《椭圆的又一个有趣性质.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆的又一个有趣性质.pdf（1页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、评注 这种列表格的本质是分类处理, 但在具体的分类过程中易重易漏(尤其是兼 职情况较多时 ) , 而表格法十分直观,很容易 就可以看出所有情况的分布. 415 对象相同隔板法 例9(1) (2004年湖北省四校联考卷) 高二年级要从3个班级抽取10人参加数学竞 赛,每班至少1人,一共有种不同的安 排方法. (2) (2003年荆州市质检卷 ) 10个相同 的小球放到3个不同的盒中,每个盒不空,一 共有种不同的放法. 解析 两例的实质一样,属于同一模型 对象相同,这类问题处理方式较多,但隔 板法简单易操作: 10个相同的小球有9个空 档(确保盒子不空 ). 从9个空档中选2个空档 放入两块隔板,
2、将小球分成三部分(每一种放 档板的放法对应着10个小球分成3部分的分 法 ) , 每部分一一对应着一个不同的小盒.因 此一有C 2 9种不同的放法,即C 2 9=36种.而把 10个竞赛名额分配给3个班,每班至少1个名 额的方法与此一模一样. 评注 研究的对象是不加区别的元素 时,一般考虑隔板法.这是一个基本的数学模 型,由此变形的问题是:x+y+z=10有多 少组正整数解?而解法不变. 416 对应问题映射法 例10(2002年荆州市质检卷 ? ) 3 封信 投寄到4个邮筒中一共有种不同的投 递方法. 解析3封信要投寄出去,相当于每封信 都要有 “象”,而邮筒可空,因此相当于A集合 中有3个
3、元素,B集合中有4个元素,求集合A 到集合B的映射个数,完成这件事分三步: 投第一封信有4种方法,投第二封信有4种 方法, 投第三封信有4种方法,由分步计数 原理可知一共有43=64种方法. 评注 更为一般的结论是:集合A中有 m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B 的映射有nm个,而从B到A的映射有m n 个. 解决排列组合问题只要本着这四大原 则,再结合实际情况选用不同方法,解答就会 变得简单轻松而快捷. (收稿日期: 20050902) 椭圆的又一个有趣性质 233600 安徽省涡阳一中 蒲荣飞 椭圆有很多有趣的性质,本文再给出一 个. 性质1过椭圆x 2 a2 + y 2 b2 =
4、1(ab 0) 的焦点斜率为k1的直线交椭圆于A、B两点, 若C为线段A B的中点且直线OC的斜率为 k2,则椭圆的离心率e满足e2=1 +k1k2. 证 明 设A、B两 点 的 坐 标 分 别 为 (x1,y1)、(x2,y2 ) , 则 x 2 1 a2 + y 2 1 b2 =1, x 2 2 a2 + y 2 2 b2 =1. 两式相减得 x 2 1-x 2 2 a2 + y 2 1-y 2 2 b2 =0, 即 k1= y1-y2 x1-x2 = - b2(x1+x2) a2(y1+y2) = - b22xc a22yc = - b2 a2k2, 从而有 a2k1k2= -b2=c2
5、-a2, 两边同除以a2得 k1k2=e2-1, 即 e2=1 +k1k2. 注当k1= 1,k2= - 1 3 时,即为2005年 高考全国卷 ? 理(21)文(22)题的第(1)问: 已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x 轴上.斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭 圆于A、B两点,OA+OB与a=(3, - 1) 共 线. (1)求椭圆的离心率;(2)略. 由性质1立得 e2=1 - 1 3 = 2 3 , 从而 e= 6 3 . 对于双曲线也有类似性质: 性质2 过双曲线x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a 0,b 0)的焦点斜率为k1的直线交双曲线于A 、B 两点,若C为线段A B的中点且直线OC的斜 率为k2,则双曲线的离心率e2=1 +k1k2. (证明略) 对于抛物线有无类似性质,若有,它们有 无一个统一的形式?感兴趣的读者不妨一试. (收稿日期: 20050621) 522006年第1期 中学数学