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1、第十章 机器人静力学和动力学,10.1 机器人静力学,一、杆件之间的静力传递,在操作机中，任取两连杆 ， 。设在杆 上的 点作用有力矩 和力 ；在杆 上作用有自重力 过质 心 ）； 和 分别为由 到 和 的向径。,按静力学方法，把这些力、力矩简化到 的固联坐标系 ，可得：,或,式中 ( 为杆 的质量)。,求出 和 在 轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡所应提供的关节力或关节力矩，记作 ，其大小为,当忽略杆件自重时 ，上式可简记为 ：,若以 表示不计重力的关节力或力矩值，对于转动关节则有 ：,式中 是自 到杆 的质心 的向径。,例1 求两杆操作
2、机的静关节力矩(坐标系与结构尺寸如图)。,解：设已知,二、操作机的静力平衡,设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩 (广义驱动力，指向 的正向)，在末端执行器的参考点 处将产生力 和力矩 。由于 、 是操作机作用于外界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩 一起进行运算，故应取负值。,利用虚功原理建立静力平衡方程，令,于是，操作机的总虚功是：,根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功(虚功之和)为0，即：,为各关节驱动力；,为末端点广义力；,为各关节位移；,为末端点位移；,式中 J 是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应 的偏速度。,由机器人运动微分关系可知， ，则有,因为 是独立坐标，则
3、 ，所以有,上式是针对操作机的关节力和执行器参考点 间所产生的力和力矩之间的关系式。,该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可比矩阵 J 进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固联直角坐标系中的广义力变换，这时应将关节空间与直角坐标空间的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。,例2 如图，操作机的手爪正在持板手扭某一螺栓，手爪上 方联接一测力传感器可测六维力向量(力和力矩)。试确定测力传感器和扭动板手时力和力矩的关系。,解： 设在测力传感器上置坐标系 Sf ( )，在螺栓上置坐标系 S ( ) 。在图示瞬间，两坐标系彼此平行。因为刚体的无限小位移(平移和转动)可表示为六维向量
4、，故对二者的微位移可分别表示为：,由于两坐标系的坐标轴平行，于是可以得到：,前式也可以从前图直观求得。 设 为相应于 的关节广义力向量， 为相应于 的末端广义力向量，则可得：,上式也可直接用虚功原理求得。,二、机器人动力学研究的问题可分为两类： 1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器 人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知 , 求 和 ，称为动力学正问题）。 2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力（矩）（即已知 和 ，求 , 称为动力学逆问题 ）。,一、研究目的： 1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）,在机器人处
5、于不同位置图形（位形）时，各关节的有效惯量及耦合量都会发生变化（时变的），因此，加于各关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。,10.2 机器人动力学概述,三、动力学研究方法： 1拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建立机器人的动力学方程。代表人物 R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。计算量O(n4)，经优化O(n3)，递推O(n)。 2牛顿欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿欧拉方程的动力学方程。代表人物Orin, Luh(陆养生)等。计算量O(n)。,3高斯原理法: 利用力学中的高
6、斯最小约束原理,把机器人动力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫(苏). 用以解决第二类问题。计算量O(n3)。 4凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。计算量O(n!)。,系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、圆柱坐标系等）中表示 ，不是一定在直角坐标系中。,动力学方程为： 广义力 广义速度 广义坐标 （力或力矩）（ 或 ） （ 或 ）,10.3 二杆机器人的拉格朗日方程,应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问
7、题。,定义：L=K-P LLagrange函数；K系统动能之和；P系统势能之和。,10.3.1 刚体系统拉格朗日方程,一、动能和势能,设二杆机器人臂杆长度分别为 ，质量分别集中在端点为 ，坐标系选取如图。,以下分别计算方程中各项：,对质点 ：,势能：,动能：,（负号与坐标系建立有关）,对质点 ：,先写出直角坐标表达式：,10.3.2 机器人拉格朗日方程,对 求导得速度分量：,动能：,势能：,二、Lagrange函数,三、动力学方程,先求第一个关节上的力矩,（1）,同理，对 和 微分，可求得第二关节力矩,以上是两杆机器人动力学模型。,（2）,系数 D 的物理意义：,关节 的有效惯量（等效转动惯量
8、的概念）。由关节 处的加速度 引起的关节 处的力矩为 （ ）,关节 和 之间的耦合惯量 。由关节 或 的加速度 （ 或 ）所引起的关节 和 处的力矩为 或,向心力项系数。表示关节 处的速度作用在本身关节处 的向心力（ ）,四、动力学方程中各系数的物理意义 将前面结果重新写成简单的形式 ：,哥氏力项系数。 两项组合为关节 与 处的速度作用在关节 处的哥氏力，哥氏力是由于 牵连运动是转动造成的。,关节 处的重力项 。重力项只与 大小、长度 以 及机构的结构图形（ ）有关。,比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到 有效惯量系数：,耦合惯量系数：,向心力项系数：,哥氏力项系数：,重力项：,动力学方程中的惯量项和重力项在机器人控制重特别重要，将直接影响系统的稳定性和定位精度。只有当机器人高速运动时，向心力项和哥氏力项才是重要的。传动装置的惯量值往往较大，对系统动态特性的影响也不可忽略。,