《高考数学一轮复习人教A版空间向量及其运算和空间位置关系学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习人教A版空间向量及其运算和空间位置关系学案.docx（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、名校名 推荐第五节空间向量及其运算和空间位置关系突破点一空间向量及其运算基本知识 1 空间向量及其有关概念(1) 空间向量的有关概念空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量相等向量方向相同且模相等的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量(2) 空间向量中的有关定理共线向量定理对空间任意两个向量 a， b(b 0)， a b? 存在唯一一个 R，使 a b共面向量定理若两个向量 a， b 不共线，则向量 p 与向量 a， b 共面 ? 存在唯一的有序实数对 (x， y)，使 p x a y b空间向量基本如果三个向量 a，b，c 不
2、共面， 那么对空间任一向量 p，存在有序实数组 x，定理y， z使得 p x a y b z c2.两个向量的数量积(1) 非零向量 a， b 的数量积 ab |a|b|cos a， b(2) 空间向量数量积的运算律结合律： ( a) b (ab)；交换律： a b ba；分配律： a (b c) aba c.3 空间向量的运算及其坐标表示设 a (a1， a2， a3)， b (b1， b2， b3).向量表示数量积ab共线a b(b0 )垂直ab 0(a 0， b 0)模|a|坐标表示a1b1 a2b2 a3b3a b， a b， a b112233a1b1 a2b2 a3b3 0a21
3、a22 a23cos a， ba1b1 a2b2 a3b3a21 a22 a23 b21 b22 b23基本能力 1名校名 推荐一、判断题 (对的打 “” ，错的打 “” )(1)若 A， B， C，D 是空间任意四点，则有 0.()AB BC CD DA(2)|a|b| |a b|是 a， b 共线的充要条件()(3)空间中任意两非零向量a，b 共面 ()(4) 在向量的数量积运算中 (ab) ca(bc) ()(5) 对于非零向量 b，由 ab bc，则 ac.()(6) 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()答案： (1)(2) (3) (4) (5)(6) 二、填空题1如图，
4、已知空间四边形ABCD ，则 11 1等于AB BCCD333_答案： 13 AD2已知 i ，j，k 为标准正交基底， a i 2j 3k，则 a 在 i方向上的投影为 _答案： 13若空间三点A(1,5， 2)，B(2,4,1)，C(p,3，q 2)共线，则 p _，q _.答案： 324已知向量a ( 1,0,1) ， b (1,2,3) ， k R，若 ka b 与 b 垂直，则k_.答案： 7全析考法 考法一空间向量的线性运算例 1已知四边形 ABCD 为正方形， P 是 ABCD 所在平面外一点， P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O.Q是 CD 的中点，求下列各题中
5、x， y 的值：(1)；OQ PQ x PC y PA(2)PA x PO y PQ PD .解 1 (1)如图， OQ PQ PO PQ( PA PC ) PQ21112PA2PC ， x y .2(2)， PA PC 2 PO PA2 PO PC .2名校名 推荐又 PC PD 2 PQ， PC 2 PQ PD .从而有 PA 2 PO (2 PQ PD ) 2 PO 2 PQ PD . x 2， y 2. 方法技巧 用已知向量表示某一向量的3 个关键点(1) 用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2) 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接
6、的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量(3) 在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立考法二共线、共面向量定理的应用例 2已知 E， F ， G，H 分别是空间四边形ABCD 的边 AB，BC，CD ， DA 的中点，用向量方法求证：(1) E， F ， G， H 四点共面；(2) BD 平面 EFGH .证明 1(1) 如图，连接 BG，则 EG EB BG EB( BC2 ，BD ) EB BF EH EF EH由共面向量定理知：E， F ， G， H 四点共面1，(2) 因为 EH AH AE 1 AD 1 AB ( AD AB )1BD2222因为 E， H
7、 ， B，D 四点不共线，所以EH BD .又 EH ? 平面 EFGH ， BD?平面 EFGH ，所以 BD 平面 EFGH .方法技巧 1证明空间三点P，A，B 共线的方法(1) PA PB ( R)；(2) 对空间任一点 O， OP OA t AB (t R)；(3) 对空间任一点O， OP x OA y OB (x y 1)2 证明空间四点P，M ， A， B 共面的方法(1) MP xMA yMB ；(2) 对空间任一点O， OP OM xMA yMB ；(3) 对空间任一点(x y z 1)；O， OP xOM y OA zOB3名校名 推荐(4) PM AB( 或 PA MB
8、或 PB AM )考法三空间向量数量积的应用例 3如图，正方体 ABCD -A1B1C1D1 中， E，F 分别是 C1D1，D 1D 的中点若正方体的棱长为1.求 cos CE， AF1 1|，解 | CE | C1E2 CC12 5 | AF42 5 CE AF | CE|AF |cos CE ， AF 4cos CE， AF 又 CE CC1 C1E ， AF AD DF ， CE AF ( CC1 C1E ) (AD DF )1 1 CC1 AD C1 EAD CC1 DF C1EDF |CC1|DF | 1 2 2.2 cos CE， AF .5方法技巧 空间向量数量积的3 个应用求
9、夹角设向量 a， b 所成的角为 ，则 cos ab，进而可求两异面直线所成的角|a|b|求长度运用公式 |a|2 aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂利用 ab? ab 0(a 0，b 0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题直问题集训冲关 1.考法一 已知三棱锥 O-ABC，点 M ，N 分别为 AB，OC 的中点， c，用 a，b，c等于 ()且 OA a， OB b， OC表示 MN，则 MN11A. 2( bc a)B.2(ab c)11C. 2( ab c)D.2(c a b) 1 1解析：选 DMN MA AO ON 1BA AO 1 OB ) AO
10、OC22OC ( OA221111OAOB222OC (c a b)2考法二 3 1 1 ， 则， ， ， 四点()2.O 为空间任意一点， 若 OP4 OA8 OB8 OCA B C PA一定不共面B一定共面4名校名 推荐C不一定共面D无法判断解析： 选 B311 1.所以 P， A， B， C 四点因为 OP 3 OA 1OB 1 OC ，且488488共面3.考法三 如图所示，已知空间四边形OABC，OB OC，且 AOB AOC 3，则 cos OA， BC的值为 _解析： 设 OA a， OB b， OC c，由已知条件，得a， b a， c，3 且 |b| |c|， OA BC a
11、(c b) ac ab11 2|a|c| 2|a|b| 0， 0. OA BC， cos OA， BC答案： 0突破点二利用空间向量证明平行与垂直基本知识 1 两个重要向量直 线 的 方直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合 ) 的非零向量，一条直线的方向向向向量量有无数个平 面 的 法直线 l 平面 ，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量显然向量一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量2 空间中平行 、垂直关系的向量表示设直线 l， m 的方向向量分别为 a，b，平面 ， 的法向量分别为n1， n2，则线线平行l m? akb(k R)线面平行l ? a n1? an1 0面
12、面平行 ? n1 n2? n1 kn2(k R)线线垂直l m? ab 0线面垂直l ? a n1? a kn1(k R)面面垂直 ? n1 n2? n1 n2 0基本能力 一、判断题 (对的打 “” ，错的打 “” )5名校名 推荐(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2) (2,2,1)已知 AB， AC (4,5,3) ，则平面 ABC 的单位法向量是n1， 2， 2.()0 =333(3)两条不重合的直线l1 和 l2 的方向向量分别为 v 1 (1,0， 1)，v2 ( 2,0,2)，则 l1 与l2 的位置关系是平行 ()(4)若 n1，n2 分别是平面 ， 的法向量，则 n1 n
13、2? .()答案： (1)(2)(3) (4)二、填空题1已知直线 l1 的一个方向向量为( 7,3,4)，直线 l 2 的一个方向向量为(x， y,8)，且 l1l2，则 x_， y _.答案： 1462若平面 的一个法向量为 n1 ( 3，y,2)，平面 的一个法向量为n2 (6， 2，z)，且 ，则 y z _.答案： 33若直线 l 的方向向量为a (1,0,2) ，平面 的法向量为n ( 3,0， 6)，则 l 与 的位置关系是 _答案： l 全析考法 考法一向量法证明平行与垂直关系例 1如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 底面 ABCD ， PD DC
14、， E 是 PC 的中点，作EF PB 于点 F .(1) 证明： PA平面 EDB ；(2) 证明： PB平面 EFD .证明： 如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设 DC a.(1) 连接 AC 交 BD 于 G，连接 EG.aa依题意得A(a,0,0)， P(0,0， a)， E 0， ，.底面 ABCD 是正方形， G 是此正方形的中心aa故点 G 的坐标为2， 2， 0 ，6名校名 推荐aa，且 PA (a,0， a)， EG， 0，22， PA EG . PA2 EG又 EG ? 平面 EDB 且 PA?平面 EDB ， PA平面 EDB .依题意得， 0，a，a，(2
15、)a,0)PB(a，a， a)， DEB(a22 22 0 a a 0， PB DE ，故 PB DE22又 EF PB，且 EF DE E， PB平面 EFD .方法技巧 1 利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题2.利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂
16、直，或将面面垂直的判定定理用向量表示提醒 运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外针对训练 已知正方体ABCD -A1B1C1D1 的棱长为2， E， F 分别是 BB1， DD 1 的中点，求证：(1) FC 1平面 ADE ；(2) 平面 ADE 平面 B1C1F .证明： 建立空间直角坐标系如图，则有 D(0,0,0) ，A(2,0,0)，C(0,2,0) ，C1(0,2,2) ，E (2,2,1) ，F(0,0,1) ，B1(2,2,2) ， (0,2,1) 所以 FC 1 (0,2,1)， DA (2
17、,0,0)， AE(1) 设 n1 (x1， y1， z1)是平面 ADE 的法向量，7名校名 推荐， 2x1 0，x1 0，n1 DAn1DA则即得z1 2y1， 2y1 z1 0，n1 AEn1AE令 z1 2，则 y1 1，所以 n1 (0， 1,2)因为 FC 1n1 2 2 0，所以 FC 1n，又因为 FC 1?平面 ADE ，所以 FC 1平面 ADE .(2) C1B1 (2,0,0) ，设 n2 (x2， y2， z2)是平面 B1C1F 的一个法向量，0，x2 0，n2 FC 1，n 2FC 1 2y2 z2由得得，z2 2y2.n2 C1B1n2C1 B1 2x2 0，令
18、 z2 2，得 y2 1，所以 n2 (0， 1,2)，因为 n1 n2，所以平面ADE 平面 B1C1F .考法二向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题例 2如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中， E 是棱 DD 1 的中点在棱 C1 D1 上是否存在一点F ，使 B1F 平面 A1BE ？证明你的结论解 依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD -A1B1C1D1 的棱长为1，11则 A1(0,0,1) ， B(1,0,0) ， B1(1,0,1) ， E 0， 1， 2 ， BA1 ( 1,0,1)， BE 1， 1，2 .设 n (x， y， z)是平面A1
19、BE 的一个法向量， x z 0，nBA1 0，则由得1 0， x y z 0.nBE21所以 x z， y z.取 z 2，得 n (2,1,2) 设棱 C1D1 上存在点F(t,1,1)(0 t 1)满足条件 ，又因为 B1(1,0,1) ，8名校名 推荐所以 B1F (t 1,1,0)而 B1F ?平面 A1BE ，于是B1F 平面n 0? (t 1,1,0) (2,1,2)1? F 为A1BE? B1F 0? 2(t 1) 1 0? t2C1D 1 的中点 这说明在棱C1 D1 上存在点F (C1D1 的中点 )，使 B1F 平面 A1 BE.方法技巧 向量法解决与垂直、平行有关的探索
20、性问题的思路(1) 根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示(2) 假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程 (组 )求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在针对训练 在正方体 ABCD -A1B1C1D 1 中， E 是棱 BC 的中点，则在线段CC1 上是否存在一点P，使得平面 A1B1P平面 C1DE ？证明你的结论解： 存在点 P，当点 P 为 CC1 的中点时，平面A1B1P平面 C1 DE .证明如下：如图，以 D 点为原点，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1， P(
21、0,1， a)(0 a 1)，则 D (0,0,0)， A1(1,0,1) ， B1 (1,1,1) ，E 1， 1， 0， C1(0,1,1) ，2 A1B1 (0,1,0)， A1P ( 1,1， a 1)，DE 1， 1， 0， DC 1 (0,1,1) 2设平面 A1B1P 的一个法向量 n1 (x1， y1， z1)，y1 0，n1A1B1 0，则 x1 y1 a 1 z1 0，n1A1P 0，令 z1 1，则 x1 a1， n1 (a 1,0,1) 设平面 C1DE 的一个法向量 n2 (x2， y2， z2)，9名校名 推荐n 0，1 y 0，则2DEx22 2 0，y2 z2 0.n 2DC1令 y2 1，得 x2 2， z2 1， n2 ( 2,1， 1)若平面 A1B1P平面 C1DE ，1则 n1n2 0， 2(a 1) 1 0，解得 a 2.当 P 为 C1C 的中点时，平面A1B1P平面 C1DE .10