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1、高二数学同步检测一平面与空间直线 说明：本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.第卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项）1.列命题是真命题的是( )A.空间不同三点确定一个平面B.空间两两相交的三条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内答案:D解析:根据公理3(经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面)知不在同一直线上的三点,才能确定一个平面,所以A错. 如图(1),a,b,c三条直线两两相交,但a,b,c不共面,所以B错误.如图(2),显然四边
2、形ABCD不能确定一个平面.2.已知ABPQ,BCQR,ABC=30,则PQR等于( )A.30 B.30或150C.150 D.以上结论都不对答案:B解析:由等角定理可知PQR与ABC相等或互补,即PQR=30或150.3.如右图,=l,A,B,ABl=D,C,则平面ABC和平面的交线是( )A.直线AC B.直线BCC.直线AB D.直线CD答案:D解析: CD为平面ABC与平面的交线.故选D.4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是( )答案:C解析:A,B中的PQ与RS相互平行;D中的PQ与RS相交;由两条直线异面的判定定理
3、可知C中的PQ与RS异面.5.对“a,b是异面直线”的叙述，正确的是( )ab=且a不平行于b a平面,b平面且= a平面,b平面 不存在平面,使a平面且b平面成立A. B. C. D.答案:C解析:根据“异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线”的定义知,结论正确.空间不相交的两条直线除平行外就是异面,故对于结论,既然两直线不平行,则必然异面.分别在两个平面内的两条直线可能平行,故不正确.平面内的一条直线和平面外的一条直线除异面外还可能平行或相交,故不正确.综上所述,只有正确.6.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC的值为( )A.1
4、80 B.90 C.60 D.45答案:C解析:把平面图形还原为立体图形，找准A、B、C三点相对位置,可知ABC在等边ABC内.7.在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系是( )A.MNa B.MN=a C.MNMN,故C正确.8.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )A. B. C. D.答案:B解析一:如图(1),取面CC1D1D的中心为H，连结FH、D1H.易知OEFH，所以D1FH为所求异面直线所成的角.在FHD
5、1中，FD1=，FH=，D1H=由余弦定理，得D1FH的余弦值为.解析二:如图(2),取BC中点为G.连结GC1、FD1,则GC1FD1.再取GC中点为H,连结HE、OH，则OEH为异面直线所成的角.在OEH中，OE=,HE=，OH=.由余弦定理，可得cosOEH=.9.空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是2,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则P,Q两点之间的最小距离为( )A.1 B. C. D.答案:C解析:PQ的最小值应是AB,CD的公垂线段长.易知P,Q分别是AB,CD中点时,PQAB,PQCD.在RtBQP中,BQ=,BP=1,PQ=.10.右图是正方体的平面展开图,
6、则在这个正方体中:BM与ED平行;CN与BE是异面直线;CN与BM成60角;DM与BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是( )A. B. C. D.答案:C解析:将上面的展开图还原成如图所示正方体.容易知道BM与ED异面,CN与BE平行,故不正确.因为BECN,所以CN与BM所成的角是EBM=60,延长CD至D,使DD=DC,则DNDM,BND就是DM与BN所成的角.设正方体的棱长为1,因为BN=a,ND=a,BD=a,所以BN2+DN2=DB2,即BNND,BNDM.第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题,答案需填在题中横线上）11.以下四个命题:Al,A,Bl,Bl;A,A,B,B
7、=AB;l,AlAa;A,B,C,A,B,C,且A,B,C不共线与重合.其中推理正确的序号是_.答案:解析:由公理1知正确;由公理2知正确;由公理3知正确;而中直线l可能与平面相交于A.故不正确.12.空间四条直线,两两相交可确定平面的个数最多有_个.答案:6解析:显然,任两条相交直线若都能确定一个平面(不重复),此时平面个数最多.如图,平面PAB,平面PAC,平面PAD,平面PBC,平面PCD,平面PBD,共6个.13.(2006全国重点中学一模,11)给出三个命题:若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行;若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行;若两条直线都与第
8、三条直线平行,则这两条直线互相平行.其中不正确的序号是_.答案:解析:在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1D1D1D,C1D1D1D,即A1D1与D1D,C1D1与D1D所成的角都是90,但A1D1与C1D1不平行,可知不正确,由公理4可知正确.14.在正方体ABCDA1B1C1D1中，如果E、F分别为AB、CC1的中点，那么异面直线A1C与EF所成的角等于_.答案:arccos解析:延长AA1到P，使A1P=AA1，连结PF，则PFA1C，设A1A=a.则PE2=(a)2+(a)2=a2，EF2=(a)2+a2+(a)2=a2，PF2=A1C2=3a2.cosPEF=.直线A1
9、C与EF所成的角等于arccos.三、解答题（本大题共5小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1C1、B1C1的中点，ACBD=P，A1C1EF=Q，求证：(1)D、B、F、E四点共面；(2)若直线A1C交平面DBFE于点R，则P、Q、R三点共线.(1)证法一:EF是D1B1C1的中位线,EFB1D1.在正方体AC1中，B1D1BD,EFBD.由公理3知EF、BD确定一个平面,即D、B、F、E四点共面.证法二:延长BF,CC1交于点G,延长DE,CC1交于点G.G与G重合DE,BF是相交直线D,B,F,E四点共面.(2)证明:正
10、方体ABCDA1B1C1D1中，设A1ACC1确定的平面为,设平面DBFE为,为、的公共点.同理,P亦为、的公共点,RPQ,即P、Q、R三点共线.点评:证明多点共线，可先由两点确定一直线，证其余点在直线上.要证点在一条直线上，只需证明这点是两平面的公共点，而直线是两个平面的交线，这是证点在直线上的常用方法.16.如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AEEB=AHHD=m,CFFB=CGGD=n.(1)证明E、F、G、H四点共面.(2)m、n满足什么条件时，EFGH是平行四边形?(3)在（2）的条件下，若ACBD，试证明EG=FH.(1)证明:AEEB=AHHD，EHBD
11、.CFFB=CGGD，FGBD.EHFG.E、F、G、H四点共面.(2)解:当且仅当EHFG时，四边形EFGH为平行四边形.,EH=BD.同理,FG=BD.由EH=FG得m=n.故当m=n时，四边形EFGH为平行四边形.(3)证明:当m=n时，AEEB=CFFB,EFAC.又ACBD，FEH是AC与BD所成的角.FEH=90.从而EFGH为矩形，EG=FH.点评:空间四边形是立体几何的一个基本图形，它各边中点的连线构成平行四边形；当两对角线相等时该平行四边形为菱形；当两对角线互相垂直时，该平行四边形为矩形；当两对角线相等且互相垂直时,该平行四边形为正方形.17.如图,a,b,c为不共面的三条直
12、线,且相交于一点O,点M,N,P分别在直线a,b,c上,点Q是b上异于N的点,判断MN与PQ的位置关系,并予以证明.证法一:(反证法)假设MN与PQ共面于,则点M,N,P,Q.同理,a.a,b,c共面,与已知a,b,c不共面矛盾.故MN与PQ为异面直线.点QMN,点P平面MON.故平面MON内一点Q与平面外一点P的连线PQ与平面内不过Q点的直线MN是异面直线.18.如图所示,今有一正方体木料ABCDA1B1C1D1,其中M,N分别是AB,CB的中点,要过D1,M,N三点将木料锯开,请你帮助木工师傅想办法,怎样画线才能顺利完成?解:作法如下:(1)连结MN并延长交DC的延长线于F,连结D1F交C
13、C1于Q,连结QN;(2)延长NM交DA的延长线于E,连结D1E交A1A于P,连结MP;(3)依次在正方体各个面上画线D1P,PM,MN,NQ,QD1,即为木工师傅所要画的线.19.如图,AB,CD是两条异面直线,AB=CD=3a,E,F分别是线段AD,BC上的点,且ED=2AE,FC=2BF,EF=a,GBD,EGAB.(1)求AB与CD所成的角;(2)求EFG的面积.解:(1)ED=2AE,EGAB,DG=2BG.FC=2BF,FGDC.EGF即为AB与CD所成的角或其补角.AB=CD=3a,EG=2a,GF=a,又EF=a,cosEGF=.EGF=120.AB与CD所成的角为60.(2)SEFG=EGGFsin120=2aasin120=a2.