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1、 姓名_ 班级_准考证号_ 成绩_ OOOO 装O 订O 线OOO 绍兴文理学院首届高等数学竞赛试题 （数学专业组 2003-10-18） 题 号 一 二 三 四 五 总 分核分 人 得 分 （竞赛内容：数列极限；函数极限；导数及其应用；积分及其应用；实数理论；广义积分； ） 得 分 评卷人 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1是函数0=x x xf ln 1 )(= 的（ ） A. 连续点； B. 可去间断点； C. 跳跃间断点； D. 第二类间断点； 2设 = = ; 0 , 0 ; 0 ,2 1 sin )( 2 x xarctgx x x
2、xf 则 （ ） A.不存在; B.; C.)0( f0)0( =f2)0( =f; D.1)0( =f; 3设在的某邻域可导，)(xf0=x0)0( =f, x xf x )( lim 0 = 2 1 , 则( ) )0(f A. 是的极大值; B. 是的极小值； C. 不是的极值； D. 不能判断是否为的极值； )(xf)(xf)(xf)(xf 4若在连续，且仅取有理值，又)(xf),(+1) 1 (=f，则=)0(f（ ） A. 0; B. 1; C. 1; D. 不能确定； 5设在可导，且，则在( ) A. 无界； B. 无下确界； C. 无上确界； D. 无最大值； )(xf),(b
3、a0)( xf)(xf),(ba 6设, 1)0( ; 0 , 12 12 )( /1 /1 = + =fxxf x x 则 ( ) A. 不存在； B. 不存在； C. 在)(lim 0 xf x + )(lim 0 xf x )(xf0=x连续； D. 在)(xf0=x不连续； 7以下命题正确的是 ( ) A. 若，则是的可去间断点； )0()0( 00 =+xfxf 0 x)(xf B. 若)(xf可导，则可导； )(xf C. 若 x xxfxxf x + )()( lim 00 0 存在，则在)(xf 0 xx =可导； D. 若是的连续、奇函数，且)(xf) 1 , 1( x xf
4、 x )( lim 0 存在，则在)(xf0=x可导； 8设在三阶可导，)(xf),(ba),( 0 bax ，若0)( , 0)()( 000 =xfxfxf，则（ ） A. 是曲线的拐点； B. 不一定是曲线)(,( 00 xfx)(xfy=)(,( 00 xfx)(xfy=的拐点； C. 是的极值点； D. 以上都不对； 0 x)(xf 9以下命题正确的是 ( ) A. 若 n x收敛，则必有收敛的子列； B. 设 n xE是非空有界实数集，则是E supE的聚点; C. 有界点集的任一开覆盖必有有限的子覆盖； D. 若是无界的实数列，则 n a+= n n alim； 10若在可积，则
5、（ ） )(xf,ba A. 在连续；B. 可能在任一点都不连续；C. 在任一子区间至少有一个连续点；D. 以上都不对； )(xf,ba)(xf,ba)(xf,ba 第1页（共 4 页） 姓名_ 班级_准考证号_ 成绩_ OOOO 装O 订O 线OOO 得 分 评卷人 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 1、= dxx 16 1arctan 1 （ ） 2设, 则的定义域是（ ） 1)( ,)( arcsin =xxgfexf x )(xg 3根据 Cauchy 准则叙述不存在( ) )(limxf x 4设的一个原函数是，则)(xf x e =dx x x
6、f)(ln （ ） 得 分 评卷人 三、辨析题（先判定命题正确与否，再对正确的命题加以证明，对不正确的命题举出反例，每小题三、辨析题（先判定命题正确与否，再对正确的命题加以证明，对不正确的命题举出反例，每小题 6 分，共分，共 24 分）分） 1收敛 n a0lim ,= + npn n aap 2若是上的正值连续函数，则)(xf,ba )( 1 xf 在上一致连续 ,ba 3 若在闭区间连续，则)(xf,ba,baxn，数列必有收敛子列。 )( n xf 4若的暇积分存在，则的暇积分也存在 )( ),(xgxf)()(xgxf 第2页（共 4 页） 姓名_ 班级_准考证号_ 成绩_ OOOO
7、 装O 订O 线OOO 得 分 评卷人 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 1若2 )1ln( sin 1 1 arctan 1 lim 0 2 0 = + + + x x dt t bt x a x , 求的值。 ba, 2设0，判别积分 + 0 sin lndx x x x 的敛散性。 3求 ) 1 1 (ln 1 1 lnlim 2 2 2 + + + + x x xx xx x 4讨论函数在上的可积性： 1 , 0)(xf x sgn(sin), 1 , 0(x, 0)0(=f 第3页（共 4 页） 姓名_ 班级_准考证号_ 成绩_ OOOO 装O
8、订O 线OOO 得 分 评卷人 五、证明题（每小题五、证明题（每小题 6 分，共分，共 24 分）分） 1设在连续，且)(xf,ba + 1 )()( , , 0 , 0MdxxfbaM，证明：, , 0)(baxxf 2设在内二阶可微，且)( , 0 xfab),(ba0)(xf，又2 sin cos)( lim 2 0 = x xxf x ，证明：1)( ),(xfbax 3证明：(1) 存在，使；(2) 任意) 1 , 0(c c ec =) 1 , 0( 1 x，定义，则有1 , 1 = + nex n x n cxn n = lim 1)(xf1)( xf2)( xf4. 设在上二次可微, 且)(xf2 , 0 x2 , 0, , 证明: , 有. 第4页（共 4 页）