x2 (y 1)2 1 相切且与抛物线C： x2 4y交于不同的两点 M， N，则实数 t 的取值范围是 ( A )A (， 3)(0 ， )B (， 2) (0， )C( 3,0)D ( 2,0)解析 因为直线与圆相切，所以|t 1| 1，即 k2 t2 2t.将直线方程代入抛物线方程1 k2并整理得x2 4kx 4t 0，于是 16k2 16t 16(t2 2t) 16t0，解得 t0 或 t3.故选 A 2x22经过椭圆 2 y 1 的一个焦点作倾斜角为45的直线 l，交椭圆于A，B 两点设 O为坐标
14、原点，则OAOB等于 (B)1A 3B 3C11或 3D 33解析依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为 y0 tan 45(x 1)，即x221并整理得24yx 1，代入椭圆方程 y3x 4x 0，解得 x 0 或 x ，所以两个交点23坐标分别为(0， 1)，4，1 133， OAOB ，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可3 1 1得OAOB3.故 OAOB的值为33(2018 湖北联考 )抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，直线 yx 与该抛物线交于 O、A 两点 (O为坐标原点 )，与抛物线的准线交于B 点，直线 AF 与抛物线的另一交点为C，则 cos ABC
15、 _ 2_ 2y x， ? A(4,4)， y x，? B( 1，1) ，AF ：y4 04解析y 3 x 1 ，y2 4xx 14 1(x 1)， 2y 4x12? C， 1 ABC4， cos ABC244 (2018 唐山一模 )已知 P 为抛物线 y2 x 上异于原点 O 的点， PQ x 轴，垂足为 Q，|PQ |3过 PQ 的中点作 x 轴的平行线交抛物线于点M，直线 QM 交 y 轴于点 N，则|NO| _2 _6名校名 推荐解析如图，设22,，P(t， t)，则 Q(t 0)2， t2PQ 中点 H tt ， t，2 .M4 2t 022直线 MQ 的方程为：y 2(x t )，令 x 0，可得 yN2t，则 |PQ| t 33|NO| 2t 237