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1、名校名 推荐坐标系与参数方程 全国卷 3年考情分析 年份全国卷全国卷全国卷极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互参数方程与直角坐标方程参数方程与普通方程的互2018化、曲线方程的求解的互化、参数方程的应用化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互直 角 坐 标 与 极 坐 标 的 互直线的参数方程与极坐标2017化、动点轨迹方程的求法、方程、动点轨迹方程的求化、点到直线的距离参数方程与普通方程的互2016化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用三角形面积的最值问题法极坐标方程与直角坐标方参数方程、极坐标方程及程的互化及应用、直线与点到直线的距离、三角函圆的位置关系数的最值(1) 坐标系与参数方程
2、是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用(2) 全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用考点一极坐标保分考点练后讲评1. 极坐标方程化直角坐标方程 (2018 全国卷 ) 在直角坐标系1xOy 中，曲线 C 的方程为y |x| 2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2 的极坐标方kC程为 2 2cos 3 0.(1) 求 C2 的直角坐标方程；(2) 若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求C1 的方程解： (1) 由 x cos ，y sin
3、得 C2 的直角坐标方程为( x 1) 2 y2 4.(2) 由 (1) 知 C2 是圆心为 A( 1,0) ，半径为 2 的圆由题设知， C1 是过点 B(0,2) 且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点 B 在圆 C2 的外面， 故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于l 1 与 C2 只有一个公共点且 l 2 与 C2 有两个公共点，或l 2 与 C2 只有一个公共点且l 1 与 C2 有两个公共点| k 2|当 l 1 与 C2 只有一个公共点时，点A 到 l 1 所在直线的距离为2，所以k2 1 2，故 k4 3或 k0.经检验
4、，当k0 时， l 1 与 C2 没有公共点；1名校名 推荐当 k4时， l 1 与 C2 只有一个公共点，l 2 与 C2 有两个公共点3当 l 2 与 C2 只有一个公共点时， 点 A 到 l 2 所在直线的距离为| k 2|2，所以 2，故 k 0k2 14或 k 3.经检验，当k0 时， l 1 与 C2 没有公共点；4当 k 时， l 2 与 C2 没有公共点34综上，所求C1 的方程为 y 3| x| 2.2. 直角坐标方程化极坐标方程13)2在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为 ( x23( y 2) 4，直线 C2 的方程为 y 3x，以 O为极点，以 x 轴的正半
5、轴为极轴建立极坐标系求曲线 C1 和直线 C2 的极坐标方程解：曲线1 的普通方程为 (x3) 2 (y 2) 24，C即 x2 y22 3x 4y 3 0，曲线 C1 的极坐标方程为 223cos 4 sin 3 0.3直线 C2 的方程为 y 3 x，直线 C2 的极坐标方程为 6 ( R)3. 极坐标方程的应用 (2017 全国卷 ) 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程为 cos 4.(1)M为曲线1 上的动点，点P在线段上，且满足 | | | 16，求点P的轨迹COMOM OPC2 的直角坐标方程；(2) 设点 A 的极坐标
6、为 2， 3 ，点 B在曲线 C2 上，求 OAB面积的最大值解： (1) 设 P 的极坐标为 ( ， )( 0) ， M的极坐标为 ( ， )( 0) 11由题设知 | | ， | 14.OPOMcos 由 | OM|OP| 16，得 C 的极坐标方程 4cos ( 0) 2因此 C2 的直角坐标方程为( x 2) 2 y2 4( x0) (2) 设点 B 的极坐标为 ( B， )( B 0) ，由题设知 | OA| 2， B 4cos ，于是 OAB面积2名校名 推荐S 1| OA| Bsin AOB4cos sin 2sin2 3.2332当 12时， S取得最大值 2 3.所以面积的最
7、大值为2 3.OAB 解题方略 1直角坐标与极坐标方程的互化(1) 直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x cos ，y sin 代入即可(2) 极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造2， sin ， cos ，常用的技巧有式子两边同乘以 ，两角和与差的正弦、余弦展开等2求解与极坐标有关的问题的主要方法(1) 直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用；(2) 转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标 .考点二参数方程保分考点练后讲评1. 普通方程化参数方程 在极坐标系中， 曲线 C的极坐标方程为 sin2 cos 0，M 1，. 以极点 O为原点
8、，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系斜率为1 的直线 l 过2点 M，且与曲线 C交于 A， B两点求曲线 C和直线 l 的参数方程解：由 sin 2 cos 0 得 2sin 2 cos ， y2 x，故曲线 C的直角坐标方程为 y2 x.x t 2，故曲线 C的参数方程为( t 为参数 ) ，y t由题意， M的直角坐标为 (0,1)，3，x t cos则直线 l 的参数方程为4( t 为参数 ) ，y 1t sin342x 2 t ，即( t 为参数 ) 2y 1 2 t2. 参数方程化普通方程 (2018 全国卷) 在直角坐标系xOy中，曲线 C的参数方程为3名校名 推荐x 2cos
9、，x 1 t cos，y 4sin( 为参数 ) ，直线 l 的参数方程为y 2 t sin( t 为参数 ) (1) 求 C和 l 的直角坐标方程；(2) 若曲线 C截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2) ，求 l 的斜率解： (1)曲线 C的直角坐标方程为 x2 y2 1.当 cos 0时， l 的直角坐标方程为y416tan 2 tan ，x当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为x 1.(2) 将 l的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 (1 3cos 2 ) t 24(2cos sin ) t 8 0. 因为曲线 C截直线 l 所得线段的中点(1,2) 在 C
10、内，所以有两个解，设为t 1，t 2，则 t 1 t 20.又由得 t 1 t 2 sin2，1 3cos 故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率 k tan 2. 解题方略 参数方程化为普通方程消去参数的方法(1) 代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法(2) 三角恒等式法： 利用 sin 2 cos 2 1 消去参数， 圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法(3) 常见消参数的关系式：1 t t 1；1 21 2 t t t t4；2t21 t 22 1. 1 t 2 1 t 2考点三极坐标与参数方程的综合应用增分考点广度拓展 分点
11、研究 题型一直线的参数方程中参数几何意义的应用 例 1(2019 届高三湖北五校联考) 在平面直角坐标系xOy中，曲线 C1 过点 P( a, 1) ，4名校名 推荐2 tx a2，其参数方程为( t 为参数， a R)以 O为极点， x 轴正半轴为极轴，y 12t2建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为cos 2 4cos 0.(1) 求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；(2) 已知曲线C1 与曲线 C2 交于 A， B 两点，且 | PA| 2| PB| ，求实数 a 的值x a2t ，2 解 (1) 曲线 C1 的参数方程为( t 为参数， a R)，y 12t2曲线
12、C 的普通方程为xy a 10.122 0，曲线 C 的极坐标方程为cos 4cos222 cos 4 cos 0， x2 4x x2 y2 0，即曲线 C2 的直角坐标方程为y2 4x.(2) 设 ，B两点所对应的参数分别为t1，2，Aty24x，2 t由xa2，得 t 2 2 2t 2 8a 0.2 ty 12， ( 2 2) 2 4(2 8a)0 ，即 a0，t 1 t 2 22，t 1 t 22 8a，根据参数方程中参数的几何意义可知| PA| | t 1| ， | PB| | t 2| ，由 | PA| 2| PB| 得 t 1 2t 2 或 t 1 2t 2，当 t 12t 2 时
13、，有1t t 3t 22，1222t 1 t 2 2t 2 2 8a，解得 a 360，符合题意，当 t 1 2t 2 时，有t 1 t 2 t 222，2t 1 t 2 2t 2 2 8a，5名校名 推荐9解得 a 40，符合题意1 9综上所述， a36或 a 4. 变式 1本例 (2) 的条件变为 | PA| PB| 6. 求实数 a 的值解：由本例解析知| PA| |PB| | t 1| t 2| | t 1t 2| |2 8a| 6，1解得 a 1 或 . 又 a0， a 1. 变式 2x2t ，若本例曲线 C1 变为过点 P(0 ， 1) ，其参数方程为( t 为参y 1 2t数)
14、，其他条件不变，求| PA| | PB|.2x 2 t ，代入曲线 C2 的方程 y2 4x 得 t 2解：曲线 C1 的参数方程化为2y 1，2 t6 2t 2 0.t 1 t 2 62，设 A，B 对应的参数分别为t 1， t 2，则t 1t 2 2， t 10，t 20. | PA| | PB| | t 1| | t 2| | t 1 t 2| 62. 解题方略 利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点 P( x ， y) ，倾斜角为x x0 t cos ， 的直线 l 的参数方程为( t 为参00y y0 t sin 数) 若，为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，2，线段的
15、中点为，点所对A BtABMM应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：t 1 t 2(1) t 0；2(2)|PM| | t 0| t 1 t 22；(3)|AB| | t 2 t 1| ；(4)| | | |t12|.PAPBt6名校名 推荐题型二极坐标方程中极径几何意义的应用x 1 cos ， 例 2在平面直角坐标系xOy中，圆 C的参数方程为( 为参数 ) ，y sin以坐标原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1) 求圆 C的极坐标方程；(2) 直线l的极坐标方程是 2 sin 33，射线： 与圆C的交点为， 3OM3OP，与直线 l的交点为 Q，求线段 PQ的长x
16、1 cos ， 解 (1) 由圆 C的参数方程为 ( 为参数 ) ，y sin 可得圆 C的直角坐标方程为( x 1) 2y2 1，即 x2 y2 2x0.由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得，圆 C的极坐标方程为 2cos . ，1，3得 P，(2) 由3 2cos 0 ， 3得 Q3，由3 ，2 sin 33 3结合图可得 | PQ| |OQ| OP| | Q| | P| 3 1 2. 解题方略 极径的几何意义及其应用(1) 几何意义：极径 表示极坐标平面内点 M到极点 O的距离(2) 应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题
17、 多练强化 1 (2019 届高三湖北八校联考) 在平面直角坐标系xOy中，曲线1 的参数方程为Cx 3cos ，( 为参数 ) ，以原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲y sin 线 C 的极坐标方程为 2. sin 42(1) 求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程；(2) 设 P 为曲线 C1 上的动点，求点P到 C2 的距离的最大值，并求此时点P 的坐标7名校名 推荐x22解： (1) 曲线 C1 的普通方程为3 y 1，由 sin 42，得 sin cos 2，得曲线 C2 的直角坐标方程为xy 2 0.(2) 设点 P 的坐标为 (3cos ， si
18、n ) ，|3cos sin 2|2sin 3 2则点 P到 C2 的距离为2，2当 sin 3 1，即 3 2 2k( k Z) ，5 6 2k ( k Z) 时，所求距离最大，最大值为2 2 ，3 1此时点 P 的坐标为 2， 2 .x 2cos t ，2(2018 南昌模拟 ) 在平面直角坐标系xOy中，曲线 C的参数方程为y 2sint 2( t 为参数 ) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1) 求曲线 C的极坐标方程；2(2) 若直线 l 1，l 2 的极坐标方程分别为1 6 ( 1 R)， 23 ( 2 R)，设直线 l 1，l 2 与曲线 C的交点分别为O， M和 O， N，求 OMN的面积解： (1) 由参数方程x 2cost ，得普通方程为 x2 ( y 2)2 4，y 2sint 2x cos ，代入 x2( y 2) 2 4，得 2 4sin 0.把y sin所以曲线 C的极坐标方程为 4sin .(2) 由直线 l 1： 1 6 ( 1 R)与曲线 C的交点为 O， M，得 | OM| 4sin 6 2.由直线l2： 2 2( 2 R)与曲线C的交点为， ，得 | 4sin2 2 3.3O NON3易知 MON 2，1所以 S OMN 2| OM|ON|8名校名 推荐1 22 23 23.9