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已知正方体ABCDA1B1C1D1，正方体的各棱长都为a,球E与此正方体各棱都相切，求球E的球半径R。解：由球E与此正方体各棱都相切可以知道球E与此正方体的中心是重合的。不妨设它们的中心都为E，则E必然是正方体体对角线BD1与A1C的交点。设球E与此正方体的BC棱相切于点F，则球E的球心E与切点F的连线EF必然切线BC所以EF也是球E的一条球半径，所以R=EF,A1D1平行且相等于BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形。BC面ABB1A1，所以BCA1B，又因为四边形A1BCD1是平行四边形所以四边形A1BCD1是矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，有EB=EC所以三角形ECB是等腰三角形，又因为EF BC根据等腰三角形底边的三线合一，可以知道F是BC的中点，四边形A1BCD1是矩形可以知道A1E=EC,BF=FC,所以EF是三角形A1CB的中位线，面对角线A1B=a是众所周知的，所以EF=A1B= a，所以R=a