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1、名校名 推荐 考查角度 1直线与圆锥曲线的位置关系分类透析一直线与圆锥曲线的位置关系问题例 1 已知直线 x- 2y+2=0 与圆 C: x2+y2- 4y+m=0 相交 , 截得的弦长为 .(1) 求圆 C的方程 .(2) 过原点 O作圆 C的两条切线 , 与抛物线 y=x2 相交于 M, N两点 ( 异于原点 ), 证明 : 直线 MN与圆 C相切 .(3) 若抛物线 y=x2 上任意三个不同的点 P, Q, R, 满足直线 PQ和 PR 都与圆 C相切 , 判断直线 QR与圆 C的位置关系 , 并加以证明 .分析 (1) 利用弦长的一半、 半径、弦心距构成直角三角形及勾股定理求出圆 C的
2、半径 ;(2) 由于切线过原点 , 可设切线方程为 y=kx, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求 k, 再联立切线与抛物线方程 , 求出 M, N两点的坐标 ,得出 MN的方程 , 然后证明圆心 C到 MN的距离等于半径 ;(3) 由三点在抛物线上 , 可设 P( a, a2), Q( b, b2), R( c, c2), 用 a, b, c表示圆心 C到直线 QR的距离 d, 由直线 PQ和 PR都与圆 C相切 , 得到 a, b, c 的关系式 , 再代入 d, 即可得直线 QR与圆 C相切 .解析 (1) 圆心 C的坐标为 (0,2),圆心 C到直线 x- 2y+2=0 的距离为 d=
3、-= .-2截得的弦长为, r=+=1,圆 C的方程为 x2 +( y- 2) 2=1.(2) 设过原点 O的切线方程为y=kx, 即 kx-y= 0,-=1, 解得 k=.过原点 O的切线方程为 y=x.不妨设 y=x 与抛物线的交点为M,则解得或( 舍去 ), 故 M(,3), 同理可求得 N( -,3),直线 MN的方程为 y=3.圆心 C(0,2) 到直线 MN的距离为 1 且圆 C的半径为 1, 直线MN与圆 C相切 .(3) 直线 QR与圆 C相切 . 证明如下 :1名校名 推荐 设 P( a, a2 ), Q( b, b2), R( c, c2), 则直线 PQ, PR, QR的
4、方程分别为 PQ:( a+b) x-y-ab= 0, PR:( a+c) x-y-ac= 0, QR:( b+c) x-y-bc= 0.PQ是圆 C的切线 , -=1, 化简得 ( a2- 1) b2+2ab+3-a 2=0.PR是圆 C的切线 , 同理可得 ( a2- 1) c2+2ac+3-a 2=0.则 b, c 为方程 ( a2- 1) x2+2ax+3-a 2=0 的两个实根 ,b+c=-, bc= -.-圆心到直线 QR的距离为 d= - -=-=1,-且圆 C的半径为 1,直线 QR与圆 C相切 .方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题 , 可以借助代数法进行判断 , 而对于
5、直线与圆的位置关系问题 , 则可以借助几何法进行判断 .分类透析二直线与圆锥曲线的交点问题2(1) 设抛物线上任意一点 P( m, n), 求证 : 以 P为切点 , 与抛物线相切的切线方程是 mx=y+n.(2) 若过动点 M( x0,0)( x00 的直线 l 与抛物线 C相切 , 试判断直线 MF与直线 l 的位置关系 , 并予以证明 .分析 (1) 利用导数求出抛物线的切线( 或把直线与曲线的方程联立 , 消去 x( 或 y) 建立一元二次方程 , 利用判别式等于 0 求出斜率 ;(2) 分别求出直线 MF与直线 l 的斜率 , 找出其斜率的关系 , 即可得解.解析 (1) 由抛物线
6、C: x2=2y, 得 y= x2, 则 y=x ,在点 P( m, n) 处切线的斜率 k=m,2切线方程是 y-n=m( x-m), 即 y-n=mx-m.又点 P( m, n) 是抛物线上的一点 ,2m=2n,切线方程是 mx-2n=y-n, 即 mx=y+n.(2) 直线 MF与直线 l 的位置关系是垂直 . 证明如下 :由 (1) 得, 设切点为 P( m, n), 则切线 l 的方程为 mx=y+n,切线 l 的斜率 k=m, 点 M.又点 F,2名校名 推荐 -此时 , kMF=-=-=-,-kkMF=m -=- 1,直线 MF直线 l.方法技巧直线与圆锥曲线的位置关系问题可以转
7、化为相应方程组的解来讨论 , 即联立方程组通过消去 y( 或消去x) 得到关于 x( 或 y) 的方程 ax2+bx+c=0( ay2+by+c=0), 然后进行讨论 . 这时要注意考虑 a=0 和 a0两种情况 , 对双曲线和抛物线而言 , 一个公共点的情况除 a0 =0 外, 直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时, 都只有一个交点 ( 此时直线与双曲线、 抛物线属相交情况 ) . 由此可见 , 直线与圆锥曲线只有一个公共点, 并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.分类透析三弦长问题例 3 设椭圆 E:+=1( ab0) 的短轴为 2, E上一点 P到右焦点距离的最小值为1.(
8、1) 求椭圆 E 的方程 ;(2) 过点 (0,2) 且倾斜角为 60的直线交椭圆 E 于 A, B 两点 , 求 AOB的面积 .分析 (1) 根据已知条件寻找a, c 的关系 , 进而解出 a, c 及 b的值 ;(2) 先求出弦长 |AB| , 再求出点 O到直线的距离可求 AOB的面积 .解析 (1)由题意得 b=-, 且 a-c=1, -解得椭圆 E 的方程为 + =1.(2) 过点 (0,2) 的直线的方程为 y= x+2,代入椭圆方程+=1, 可得 15x2+16x+4=0, 判别式 0 恒成立 .3名校名 推荐 设 A( x1, y1), B( x2, y2), 则 x1+x2
9、=-, x1x2=, AB =|x 1-x 2|=2-=.由点 O到直线 AB的距离 d=1,SAOB=d=.方法技巧 解决直线与圆锥曲线的相交弦长问题时 , 一方面 , 我们要注意运用解析几何的基本思想方法 ( 即几何问题代数化 ), 把它转化为代数问题 , 通过代数的计算 , 使问题得到解决 ; 另一方面 , 由于弦长问题和平面几何联系得非常紧密 , 因此 , 我们要勤动手 , 准确地作出图形 , 并充分挖掘几何图形中所隐含的条件 , 利用几何知识使问题较为简捷地得到解决 , 注意圆锥曲线的几何性质的运用 .1. (2018 年全国 卷, 文 20 改编 ) 设抛物线 C: y2=2px(
10、 p0) 的焦点为 F,过 F 且斜率为 1 的直线 l 与 C交于 A, B 两点 , |AB|= 8.(1) 求抛物线 C的方程 ;(2) 求过点 A, B 且圆心到直线 l 的距离为 2 的圆的方程 .解析 (1) 由题意得 F, 直线 l 的方程为 y=x- . 设A( x1, y1 ), B( x2, y2),由-得 x2- 3px+=0.又 =8p2 0, 故 x1+x2=3p.所以 |AB|=|AF|+|BF|=+=4p.由题意知 4p=8, 解得 p=2,所以抛物线 C的方程为 y2=4x.(2) 因为圆心到直线 l 的距离为 2, |AB|= 8, 易得圆的半径r= 2.由
11、(1) 得直线 l 的方程为 y=x- 1, AB的中点坐标为 (3,2), 所以 AB的垂直平分线方程为 y- 2=-( x- 3), 即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为 ( x0, y0), 则4名校名 推荐 -解得或因此所求圆的方程为 ( x- 5) 2+y2=24 或( x- 1) 2+( y- 4) 2=24.2. (2016 年全国 卷, 文 20改编 ) 已知椭圆 E: + =1 的焦点在 x 轴上 , 椭圆 E的左顶点为 A, 斜率为 k( k0) 的直线交椭圆 E于 A, B 两点 , 点 C 在椭圆 E 上, ABAC, 直线 AC交 y 轴于点 D.(1) 当点 B
12、为椭圆的上顶点 ABD的面积为 2ab 时, 求椭圆的离心率e;(2) 当 b= ,2 |AB|=|AC| 时, 求 k 的取值范围 .解析 (1) 由题意知 , 直线 AB的方程为 y= x+b, 直线 AC的方程为 y=- ( x+a), 令 x=0, 得 y=- .又 S = a=2ab, ABD于是 a2+b2=4b2 , a2=3b2, 所以 e= =.(2) 设直线 AB的方程为 y=k( x+a),联立整理得 (3 +a2k2) x2+2a3k2x+a4k2- 3a2=0, 解得x=-a 或 x=- ,所以 |AB|= -=.设直线 AC的方程为 y=- ( x+a),同理可得
13、|AC|=.因为 2|AB|=|AC| , 所以 2=, 整理得 a2 =- .-因为椭圆 E 的焦点在 x 轴上 , 所以 a23, 即-3,-5名校名 推荐 整理得-0, 解得kb0) 的离心率为 , 右焦点 F(1,0) .(1) 求椭圆 C的方程 ;(2) 点 P 在椭圆 C上, 且在第一象限内 , 直线 PQ与圆 O: x2+y2=b2 相切于点 M, 且 OPOQ,求点 Q的纵坐标 t 的值 .解析 (1) 由题意得= , c=1,a=2, b=-=,椭圆 C的方程为+=1.(2) 当 PQx 轴时 , P,(,t),Q由 OPOQ得 =0, 可得 t=- 2 .当 PQ不垂直于
14、x 轴时 , 设 P( x0, y0),直线 PQ的方程为y-y 0=k( x-x 0), 即 kx-y-kx 0+y0=0.PQ与圆 O相切 , -=, ( kx0-y 0 ) 2=3( k2+1), 2kx0y0=k2 + - 3k2- 3.又 Q(-, t ),由=0, 得 t=-.2-=-t=-6名校名 推荐 =12,-t= 2.综上可得 , t= 2.2. (2018 届贵州省黔东南州一模 ) 已知椭圆 C:+=1( ab0) 的左、右焦点分别为 F1、F2, 上顶点为 A, 动直线 l : x-my-1=0( mR 经过点 F2,且 AF1F2 是等腰直角三角形 .(1) 求椭圆
15、C的方程 ;(2) 设直线 l 交 C于 M, N两点 , 若点 A在以线段 MN为直径的圆外 , 求实数 m的取值范围 .解析 (1) 因为直线 l : x-my-1=0 经过点 F2, 所以 c=1.又 AF1F2 是等腰直角三角形 , 所以 a2+a2=(2 c) 2, 所以 a2=2, 所以 b2=a2-c 2=1.故椭圆C的方程为2 1+y = .(2)设 M( my+1, y ), N( my+1, y ),1122-消去 x 得22联立-( m+2) y +2my-1=0,所以 y1+y2=-, y1y2=-.因为点 A 在以线段 MN为直径的圆外等价于0,所以22(1)-=(
16、m+1) y1y2+( m-1)( y1+y2) +2=( m+1) -+ m-2解得 - 1m0, 所以 m- 2m-3r, 此时不满足直线与圆相交 , 故舍去 ,圆 C的方程为 ( x- 2) 2+( y- 1) 2=5.(3) 点 B(0,2) 关于直线 x+y+2=0 的对称点为 B ( - 4, - 2), 则|PB|+|PQ|=|PB|+|PQ| |BQ|.又点 B 到圆上点 Q的最短距离为|BC|-r=-=3-=2, PB + PQ 的最小值为 2 , 直线 BC 的方程为 y= x, 则直线 BC 与直线 x+y+2=0 的交点 P 的坐标为 - - .4. ( 安徽省马鞍山市
17、 2018届高三第二次教学质量监测) 直线 y=kx+4 与抛物线 C: x2=2py( p0) 交于 A, B 两点 , 且=0, 其中 O为原点 .(1) 求抛物线 C的方程 ;(2) 当 k=0 时, 过点 A, B 分别作 C的切线相交于点 D, 点 E 是抛物线 C 上在 A, B之间的任意一点 , 抛物线 C在点 E处的切线分别交直线 AD和BD于点 P 和 Q, 求 ABE与 PQD的面积之比 .解析 (1) 设 A( x1, y1), B( x2, y2), 将 y=kx+4 代入 x2=2py, 得 x2- 2pkx- 8p=0.其中 0, x1+x2=2pk, x1x2=-
18、8p.8名校名 推荐 所以=x1x2+y1y2=x1x2+=- 8p+16.由 - 8p+16=0, 得 p=2.所以抛物线 C的方程为 x2=4y.(2) 当 k=0 时, A( - 4,4), B(4,4), 易得抛物线 C在点 A, B 处的切线方程分别为 y=- 2x- 4, y=2x- 4, 从而得 D(0, - 4) .设 E(2 a, a2)( - 2a2), 则抛物线 C在 E 处的切线方程为 y=ax-a2,设直线 PQ与 y 轴的交点为 M, 则 M(0, -a 2) .由 y=ax-a2 和 y=- 2x- 4 联立解得交点 P( a- 2, - 2a), 由 y=ax-a2 和 y=2x- 4 联立解得交点 Q( a+2,2 a),所以 S PQD= |DM|x P-x Q|= |-a2- ( -4) |( a- 2)2- ( a+2) |= 2| 4-a | ,S ABE= |AB|y E- 4|= 8 a 2- 4|=4| 4-a 2|.所以 ABE与 PQD的面积之比为 2.9