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1、【 2 0 1 0届高三启学模拟卷( 三) 数学试题湖南卷第1 页( 共4页) 】 启 学 模 拟 卷(湖南卷) 数学试题(三) 编审 北京启学教育中心数学研究室 注:1 .本卷总分1 5 0分, 考试时间1 5 0分钟; 2 .考试范围: 高考大纲规定的考试内容。 一、 选择题: 本大题共8小题, 每小题5分, 共4 0分.在每小题给出的 四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U=1,2,3,4,5,6,7 ,P=1,2,3,4,5 ,Q=3,4,5,6,7 , 则 P(UQ)= ( ) A .1,2B .3,4,5 C .1,2,6,7D .1,2,3,4,5 2.如左图所示
2、是某一容器的三视图, 现向容器中匀速注水, 容器中水 面的高度h随时间t变化的可能图象是 ( ) A B C D 3.如图 , 该程序运行后输出的结果为 ( ) A. 1 4 B. 1 6 C. 1 8 D. 6 4 4 .函数f(x)=( 1 2) x -s i nx在区间0,2 上的零点个数为 ( ) A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 5.已知等比数列a n 中, an+ 1an, 且a3+a7=3,a2a8=2, 则a 1 1 a7 = ( ) A . 1 2 B . 2 3 C . 3 2 D . 2 6 .欧阳修 卖油翁 中写到: ( 翁) 乃取一葫芦置于地, 以钱覆其口,
3、徐 以杓酌油沥之自钱孔入, 而钱不湿.可见“ 行行出状元” , 卖油翁的 技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为3 c m的圆, 中间有边长为 1 c m的正方形孔, 若你随机向铜钱上滴一滴油, 则油正好落入孔 中的概率是( 油滴的大小忽略不计)( ) A. 4 9 B. 1 9 C. 9 4 D. 1 4 7.已知某商场新进3 0 0 0袋奶粉, 为检查其三聚氰胺是否超标, 现采 用系统抽样的方法从中抽取1 5 0袋检查, 若第一组抽出的号码是 1 1, 则第六十一组抽出的号码为 ( ) A. 2 0 0 0B. 1 2 0 0C. 1 2 1 1D.不确定 8 .已知抛物线y 2=2 p x (
4、 p0) 的焦点F恰好是双曲线 x 2 a 2- y 2 b 2= 1的右 焦点, 且两条曲线交点的连线过点F, 则该双曲线的离心率为 ( ) A. 2- 2B. 1+2 2C. 1+ 2D. 1+ 2 2 题号 12345678 答案 二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题5分, 共3 5分, 把答案填在题中 横线上. 9. A B C中,A B= 2,A C= 6,B C= 1+ 3,A D为边B C上的高, 则 A D的长是. 1 0 .已知a=(x,-1) ,b=(1, 1 x ) , 则不等式ab0的解集为 . 1 1.圆x 2 +y 2 =4在不等式组 x- 3y0 x+ 3y
5、0 所确定的平面区域内的 弧长为 . 1 2.( 文)从某项综合能力测试中抽取1 0 0人的成绩, 统计如下表, 则 这1 0 0人成绩的标准差为 . 分数 54321 人数 2 01 03 03 01 0 ( 理)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分. 已知某运动员罚球命中的概率为0. 7, 则他罚球2次( 每次罚球结 果互不影响)的得分的数学期望是 . 【 2 0 1 0届高三启学模拟卷( 三) 数学试题湖南卷第2 页( 共4页) 】 1 3.( 文) 已知点P(x,y) 是圆x 2+y2= 2 y上的动点, 则2x+y的取 值范围为 . ( 理)已知不等式|a x+b|2
6、, (a0)的解为1x2bn; 1 b1 + 1 b2 + 1 b3 + 1 bn 0, 求函数f(x)在2a,4a上的最小值; ( 3)某同学发现: 总存在正实数a、b(aa n , 解得 a3=1, a7= 2 , a1 1 a7 = a7 a3 =2. 6 .A P=S 正方形 S圆 = 1 9 4 = 4 9 . 7 . C 每组袋数:d=3 0 0 0 1 5 0 =2 0, 由题这些号码是以1 1为首项, 2 0为 公差的等差数列, a6 1=1 1+6 02 0=1 2 1 1. 8. C 由题意知p 2 =c, 根据对称性, 两曲线交点连线垂直于x轴, 对 双曲线来说, 这两个
7、交点连线的长度是2 b 2 a , 对抛物线来说, 这两个交 点连线的长度是2p, 即4c, 故2 b 2 a =4c , 故b 2 =2a c, 即c 2 -a 2 =2a c , 即e 2 -2e-1=0 , 解得e=1+ 2. 9 . 3 如图, 由余弦定理 c o sB= 4+(1+ 3) 2 -6 4(1+ 3) = 2(1+ 3) 4(1+ 3) = 1 2, 则s i nB=A D A B =A D 2 = 3 2 , A D= 3. 1 0 .x|x-1或0x1 ab=x- 1 x 0, x 2 -1 x = ( x-1) (x+1) x 0, x-1或0x1. 1 1 .2
8、3 如图, 圆的半径是2, 圆心角为 3, 所以弧长是2 3 . 1 2.( 文) 2 1 0 5 平均数为 52 0+41 0+33 0+23 0+11 0 1 0 0 =3, 标准差为 1 1 0 0 2 0(5-3) 2+1 0( 4-3) 2+3 0( 3-3) 2+3 0( 2-3) 2+1 0( 1-3) 2 = 2 1 0 5 . ( 理) 1. 4 他罚球2次得分=0,1,2, 分布列为 012 P0. 0 90. 4 20. 4 9 E=00. 0 9+10. 4 2+20. 4 9=1. 4. 1 3 .( 文) - 5+1,5+1 设圆的参数方程为 x=c o s y=1
9、+s i n , 2x+y=2 c o s+s i n+1= 5 s i n(+)+1, - 5+12x+y 5+1. ( 理) 1,-3或-1,3 由|a x+b|2得:-2a x+b2, 变为:-2-ba x0, 则-2-b a x2-b a , 所以: -2-b a =1 2-b a = 5 a=1 b=- 3 , ( 2)若a0, 则2-b a x -2-b a , 所以: 2-b a =1 -2-b a = 5 a=-1 b= 3 . 1 4 . 1 5. 2 0 6 如图, (x-3) 2 +(y-4) 2 =2 5, A C=2r=1 0,E F=5-4=1, B D=2D F2
10、-E F2=2 2 5-1=4 6, SA B C D=1 2A C B D=1 2 1 04 6=2 0 6. 1 6 .解: (1)y=f(x)=mn=2 c o s 2 x+2 3 c o sxs i nx+a = 3 s i n 2x+c o s 2x+a+1=2 s i n( 2x+ 6) +a+1; 2k- 2 2x+ 6 2k + 2, 函数y=f(x)的单调递增区间为 k- 3, k+ 6 ( kZ) ,6分 ( 2)由2x+ 6 =k+ 2, 得f( x)图象对称轴为: x= 6 +k 2 , ( kZ) ,8分 ( 3)0 x 2, 6 2x+ 6 7 6 ,-1 2 s
11、i n(2x+ 6) 1, ym a x=3+a=4, 即a=1.1 2分 【 2 0 1 0届高三启学模拟卷( 三) 数学试题湖南卷第6 页( 共4页) 】 1 7 .解: 将一颗骰子先后抛掷2次, 此问题中含有3 6个等可能基本事 件, 1分 ( 1)记“ 两数之和为5”为事件A, 则事件A中含有4个基本事件, 所以P(A)=4 3 6= 1 9; 答: 两数之和为5的概率为1 9. 4分 ( 2)记“ 两数中至少有一个奇数”为事件B, 则事件B与“ 两数均为偶 数”为对立事件, 所以P(B)=1- 9 3 6= 3 4; 答: 两数中至少有一个奇数的概率为3 4. 8分 ( 3) 基本事
12、件总数为3 6, 点(x,y) 在圆x 2+y2=1 5的内部记为事件 C, 则C包含8个事件, 所以P(C)=8 3 6= 2 9. 答: 点( x,y) 在圆x 2+y2=1 5的内部的概率为2 9. 1 2分 1 8 .解法一: (1)B B1平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1, B B1A1C1, 又四边形A1B1C1D1是菱形,B1D1A1C1, A1C1平面B B1D1D,3分 A1C1平面A1D C1, 平面A1D C1平面B B1D D1, 文6分 理5分 ( 2)假设D B1C1是钝角, 则有c o sD B1C1=D B 2 1+B1C 2 1-D C 2
13、1 2D B1B1C1 0, D B21+B1C 2 1-D C 2 10, D C1=D C 2 +C C 2 1= 1+2= 3,B1C1=1, D B10, b0) , 则有点B1(0, b,0) 、D1(0,-b,0) 、D(0,-b,2) 、 A1(a,0,0) 、C1(-a,0,0) , 文9分 理5分 B1 D=(0,-2b,2) ,B1C 1=(-a,-b,0) ,A1D 1=(-a,-b,0) , 得B1 DB1C 1=B1 DA1D 1=2b 2 0, 因此B1 D与B1C 1的夹角D B1C1不可能是钝角. 文1 2分 理6分 ( 3)B1 D=(0,-2b,2) ,A1
14、D 1=(-a,-b,0) , |B1 D| = 4b 2 +2,|A1D 1| =a 2 +b 2 =1, B1 DA1D 1=2b 2 0, 7分 由异面直线B1D与A1D1所成的角是6 0 得, B1 D与A1D 1的夹角是6 0 , B1 DA1D 1=2b 2 = 4b 2 +21c o s6 0 , 解得b 2 =a 2 =1 2, a=b= 2 2 , 8分, 【 2 0 1 0届高三启学模拟卷( 三) 数学试题湖南卷第7 页( 共4页) 】 A1 D= - 2 2 ,- 2 2 , 2 , A1B 1=- 2 2 ,2 2 , 0 , 设n 1=(x,y,z)是平面A1D B1
15、的一个法向量, 则有 n1A1 D=- 2 2x- 2 2y+ 2 z=0 n1A1B 1=- 2 2x+ 2 2y= 0 , 由此解得x=y=z, 取x=1, 得平面A1D B1的一个法向量n 1=(1,1,1). 同理可求得平面D B1C 1的一个法向量n2=(1,-1,-1) ,1 0分 记向量n 1与n2的夹角为, 因此c o s= n1n2 n1n2 =-1 3, 二面角A1-D B1-C1的平面角的余弦值是-1 3. 1 2分 1 9 .解: (1)n=1时,a1=S1=3, n2时,an=Sn-Sn- 1=n 2 +2n-(n-1) 2 -2(n-1)=2n+1, 且n=1时也适
16、合此式, 故数列 an的通项公式是 an=2n+1;2分 ( 2)依题意,n2时,bn=ab n- 1=2 bn- 1+1, bn+1=2(bn- 1+1) , 又b1+1=2,4分 bn+1是以2为首项,2为公比的等比数列, 即存在常数t=1使数列 bn+t是等比数列, bn+1=22 n- 1 =2 n, 即b n=2 n -1, 6分 ( 3)bn+ 1-2bn=2 n+ 1 -1-2(2 n -1)=10, 所以b n+ 12bn,8分 由bn+ 12bn0得 1 bn+ 1 1 2bn, 设S=1 b1 + 1 b2 + 1 b3 + 1 bn , 则n2时, S 1 b1 + 1
17、2b1 + 1 2b2 + 1 2bn- 1 =1 b1 + 1 2( S- 1 bn ) , 所以S 2 b1 - 1 bn =2- 1 bn .1 3分 2 0 .解: (1)圆A的圆心为A(-1,0) , 半径r1=4, 设动圆M的圆心M( x,y) , 半径为r2, 依题意有,r2= |MB|. 由|A B| =2, 可知点B在圆A内, 从而圆M内切于圆A, 故|MA| =r 1r2, 即|MA| +|MB|=4, 所以, 点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆, 4分 设椭圆方程为x 2 a 2+y 2 b 2=1, 由2a=4, 2c=2, 可得a 2 =4,b 2 =3. 故曲线C的方
18、程为 x2 4 +y 2 3 =1, 6分 ( 2)当y0=0时, 由 x 2 0 4 +y 2 0 3 =1 , 可得x=2, 当x0=2, y0=0时, 直线l的方程为x=2, 直线l与曲线C有且只有一个交点(2, 0). 当x0=-2, y0=0时, 直线l的方程为x=-2, 直线l与曲线C有且只有一个交点( -2,0). 8分 当y00时, 直线l的方程为y=1 2-3 x0 x 4y0 , 联立方程组: y=1 2-3 x0 x 4y0 x 2 4 +y 2 3 = 1 , 消去y, 得(4 y 2 0+3x 2 0)x 2 -2 4x0 x+4 8-1 6 y 2 0=0. 由点P
19、( x0,y0)为曲线C上一点, 得x 2 0 4 +y 2 0 3 =1 , 可得4 y 2 0+3x 2 0=1 2,1 1分 于是方程可以化简为x 2-2 x0 x+x 2 0=0 .解得x=x0, 将x=x0代入方程y=1 2-3 x0 x 4y0 可得y=y0, 故直线l与曲线C有且有一个交点P( x0,y0) , 综上, 直线l与曲线C有且只有一个交点, 且交点为P( x0,y0).1 3分 2 1 .解: ( 文) (1)f(x)=1 3 x 3 +b x 2 +c x,b,c R, f ( x)=x 2 +2b x+c, 由已知可得f ( 1)=0, 所以 f ( 1)=1+2
20、b+c=0, 将b=-2代入, 可得c=3. 4分 ( 2)由(1)可知b=- c+1 2 , 代入 f ( x)可得 f ( x)=x 2 -(c+1)x+c, 令 f ( x)=0, 则x1=1,x2=c,6分 又当-1x1时, f ( x)0; 当1x3, 则g( x)m i n=g(3)=9+6b+c=-1, 又1+2b+c=0, 得b=-9 4( 舍) , 综上所述, b=-2,c=3.1 3分 【 2 0 1 0届高三启学模拟卷( 三) 数学试题湖南卷第8 页( 共4页) 】 ( 理) ( 1)定义域为(0,+ ) , f ( x)=1-l n x x2 , 令 f ( x)=1-
21、l n x x2 =0 , 则x=e, 当x变化时, f ( x) ,f(x)的变化情况如下表: x ( 0,e)e ( e,+ ) f ( x)+0- f(x) 单增 1 e 单减 f(x)的单调增区间为(0,e) ; 单调减区间为(e,+ ).3分 ( 2)由(1) 知f(x) 在(0,e) 上单调递增, 在(e,+) 上单调递减, 所以, 当4ae, 即a e 4 时, f(x)在2a,4a上单调递增, f(x)m i n=f(2a) ; 当2ae, 即a e 2 时, f(x)在2a,4a上单调递减, f(x)m i n=f(4a) ,6分 当2ae4a时, 即e 4 a e 2 时,
22、 f(x)在2a,e上单调递增,f(x)在e,4a上单调递减, f(x)m i n=m i nf(2a) ,f(4a) ,7分 下面比较f(2a) , f(4a)的大小, f(2a)-f(4a)= l n 2a 2a -l n 4 a 4a = l na 4a, 若e 4 a1, 则f(2a)-f(4a)0, 此时f( x)m i n=f(2a)= l n 2a 2a ; 9分 若1a0, 此时f( x)m i n=f(4a)= l n 4a 4a ; 综上得: 当01时, f(x)m i n=f(4a)= l n 4a 4a , 1 1分 ( 3)正确,a的取值范围是1ae,1 3分 注: 理由如下, 考虑几何意义, 即斜率, 当x+ 时, f(x)0, 或者由极限l i m x+ l nx x =0, 又f( x)在(0,e)上单调递增, 在( e,+ )上单调递减, f(x)的大致图象如图, 总存在正实数a、b且1aeb, 使得f(a)=f(b) , 即 l na a = l nb b , 即a b= b a.