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1、第3章 电阻电路的一般分析,目的：线性电路的一般分析方法 。,对象：含独立源、受控源的电阻网络的直流稳态解。 (可推广应用于其他类型电路的稳态分析中）,应用: 主要用于复杂的线性电路的求解。,复杂电路的分析法：根据KCL、KVL及VCR列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。,第3章 电阻电路的一般分析,3. 3 支路电流法,3. 5 回路电流法,3. 6 节点电压法,3. 4 网孔电流法,3. 2 KCL和KVL的 独立方程数,3. 1 电路的图,本章内容,电路分析的任务：电路结构、参数已知，确定各支路的电压和电流。,3-1 电路的图,电路的基本方
2、程： u ，i 为变量； 由KCL ，KVL及VCR，建立一组独立方程； 求解。,可以列出多少个方程？ KVL KCL 称为结构约束 可以列写很多个方程 独立的方程，只需要一组，即可求解所有未知量。 如何有效地找到一组独立的方程组？ 先引进图的概念,节点和支路是一个整体，但任一条支路必须终止在节点上。 移去一条支路并不意味着同时把它联结的节点也移去，允许有孤立节点存在。 移去一个节点，则应当把与该节点的全部支路都同时移去。,图：节点和支路的集合,图的特性,子图：图的一部分 路径：从一个节点出发，依次通过图上的支路和节点（每一个支路和节点只通过一次）到达另一个节点的子图。 回路：闭合的路径。,有
3、关图的概念,有向图,电路中电压，电流取关联参考方向，图的每一条支路可以指定一个方向。 有向图：赋予支路方向的图称为“有向图”。 无向图：未赋予支路方向的图。,连通图,连通图：在任意两个节点之间至少存在着一条支路。 非连通图：某些节点间并无路径相通，整个线图分成几个孤立的部分。,平面电路：可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。,非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。, 是平面电路,总有支路相互交叉 是非平面电路,平面图/非平面图,3-2 KCL 和KVL 的独立方程数,n 节点数 b 支路数 2b 未知量总数 (b个电流 b 个电压),n = 4 b = 6 2b = 12,在
4、同一个支路中，由欧姆定律，即VCR 电流与电压有确定的关系，所以可列出 b个方程 关键只要另找出 b 个独立方程,对有n个节点的电路，就有n个KCL方程。每条支路对应于两个节点,支路电流一个流进,一个流出。 如果将n个节点电流方程式相加必得0=0，所以独立节点数最多为(n1)。可以证明：此数目恰为(n1)个。即 n个方程中的任何一个方程都可以从其余(n1)个方程推出 来。,独立节点：与独立方程对应的节点。 任选(n1)个节点即为独立节点。,KCL 方程数为n - 1,N = 4 ; b = 6 ；12个变量 VCR 提供6个方程； KCL提供n-1=3个方程； KVL 能提供？个方程-独立回路
5、问题,树、树支和连支,树是不存在任何回路，但全部节点连通的子图；,连通的图的树支数一定比其 节点数少一。b T = n - 1,连支数 = b b T = b n + 1,树支是属于树的支路；,连支是不属于树的支路，即其他支路。,基本回路与KVL方程数,基于树，每加一个连支后，形成一个回路； 且该回路除所加连支外均由树支组成（称为单连支回路或基本回路）； 每个基本回路仅含一个连支，且该连支并不出现在其它基本回路中; 由全部连支形成的基本回路构成基本回路组； 以基本回路组列写的KVL方程是独立的，个数就是连支数 b-n+1 对于平面图的网孔：以网孔构成的回路，此回路内部不再有支路），全部网孔数，
6、等于基本回路数。,结论,一个节点数为 n， 支路数为 b 的电路， 其KVL的独立方程数 b-n+1， KCL 的独立方程数 n-1 VCR关系可列的方程数 b 2b法： 所谓 2b 法，由上述分析，b 个支路的电路可列 2b个方程，解 2b个未知量（b个电压和b个电流）。,出发点：以支路电流为电路变量。,举例说明：,b=6,n=4,独立方程数应为 2b = 12个。,支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,3.3 支路电流法 (branch currentmethod ),(1) 标定各支路电流、电压的参考方向,u1 =R1i1， u2 =R2i2， u3 =R3i3，
7、 u4 =R4i4， u5 =R5i5， u6 = uS+R6i6,(b = 6，6个方程，关联参考方向) VCR,(2) 对节点，根据KCL列方程,节点 1：i1 + i2 i6 =0,(2) 4个方程是不独立的，因每个支路电流总是从一个节点流入，而从另一个节点流出。但任取其中3个方程都是独立的，所以，独立方程数为 n1 = 41=3个。,(出为正，进为负),节点 2： i2 + i3 + i4 =0,节点 3： i4 i5 + i6 =0,节点 4： i1 i3 + i5 =0,(3) 选定图示的3个回路，由KVL，列写关于支路电压的方程。,回路1：u1 + u2 + u3 = 0 回路2
8、：u3 + u4 u5 = 0 回路3： u1 + u5 + u6 = 0,(3),可以检验，式(3)的3个方程是独立的，即所选的回路是独立的。,独立回路：独立方程所对应的回路。,尚缺2b-b-(n-1)=b-(n-1)=6-(4-1)=3个独立方程。可由KVL，对回路列支路电压方程得到。,i1 + i2 i6 =0 i2 + i3 + i4 =0 i4 i5 + i6 =0,R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 R3 i3 + R4 i4 R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 uS = 0,综合式(1)、(2)和(3)，便得到所需的6+3+3+6=2b
9、个独立方程。将式(1)的6个支路方程代入式(3)，消去6个支路电压，便得到关于支路电流的方程如下：,支路电流法(2b法)的一般步骤：,(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；,(2) 选定(n1)个节点，列写其KCL方程；,(3) 选定b(n1)个独立回路，列写其KVL方程； (元件特性代入),(4) 求解上述方程，得到b个支路电流；,(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。,支路法的特点：,支路电流法是最基本的方法，在方程数目不多的情况下可以使用。由于支路法要同时列写 KCL和KVL方程， 所以方程数较多，且规律性不强(相对于后面的方法)，手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。,例2
10、.,列写如图电路的支路电流方程(含理想电流源支路)。,b=5, n=3,KCL方程：,- i1- i2 + i3 = 0 (1) - i3+ i4 - i5 = 0 (2),R1 i1-R2i2 = uS (3) R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 (4) - R4 i4+u = 0 (5) i5 = iS (6),KVL方程：,* 理想电流源的处理：由于i5 = iS，所以在选择独立回路时，可不选含此支路的回路。 对此例，可不选回路3，即去掉方程(5)，而只列(1)(4)及(6)。,解,解,列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。,方程列写分两步：,(1) 先将受控源看作独立源列方
11、程； (2) 将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。,KCL方程：,-i1- i2+ i3 + i4=0 (1) -i3- i4+ i5 i6=0 (2),例3.,补充方程：,1定义：以网孔电流为未知量，根据KVL，对全部网孔列出全部方程，由于全部网孔是一组独立回路，即可列出独立的方程式，联立求解，便可以得到各网孔电流，再利用元件的VCR，可以确定所有支路的电压，电流。 注：1）网孔法仅适用于平面电路。 2）网孔内部即选择的独立回路内无支路。,3-4 网孔电流法,基本思想：,为减少未知量(方程)的个数，可以假想每个回路中有一个回路电流。若回路电流已求得，则各支路电流可用
12、回路电流线性组合表示。这样即可求得电路的解。,回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。若以回路电流为未知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程。,b=3，n=2。独立回路为l=b-(n-1)=2。选图示的两个独立回路，回路电流分别为il1、 il2。支路电流i1= il1，i2= il2- il1， i3= il2。,3. 5 回路电流法 (loop current method),回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,可见，回路电流法的独立方程数为,R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0,R2(
13、il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0,整理得，,(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2,- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2,电压与回路绕行方向一致时取“+”；否则取“-”。,回路1：,回路2：,b-(n-1)。与支路电流法相比，方程数可减少n-1个。,R11=R1+R2 回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。,令,R22=R2+R3 回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。,自电阻总为正。,R12= R21= R2 回路1、回路2之间的互电阻。,当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,ul1= uS1-uS2 回路1中
14、所有电压源电压的代数和。,ul2= uS2 回路2中所有电压源电压的代数和。,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。,由此得标准形式的方程：,一般情况，对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有,其中,Rjk:互电阻,+ : 流过互阻两个回路电流方向相同,- : 流过互阻两个回路电流方向相反,0 : 无关,Rkk:自电阻(为正) ，k=1,2,l ( 绕行方向取参考方向)。,回路法的一般步骤：,(1) 选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；,(2) 对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；,(3) 求解上述方程，得到l个回路电流；,(5) 其它
15、分析。,(4) 求各支路电流(用回路电流表示)；,网孔电流法：对平面电路，若以网孔为独立回路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称为网孔电流法。,例1.,用回路法求各支路电流。,解：,(1) 设独立回路电流(顺时针),(2) 列 KVL 方程,对称阵，且 互电阻为负,(3) 求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic,(4) 求各支路电流： I1=Ia , I2=Ib-Ia , I3=Ic-Ib , I4=-Ic, 将看VCVS作独立源建立方程；, 找出控制量和回路电流关系。,例2.,用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。,解：,将代入，得,各支路电流为：,I1= Ia=1.1
16、9A, I2= Ia- Ib=0.27A, I3= Ib=0.92A, I4= Ib- Ic=1.43A, I5= Ic=0.52A.,* 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。,(70/59) (54/59) (-30/59),例3.,列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。,方法1： 引入电流源电压为变量，增加回路电流和 电流源电流的关系方程。,方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路, 该回路电流即 IS 。,(1) 对含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：,(2) 对含有受控电流源支路的电路，可先按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。,说明：,3-1(a
17、) 3-2(解答只对应于3-1（a）) 3-3 3-7 -支路电流法 3-10 回路电流法 (基本) 3-11 回路电流法 ( 含电流源),回路电流法自动满足 KCL 。能否象回路电流法一样，假定一组变量，使之自动满足 KVL，从而就不必列写KVL方程，减少联立方程的个数？ KVL恰说明了电位的单值性。如果选结点电压为未知量，则KVL自动满足，就无需列写KVL 方程。当以结点电压为未知量列电路方程、求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。,基本思想 (思考)：,3. 6 结点电压法 (node voltage method),任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即是结点电压(位)，
18、方向为从独立结点指向参考结点。,(uA-uB)+uB-uA=0,KVL自动满足,结点电压法：以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。,可见，结点电压法的独立方程数为(n-1)个。与支路电流法相比，方程数可减少b-( n-1）个。,举例说明：,(2) 列KCL方程：,i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3,-i3-i4+i5=-iS3,un1,un2,(1) 选定参考结点，标明其余n-1个独立结点的电压,代入支路特性：,整理，得,令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5,上式简记为,G11un1+G12un2 = iSn1,G21un1+G22un2 = iSn1,其中,
19、G11=G1+G2+G3+G4结点1的自电导，等于接在结点1上所有支路的电导之和。,G22=G3+G4+G5 结点2的自电导，等于接在结点2上所有支路的电导之和。,G12= G21 =-(G3+G4)结点1与结点2之间的互电导，等于接在结点1与结点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。,iSn1=iS1-iS2+iS3流入结点1的电流源电流的代数和。,iSn2=-iS3 流入结点2的电流源电流的代数和。,* 自电导总为正，互电导总为负。 * 电流源支路电导为零。,* 流入结点取正号，流出取负号。,由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电压，各支路电流即可用结点电压表示：,若电路中含电压
20、源与电阻串联的支路：,uS1,整理，并记Gk=1/Rk，得,一般情况：,其中,Gii 自电导，等于接在结点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,* 当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。且有些结论也将不再成立。,iSni 流入结点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij = Gji互电导，等于接在结点i与结点j之间的所支路的电导之和，并冠以负号。,但不包括电流源与电阻串联支路,节点法的一般步骤：,(1) 选定参考结点，标定n-1个独立结点；,(2) 对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其KCL方程；,(3) 求解上述方
21、程，得到n-1个结点电压；,(5) 其它分析。,(4) 求各支路电流(用结点电压表示)；,试列写下图含理想电压源电路的结点电压方程。,例1.,方法1:以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系,方法2： 选择合适的参考点,(G1+G2)U1-G1U2+I =0,-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0,-G4U2+(G4+G5)U3-I =0,U1-U3 = US,U1= US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,例2. 列写下图含VCCS电路的结点电压方程。,(1) 先把受控源当作独立源看列方
22、程；,(2) 用结点电压表示控制量。,解：,uR2= un1,补充方程,例3.,支路法、回路法和节点法的比较：,(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立结点较容易。,(3) 回路法、结点法易于编程。目前用计算机分析网络(电网，集成电路设计等)采用结点法较多。,(1) 方程数的比较,一、分别用回路法和结点法列写下图电路的方程。,列写下列方程时，既要掌握一般列写方法，又要注意其中电压源支路，电流源支路及受控源支路的处理方法。,此电路节数n=4，支路数b=6，独立回路数l=b-n+1=3,1.,回路法：(1) 3个回路如图所示(以网孔为回路)，为顺利列写每个回路的电压方程需考虑电流源两端的电
23、压，设其为us。在列方程的过程中，将电流源看作电压源。,补充方程：电流源支路电流与回路电流关系的方程。,(2) 按图示回路选取回路电流，则可使方程列写比较简单。此i2=is为已知，不需再列写此回路的方程。,用上述方法列写方程时，必须保证所选回路应独立。,方法1：设电压源us1支路的电流为i，列方程时将此支路看作电流源支路，支路导纳为零。,此时需补充us1与结点电压关系的方程。,选电压源us1支路所接的节点之一作为参考节点，则un1= us1，此时可不必再列节点1的方程。,un1,un2,un3,节点法：,作业: 3-15 结点电压法 3-17 (a) (b)含受控源 3-19 3-20（含受控源） 3-23 结点电压法列出方程,