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1、最新 料推荐43 多项式方法求特征值问题4.3.1F-L 方法求多项式系数我们知道，求n 阶方阵 A 的特征值就是求代数方程( )| AI |0（ 4.3.1）的根。 () 称为 A 的特征多项式。上式展开为( )np1n 1 p2 n 2 .pn（ 4.3.2）其中 p1, p2 ,.pn 为多项式( ) 的系数。从理论上讲，求 A 的特征值可分为两步：第一步直接展开行列式 | AI |求出多项式 () ；第二步求代数方程(x)0 的根，即特征值。对于低阶矩阵， 这种方法是可行的。 但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用F-L （ Faddeev-Leverrier
2、 ）方法求特征方程（ 4.3.2）中多项式 () 的系数。由于代数方程求根问题在第2 章中已经介绍， 所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵 A 的特征多项式() ，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。记矩阵 A= (aij )n n 的对角线元素之和为trAa11 a22 . ann利用递归的概念定义以下n 个矩阵 Bk ( kB1A,B2A(B1p1I ),B3A(B2p2 I ),.BkA(Bk 1pk 1 I ),.BnA(Bn 1pn 1 I ),（4.3.3 ）1,2,., n) :p1trB 1p21trB 22p31trB 33pk1 trB kkpn1 trB n（4.
3、3.4 ）n可以证明 ,(4.3.4)式中 pk , k1,2,., n, 即是所求 A 的特征多项式( ) 的各系数。用（ 4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。相应特征方程为：(1)n (np1n 1p2 n 2. pn )0（ 4.3.5）A 的逆矩阵可表示为而且可证矩阵A 11 ( Bn 1pn 1I )pn(4.3.6)例 1 求矩阵324A 2 0 24 2 31最新 料推荐的特征值与A 1 .解用 F-L 方法求得324B1A202423p1trB 161124B2A( B1p1 I )2 8 24211p21 trB2152800B3A( B2p2 I )
4、0 80008p318trB 33所以 A 的特征方程为(1) 3 (362158)0此方程的根 ,即特征值为18,21,31111242A 11( B2p2 I )171p3484111242从例 1 中的计算结果可知B3 p3 I . Faddeev 曾经证明 : 对 n 阶矩阵 A, 按 (4.3.4)式计算出的 Bn 总有Bn pn I(4.3.7)4.3.2 特征向量求法当矩阵 A 的特征向量确定以后,将这些特征值逐个代入齐次线性程组( AI )x=0 中 ,由于系数矩阵 AI 的秩小于矩阵AI 的阶数 n,因此虽然有 n 个方程 n 个未知数 ,但实际上是解有 n 个未知数的相互独
5、立的r 个方程 (rn). 当矩阵 A 的所有特征值互不相同时,这样的问题中要解的齐次方程组中有n-1 个独立方程 ,其中含有 n 个特征向量分量 ,因此特征向量分量中至少有一个需要任意假设其值,才能求出其他特征分量 .在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯 -若当消去法 ,以便把一组n 个方程简化为等价的一组 n-1个方程的方程组 .然而 ,用高斯 -若当消去法简化一个齐次线性程组时,方程之间不都是独立的,在消去过程中系数为零的情况较多.必需交换方程中未知数的次序,以避免主元素位置上为零的情况.因此 ,为了提高精度和避免零元素的可能性,我们总是用主元素措施把绝对值最大的系数放于主元素位置.
6、例如 ,假设矩阵A 为2最新 料推荐422A532241其特征方程为422532241=0展开后为(1)(2)(5)0故特征值分别为11,22,35下面求特征向量，将1 代入方程组 ( AI )x 0 中，得3x12 x22x305x12x22x302x14x20x30（4.3.8 ）以-5 为主元素 ,交换上式第一与第二个方程得5x12x22x303x12 x22x302x14x20x30(4.3.9)用高斯 -若当消去法消去 -5 所在列中的 x1,并把主元素所在行调到最后,得0x116 x24 x30550x116 x24 x305522x15x25x30(4.3.10)再以 16/5
7、为主元素 ,消去它所在列中的x2 ,并把主元素所在的行调到最后,得0x10x20 x30x10x21x3020x1x21x304(4.3.11)这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形这个等价的方程组包含两个独立的方程,而有三个未知数，所以只要假定其中一个值两个值就可以通过两个独立方程解出 .比如 ,令 x3 1,则得到矩阵 A 的对应于 1 特征向量为.因为,则其它1的一个3最新 料推荐12141 另外两个特征 的 特征向量求法与上述 11 的推 程相同 . 算机中 求解 的 次 性方程 的消去步 是,用第 3 章 的高斯 -若当消去法的公式 ,方程 (4.
8、3.9)的系数矩 第一次消去后的矩 B 为16455164B552255(4.3.12)以矩 方程 (4.3.10) 的系数矩 ,其中省略了有0 和 1 元素的第一列.在 行第二次消元之前,要 用完全主元素措施 前两行 行最大主元素 ,然后再 行必要的行或列交 .每完成一次消元 程 , 省略只有 0 和 1 元素的第一列 ,并且 算机 找矩 的前 n-k 行中的最大主元素 ,其中 k 是消元 程 用的次数 .对 (4.3.12)式再 行一次消元 程 , 得到列矩 0B11214(4.3.13)此矩 是 于方程 (4.3.11)的系数矩 ,不 省略了含 0 和 1 元素的前两列 .一般来 ,最后
9、矩 列的数目等于矩 AI 的 数和秩的差 .由于方程 (4.3.8) 有三个未知数 ,两个独立方程 ,所以 算机必 任意 定一个未知数的值,以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个未知数. 方便， 在 算机决定特征向量 ,要恰当地 定任意 取的未知数的 .例如 ,令 x31, 由方程 (4.3.11)知道 ,其他两个分量的 正好能从含x3 的非零系数 得出. 此 ,从 算机所存 的最 矩 中,令 B1 最上面的 0元素 -1,并把它 次 到最下面第三行的位置上(1,1, 1)T,就得到所求的特征向量24.在工程 中 ,从特征方程所求出的特征 ,少数情形也有相同的 .一般地 ,当一个特征方程有
10、k 重根 时 ,矩 AI 的秩可能比其 数少1,或 2,或 3, ,或 k,当然 于的 性无关的特征向量的个数也就是1,或 2,或 3, ,或 k,下面通 一个特征 两个 性无关特征向量的例子 一步 明 算机求特征向量的方法. 矩 A 为324A202423其特征方程 4最新 料推荐324220423展开后得(1) 2 (8)0所以特征值为121,38为了决定1的特征向量 ,将1 代入方程组 ( AI )x=0, 得424x1212x20424x3(4.3.14)应用一次高斯 -若当消去法 ,得000x1000x2011 / 21x3(4.3.15)写成矩阵形式 ,(4.3.15) 式的系数矩
11、阵为00B001/ 21(4.3.16)因为方程组 (4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于1有两个线性无关的特征向量,必须给两个未知数任意规定值,才能确定这两个线性无关的特征向量, 由（ 4.3.15）式可看出 ,一般总是选择x21, x30 求一个特征向量 ;选择 x20, x31 求另一个特征向量 ;这样有两个线性无关的特征向量1/ 210,101计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是,在 (4.3.16) 式的 B 中 ,把第一列中第一个0元素用 -1 代替 ,第二列中第二个 0 元素也用 -1 代替 ,然后把第一、 第二行顺次调到最下面一行的位置上， 第三行
12、自然就成了第一行， 如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线性无关的特征向量。对应于1 的全部特征向量为1/ 21k11k 2 001其中 k1 与 k2 是任意常数，且不同时为零。为了说明列交换的必要性，避免主元素为零，再举一个例子，设矩阵A 为2812A144001其特征方程为5最新 料推荐(2)(1)0特征值为12,20,31对应于2 的特征向量可由解下列方程组而求得4812x1124x20001x3(4.3.17)用一次高斯 -若当消去法，得001x1001x20123x3(4.3.18)若不进行列交换， 则下一个消元过程只能在第一行的第二个元素与第二行的第二个元素中找最大主元素
13、，而它们都是零，我们不得不对 (4.3.17) 式进行列交换，即交换未知数之间的次序，之后再进行消去过程 .对 (4.3.17)式进行列交换，即把绝对值最大系数放在主元素位置，显然是第一列与第三列的交换，交换后成为1284x3421x20100x1(4.3.19)其中未知数列矩阵中x1 与 x3 也进行了交换，这样才能保证(4.3.17) 式与 (4.3.19) 式等价，对(4.3.19) 式进行一次高斯 -若当消去法，得02 / 31/ 3x302 / 31 / 3x2012 / 31 / 3x1(4.3.20)再进行一次消去过程，得000x3100x20011/ 2x1(4.3.21)在计算机中计算，剩下一个最终的列矩阵0B01/ 2(4.3.22)将(4.3.22) 式中的列矩阵B 中第一个0 元素用 -1 代替，并随即调到最下面一行，便得到01/ 21（ 4.3.23）这就是对应于方程组(4.3.19)的解，在计算机程序中应把原来进行列交换的列号次序记住，重新把 (4.3.23)式中各分量排列一下，即交换第一行和第三行的元素，就得到对应于2 的特征向量6最新 料推荐11/ 20对应于的全部的特征向量为11/ 2k0其中 k 为不等于零的任意常数.7